Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006

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1 Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria Correzione del tema d'esame del 8//6 Esercizio. Si considerino in R 4 i vettori : v =, v =, v = / / a) si dica se tali vettori sono linearemente indipendenti e si dia una base ortonormale per il sottospazio V da essi generato rispetto al prodotto scalare canonico (ristretto a V ) ; si trovi poi il sottospazio ortogonale a V. b) si consideri il vettore : v 4 =, ; e si dica se esistono valori del parametro tali per cui v 4 appartiene a V. Soluzione. I vettori v, v e v sono linearmente indipendenti. Infatti il sistema lineare : v + βv + γv = + β γ = γ = β γ = + β γ = ammette soltanto la soluzione = β = γ =. Usiamo il metodo di ortogonalizzazione di Graham-Schmidt per determinare una base ortogonale per il sottospazio V generato da tali vettori.

2 In generale il procedimento di G-S opera nel modo seguente : dato V sottospazio di R n di dimensione m e B = {v,..., v m } insieme di vettori linearmente indipendenti di V, è possibile costruire una base ortogonale per V, B = {w,..., w m } ponendo w = v w = v v w w w w = v v w w w v w w w w i = v i v i w w w... v i w i w i w i. In questo caso svolgendo i conti si ricava : w = w = 6 6 w = 6 6. Per ottenere una base ortonormale basta poi dividere ciascun vettore w i per la propria norma. Troviamo ora il sottospazio ortogonale a V : V = {w R 4 : < w, v >= v V }. Per determinare V basta imporre la condizione di ortogonalità per un generico vettore w R 4 rispetto ad una base qualsiasi di V ( per evitare complicazioni inutili nei conti è molto meglio usare la base originaria e non quella ortogonale costruita con G-S!). Poniamo w = e imponiamo le y z t condizioni di ortogonalità: < w, v >=, < w, v >=, < w, v >=. Questo equivale a risolvere il sistema lineare: + y t = + z + t = + y + t + z =

3 che ammette come soluzione tutti i vettori della forma: 9 w = 4 R. Complessivamente quindi: V = span(w) = b) Consideriamo ora il vettore: v 4 = 9 4,, R,. v 4 V se è esprimibile come combinazione lineare di v, v e v, cioè se esistono tre valori reali, β, γ, non tutti nulli, per cui si abbia v +βv +γv = v 4. Risolvere questo problema equivale a chiedersi quando è compatibile il sistema lineare: β γ = Applicando l' eliminazione di Gauss otteniamo la seguente matrice orlata a scala: A/b =. + Sappiamo che il sistema è compatibile se è valido il teorema di Rouché- Capelli. Osserviamo che rg(a) =. Questo signica che, anchè si abbia.

4 rg(a/b) = rg(a), deve essere + =. Complessivamente quindi v 4 V se =. Esercizio. Si considerino in R 4 i 4 vettori: v =, v =, v = / /, v 4 = / / ; e si dica per quali valori reali di k, la esiste un omomorsmo f da R 4 a R tale che: f(v ) =, f(v ) =, f(v ) = / /, f(v 4 ) = / / k ; Soluzione. Ricordiamo che f : V W è un omomorsmo tra spazi vettoriali se rispetta le operazioni dallo spazio di partenza a quello di arrivo, cioè se: f(v + v ) = f(v ) + f(v ) v, v V (additività) f(λv) = λf(v) λ R, v V (omogeneità). Nel nostro caso si osserva che v 4 = v + v + v. Pertanto, anchè f sia un omomorsmo è necessario che: cioè che: / / k = f(v 4 ) = f(v ) + f(v ) + f(v ) + + / / = / / Dunque k = è condizione necessaria anché f sia un omomorsmo. Viceversa, se k =, la proiezione sulle prime tre componenti è un omomorsmo che soddisfa le ipotesi richieste. Concludiamo quindi che l'omomorsmo f esiste se e solo se k =. 4

5 Esercizio. a) Si dica se un' applicazione lineare f : R 4 R 4, tale che: dim(im(f)) =, f( ) = /, f( ) = é diagonalizzabile b) Se ne determinino gli autovalori. c) Si dica se é possibile costruire un' applicazione lineare g che soddis le condizioni in a), e in b) e per cui esista una base B, tale che la matrice associata a g rispetto a B, sia A = / Soluzione. a)fissata la base canonica B = {e, e, e, e 4 } di R 4, scriviamo la matrice associata a f rispetto a tale base. Osserviamo che : f(e ) = e f( e ) = e f(e ) = e e che è richiesto che dim(im(f))=. Pertanto la matrice associata è : / A = MB B (f) =. Si vede subito che A è una matrice diagonale (e quindi ovviamente diagonalizzabile). Dunque f è diagonalizzabile. b) Il polinomio caratteristico di A è λ ( λ)( λ). Quindi A ammette gli autovalori λ =, λ = e λ =. c) Osserviamo che rg M B B (g) = dal momento che la sottomatrice di ordine : A = /

6 ha determinante non nullo (deta = ). Ricordando che dim(im g) = rg M B (g), concludiamo che l'applicazione g non può essere costruita in quanto non soddisfa la richiesta a) B. Esercizio 4. Sia Γ la conica di equazione : k 4y + 6y + y =. a) Si determini per quale valore di k R, Γ è una conica degenere. In tal caso si determinino il punto doppio e i punti impropri di Γ. Si scrivano inoltre le equazioni delle rette nelle quali Γ si spezza. b) Trovare una retta passante per il punto doppio di Γ e perpendicolare ad una delle due rette in cui Γ si spezza. Soluzione. a) La conica Γ è degenere se la matrice simmetrica ad essa associata ha determinante nullo. La matrice associata a Γ è : A = k 4 / / e deta si annulla per k = 4. Fissiamo ora k = 4. Per determinare il punto doppio e i punti impropri di Γ è opportuno passare alle coordinate omogenee. L'equazione di Γ in coordinate omogenee diventa: Anché u u u 4u 4u + 6u u + u u u =. sia punto doppio esso deve vericare la condizione A u u u = cioè deve essere soluzione del sistema lineare omogeneo : 4u + u = u 4u + u = u u = 6

7 Svolgendo i conti si ricava che, in coordinate omogenee, il punto doppio è 4. In coordinate cartesiane esso è il punto (, ). Determiniamo i punti impropri imponendo la condizione: { 4u 4u + 6u u + u u u = u = Svolgendo i conti si ricava che lo spazio delle soluzioni di tale sistema è generato dalle direzioni e, che sono i punti impropri. Le rette in cui si spezza la conica sono le rette passanti per il punto doppio che hanno direzioni date dai punti impropri appena calcolati. In forma paramentrica esse sono:. r = { = + t { = y = + t r = + t y = t t R b) Osserviamo che le direzioni delle rette in cui si spezza la conica sono tra ( ) ( ) loro ortogonali (<, >= ), dunque se cerchiamo una retta ortogonale a r passante per il punto doppio possiamo prendere r e viceversa.