Geometria analitica: rette e piani

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1 Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica 6 Politecnico di Torino

2 Esempio (/5) Siano P = (, -, ), P = (,, -), P = (,, ) punti in. Poiché i vettori X = P P = (,, -), X = P P = (,, ) non sono paralleli, i punti non sono allineati, quindi esiste un solo piano π contenente tali punti. 4 6 Politecnico di Torino

3 Esempio (/5) Se r e r sono le rette per P passanti per P e P rispettivamente, allora π è l unico piano contenente r e r. Applicando la regola del parallelogramma abbiamo che le parallele r, r a r e r per O hanno direzioni X, X rispettivamente. 5 Esempio (/5) Quindi il piano π per O, X, X è il piano parallelo a π passante per O. Inoltre P π se e solo se la retta per P e P è contenuta in π e quindi se e solo se X = P P π. 6 6 Politecnico di Torino

4 Esempio (4/5) Se r è la retta per O ortogonale a π, allora r ha direzione A = X X = (6, -, ) e X π se e solo se A. X =. Per le considerazioni precedenti, P = (x, y, z) π se e solo se A ( P P) = ( 6,,) ( x, y +, z ) = = 6x y + z = da cui x y + z 5=. 7 Esempio (5/5) 8 6 Politecnico di Torino 4

5 Equazione cartesiana (/) Un piano π in è l insieme delle soluzioni di una equazione lineare in variabili ax + by + cz + d = detta equazione cartesiana di π. Si dice anche che π è rappresentato in forma cartesiana e si scrive π : ax + by + cz + d =. 9 Equazione cartesiana (/) Il vettore (non nullo) A = (a, b, c ) rappresenta la direzione ortogonale a π. ax + by + cz + d = e a' x + b' y + c ' z + d ' = rappresentano lo stesso piano se e solo se esiste λ tale che a = λa, b = λb, c = λc, d = λd. 6 Politecnico di Torino 5

6 Esempi I piani determinati dagli assi coordinati si dicono piani coordinati e hanno equazioni z =, y = e x =. L equazione x + y = se considerata come equazione a variabili rappresenta un piano nello spazio con direzione ortogonale (,, ) (parallelo all asse z ) e non una retta! Vedremo che le rette sono rappresentate da almeno due equazioni. Piano per un punto Se P = (x, y, z ), un generico piano per P ha equazione ( ) ( ) ( ) a x x + b y y + c z z =. In particolare, se P = O, abbiamo ax + by + cz =. 6 Politecnico di Torino 6

7 Piano per tre punti (/) Se P, P, P sono punti non allineati di, l equazione cartesiana del piano π passante per tali punti ricavata prima può essere espressa in forma vettoriale nel modo seguente ( P P ) ( P P ) ( P P ) =. Piano per tre punti (/) Se P = (x, y, z ), P = (x, y, z ), P = (x, y, z ), P = (x, y, z ), applicando la Formula del Prodotto Misto otteniamo l equazione x x y y z z det x x y y z z =. x x y y z z 4 6 Politecnico di Torino 7

8 Esempio Se P = (,, -), P = (,, ), P = (, -, ), il piano π passante per tali punti ha equazione x y z + det = 4x + y z 5 =. 5 Piano per un punto e una retta Se r : P (t ) = ta + P è una retta parametrica in e se P r, il piano contenente r e P è il piano per i tre punti non allineati P, P e P = P () = A + P. 6 6 Politecnico di Torino 8

9 Intersezioni di piani (/) Siano π : ax + by + cz + d = e π : ax + by + cz + d = piani in. Il sistema lineare formato dalle due equazioni : ax+ by+ cz= d S ax + by + cz = d definisce l insieme π π. Siano A = (a, b, c ) e A = (a, b, c ). 8 6 Politecnico di Torino 9

10 Intersezioni di piani (/) Abbiamo tre possibilità. Se A = λa per un λ ma d λd, S è impossibile e π e π sono paralleli distinti. Se esiste λ tale che A = λa e d = λd, S ha soluzioni e π = π. Se A e A non sono paralleli, S ha soluzioni e π π è una retta. 9 Esempio Consideriamo i piani π :x y + z =. π : x + y + z = Allora e : x + y + z = S x y + z = ha risolventi x = z + y = z + Ponendo z = t abbiamo che π π = sol (S ) è la retta parametrica r : t (-, -, ) + (,, ). 6 Politecnico di Torino

11 Rette in forma cartesiana Se una retta r in viene rappresentata come intersezione di due piani π : ax+ by+ cz+ d =, π : ax + by + cz + d = diciamo che r èin forma cartesiana (brevemente retta cartesiana) e scriviamo = : ax by cz d r ax + by + cz + d = Esempi Gli assi hanno forme cartesiane: y x x r : = = = x, ry :, rz : z = z = y = 6 Politecnico di Torino

12 Passaggio da forma parametrica a cartesiana Consideriamo la retta parametrica x = t + r : y = t + z = t + Ricavando t = z e sostituendo otteniamo x z 5 r : + = y z + 4 = Osservazione Dagli esempi fatti abbiamo che, data una retta nello spazio, si può passare dalla forma cartesiana a quella parametrica e viceversa. 4 6 Politecnico di Torino

13 Direzione di una retta cartesiana (/) Consideriamo ancora la retta : x + y + z = r x y + z = Allora A A = (-,, ) (, -, ) = (,, -) è la direzione della retta. 5 Direzione di una retta cartesiana (/) In generale, se r = π π con π : ax + by + cz + d = π : ax+ by+ cz+ d =, abbiamo che la direzione di r deve essere ortogonale alle direzioni ortogonali dei piani date da A = (a, b, c ) e A = (a, b, c ). 6 6 Politecnico di Torino

14 Esempio (/) Se : x y z r + + = x y + z = : x y z 4 r + + = x y z = allora P = r r = (,, ) e il piano π contenente r e r è il piano per P ortogonale a entrambe le direzioni di r e r. 7 Esempio (/) Quindi la direzione ortogonale a π è (,,) (,,) (,,) (,, ) = =,,,7, 5 = 8,7,5, ( ) ( ) ( ) da cui ( x ) ( y ) ( z ) π : = = 8x + 7y + 5z 4 =. 8 6 Politecnico di Torino 4

15 Piano per rette complanari (/) In generale, se abbiamo due rette r, r in incidenti in P e con direzioni A, A, il piano che le contiene è il piano per P ortogonale a A A. Osserviamo che se le rette sono in forma parametrica il calcolo risulta semplificato. 9 Piano per rette complanari (/) Se r e r sono parallele, per ottenere il piano che le contiene conviene determinare un punto P r e calcolare il piano contenente r e P (o viceversa). 6 Politecnico di Torino 5

16 Esempio (/5) Data una retta r in, le possibili forme cartesiane di r sono date dalle coppie di piani distinti contenenti r. Sia x y z r : + + = x y + z + = Poniamo π : x + y + z = π :x y + z + =. e 6 Politecnico di Torino 6

17 Esempio (/5) Poiché r ha direzione (-,, ) (, -, ) = (,, -), per ogni piano π : ax + by + cz + d = tale che r πabbiamo (a, b, c ) (,, -) Esempio (/5) Per le proprietà del prodotto vettore, esistono λ, λ non entrambi nulli tali che ( a, b, c) λ(,,) λ(,,) = ( λ + λ, λ λ, λ + λ ). = + = 4 6 Politecnico di Torino 7

18 Esempio (4/5) Siccome π π π = r, il sistema x + y + z = x y z + = ( λ + λ) x + ( λ λ) y + ( λ + λ) z = d ha soluzioni. Per il teorema di Rouchè-Capelli ciò equivale a = λ + λ. d 5 Esempio (5/5) Dunque ( ) x ( ) y ( ) z ( ) ( x y z ) λ ( x y z ). π : λ + λ + λ λ + λ + λ + λ + λ = = λ = Viceversa, r è contenuta in un piano con equazione di questo tipo per ogni scelta di λ λ non entrambi nulli., 6 6 Politecnico di Torino 8

19 Fasci di piani (/) λ Siano π : ax + by + cz + d = e π : ax + by + cz + d = piani non paralleli in. La famiglia di piani data da π λ, λ ( ax by cz d) λ ( ax by cz d ) = al variare λ, λ non entrambi nulli si dice fascio di piani generato da π e π. 7 Fasci di piani (/) π λ λ Il fascio, consta di tutti e soli i piani contenenti la retta r = π π e si dice anche fascio dei piani per r. Osserviamo che π, = π e π, = π. Per analogia, l insieme dei piani π λ : ax + by + cz + λ =, λ, formato dai piani paralleli ortogonali al vettore (a, b, c ) si dice fascio di piani paralleli. 8 6 Politecnico di Torino 9

20 Piano per una retta e un punto (/) Siano x y z r : + + = x y + z + = e P = ( ),,. Allora il piano π contenente r e P deve stare nel fascio ( x y z ) ( x y z ) π : λ λ + + = λ, λ e passare per P. 9 Piano per una retta e un punto (/) Quindi -λ + 9λ =, da cui λ = λ con λ. L equazione di π sarà : ( x y z ) ( x y z ) ( x y 4z ) π λ λ + + = λ, λ = λ + + = da cui π : x + y + 4z =, in quanto possiamo sempre dividere l equazione per un coefficiente non nullo. 4 6 Politecnico di Torino

21 Posizione di rette e piani Se r e π sono rispettivamente una retta e un piano nello spazio allora vi sono tre casi: r πè un punto (r e π incidenti) r π= (r e π paralleli) r π 4 6 Politecnico di Torino

22 Esempio (/4) Dati il piano π : x + y + z + = e la famiglia di rette parametriche x = t + h r, : k h y = kt z = t studiamo π r k,h al variare di k e h in. Sostituendo nell equazione del piano otteniamo t + h + kt + t + = kt + h =. ( ) ( ) 4 Esempio (/4) Posto r k,h : P k,h (t ) = t (, k, -) + (h,, -), abbiamo Se k = h =, P, (t ) πper ogni t : r, π; Se k =, h, P,h (t ) πper ogni t : r k, e π sono paralleli; h Se k, P k,h (t ) πper t = : r k,h e π sono k incidenti. Per esempio, se k = h =, r, π= P, (-) = (, -, ) Politecnico di Torino

23 Esempio (/4) Se r k,h è in forma cartesiana, per esempio r k, h x z h : + + = y + kz + k = possiamo usare lo studio dei sistemi. 45 Esempio (4/4) Abbiamo che r h,k π= sol (S ) con x + z = h s k, h: y + kz = k x + y + z = Il sistema è determinato per k (incidenza), impossibile per k =, h (parallelismo) e indeterminato per k = h = (inclusione) Politecnico di Torino

24 Piani e rette paralleli L esempio precedente ci dice che un piano π : ax + by + cz + d = e una retta r con direzione A sono paralleli se e solo se A (a, b, c ) e π r =. Per esempio π : x y + z + = è parallelo a r : t (,, ) + (,, ), ed a x z r ': + = x y + z + = 47 Intersezioni di rette in forma cartesiana (/4) Siano ax by cz d r : = ax + by + cz + d = ax by cz d r ': = ax 4 + by 4 + cz 4 + d 4 = rette in forma cartesiana Politecnico di Torino 4

25 Intersezioni di rette in forma cartesiana (/4) Se A = (a, b, c ), A = (a, b, c ), A = (a, b, c ), A 4 = (a 4, b 4, c 4 ), allora r e r hanno direzioni A = A A e A = A A 4 rispettivamente. 49 Intersezioni di rette in forma cartesiana (/4) Abbiamo che r r = sol (S ), dove S è il sistema ax + by + cz + d = ax by cz d S : = ax + by + cz + d = ax 4 + by 4 + cz 4 + d 4 = 5 6 Politecnico di Torino 5

26 Intersezioni di rette in forma cartesiana (4/4) Se A e A sono paralleli e S è risolubile, allora r = r. Se A e A sono paralleli e S è impossibile, allora r e r sono parallele. Se A e A non sono paralleli e S è risolubile, allora r e r sono incidenti. Se A e A non sono paralleli e S è impossibile, allora r e r sono sghembe. 5 Esempio (/) Se x y z r : + + = x + z = x y z r ': = x + y + z + = r e r hanno direzioni A = (,, ) (,, ) = (,, -), A = (-,, ) (,, ) = (-5, 4, -) rispettivamente. 5 6 Politecnico di Torino 6

27 Esempio (/) A e A non sono paralleli. Inoltre il sistema x + y + z = x + z = x + y + z = x + y + z = è impossibile, quindi le rette sono sghembe. 5 6 Politecnico di Torino 7

28 Piani ortogonali Due piani π : ax + by + cz + d = e π : ax + by + cz + d = sono ortogonali se e solo se i vettori A = (a, b, c ), A = (a, b, c ) sono ortogonali. Per esempio x + y + z - = e x y z = sono ortogonali. 55 Esempio Se π : x -y + z + =, r : t (, -, ) + (,, ) e P = (,, -), il piano π : ax + by + cz + d = ortogonale a π, parallelo a r e passante per P è dato dalle condizioni a b + c = ( π' π) a b + c = ( π' r) a + b c + d = ( P π' ) Quindi π ': x + y + z + 5= Politecnico di Torino 8

29 Esempio Consideriamo il piano π : x + y + z = e sia P = (,, ). Allora esiste una sola retta r ortogonale a π passante per P. Poiché A = (,, ) è la direzione ortogonale a π, r è la retta per P di direzione A. Quindi x = t + r : y = t + z = t + 57 Proiezione ortogonale Se π e P sono un piano e un punto nello spazio, la proiezione ortogonale p π (P ) di P su π è l intersezione dell unica retta ortogonale a π passante per P. Quindi abbiamo P pπ ( P) P Q per ogni Q π, con = se e solo se Q = p π (P ) Politecnico di Torino 9

30 Distanza punto/piano Quindi p π (P ) è il punto di π con minima distanza da P. La distanza d (P, π) di P da π è definita da d (P, π) = d (P, p π (P )) = P p P ( ). Nell esempio precedente p π (P ) = r π = (,, ) e d (P, π) = d ((,, ), (,, )) = π 59 Formula della distanza Se π èun piano e P è un punto nello spazio, vale una formula per la distanza analoga a quella per la distanza di un punto nel piano da una retta. Se P = (x, y, z ) e π: ax + by + cz + d =, allora ax + by + cz + d d ( P, π ) =. a + b + c Nell esempio precedente + + d ( P, π ) = = =. 6 6 Politecnico di Torino

31 Esempio (/) Consideriamo il piano π : x + y + z =. Il piano π parallelo a π passante per O ha equazione x + y + z =. Dunque π è un sottospazio vettoriale di in quanto insieme di soluzioni di una equazione omogenea. Una base di π si ricava dalla risolvente z = x y : per esempio X = (,, -) e X = (,, -). Quindi X π se e solo se esiste (t, t ) tale che X = t X + t X. 6 6 Politecnico di Torino

32 Esempio (/) Sia P = (, -, ). Allora P πe, per la regola del parallelogramma, un punto P appartiene a π se e solo se P P π. Dunque P π se e solo se P P = t X + t X, cioè P = t X + t X + P. 6 Esempio (/) Il piano π è allora l insieme dei punti P (t, t ) = t (,, -) + t (,, -) + (, -, ) al variare di (t, t ). Osserviamo che X X = (,, -) (,, -) = (,, ) determina la direzione ortogonale a π e quindi a π Politecnico di Torino

33 Parametrizzazioni (/) Se π è un piano in esistono X, X vettori non paralleli tali che, per ogni P π, π coincide con l insieme dei punti P (t, t ) = t X + t X + P al variare di (t, t ). 65 Parametrizzazioni (/) In altre parole π è l immagine dell applicazione P : definita da P (t, t ) = t X + t X + P. Tale applicazione viene detta parametrizzazione di π e le variabili (t, t ) sono dette parametri Politecnico di Torino

34 Piani parametrici (/) Viceversa assegnati X e X vettori non paralleli di e P, l insieme di punti P (t, t ) = t X + t X + P al variare di (t, t ) è un piano passante per P = P (,) con direzione ortogonale X X. 67 Piani parametrici (/) Un piano π così rappresentato r si dice piano in forma parametrica (o piano parametrico) e tale rappresentazione si indica con π : P (t, t ) = t X + t X + P Politecnico di Torino 4

35 Equazioni parametriche Se P (t, t ) = (x, y, z) possiamo scrivere le equazioni parametriche del piano π del precedente esempio. x = t + π : y = t z = t t + 69 Passaggio alla forma cartesiana Se π : t X + t X + P, allora π è il piano passante per P = (x, y, z ) con direzione ortogonale X X = A = (a, b, c ), quindi con equazione a (x x ) + b (y y ) + c (z z ) =. La forma cartesiana è ax + by + cz + d = ( ) d = ax + by + cz. con 7 6 Politecnico di Torino 5

36 Esempio Se x = t t + π : y = t + t z = t + t + allora X = (,, -), X = (-,, ) e X X = (,, -) (-,, ) = (4, -5, ). Quindi π :4( x ) 5( y + ) + ( z ) = = 4x 5y + z 5=. 7 6 Politecnico di Torino 6