PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI"

Transcript

1 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 1 PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI L asterisco contrassegna gli esercizi meno basilari (perché più difficili o di approfondimento). Sarà sempre sottinteso che nello spazio si è fissato un riferimento cartesiano R (O; i, j, k), rispetto a cui le coordinate si chiameranno (x, y, z) e tramite il quale si identificherà ogni vettore u u 1 i + u j + u k con la terna delle proprie componenti, scrivendo u (u 1,u,u ). ESERCIZIO. Date le rette r 1 : x z 0 y z 50, r : (i) verificare che sono parallele e distinte; (ii) determinare il piano che le contiene entrambe; (iii) calcolarne la distanza. x y z 0 5x y z 10, Svolgimento. (i) Valutiamo le direzioni delle due rette e la loro intersezione. La retta r 1 si scrive facilmente in forma parametrica e risulta x t + (1) r 1 : y t +5, z t da cui un vettore direttore di r 1 è u (1,, 1). Due vettori normali ai piani che si intersecano in r sono (, 1, 1) e (5,, 1) e quindi r è parallela al prodotto vettoriale (, 1, 1) (5,, 1) ( 1,, 1) u. Dunque r 1 ed r hanno vettori direttori paralleli e perciò sono parallele, eventualmente coincidenti. Poiché il punto P 1 (, 5, 0) sta su r 1 ma non su r (le sue coordinate non verificano la coppia di equazioni che definisce r ), le due rette non sono coincidenti e dunque sono parallele e distinte. (ii) Il piano α che contiene le due rette parallele r 1 ed r può essere determinato nei due modi seguenti. (senza fasci di piani) α è il piano passante per un punto qualsiasi di una delle due rette e parallelo alla loro direzione comune ed al vettore P 1 P,conP 1 punto qualsiasi di r 1 e P punto qualsiasi di r. Cerchiamo un punto di r, intersecandola con un piano a piacere (non ad essa parallelo), ad esempio x 0;sitrovailsistema x y z 0 5x y z 10 x 0 che è risolto da (x, y, z) (0, 1, ) e quindi un punto di r è P (0, 1, ). Prendendo poi P 1 (, 5, 0) r 1 (vedi rappresentazione parametrica (1)), si ha P 1 P (, 4, ) e quindi α èilpiano x y 5 z (parallelo a P 1 P ed u (1,, 1) epassanteperp 1 ), cioè α :x y +10.

2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 (tramitefascidipiani)α è il piano del fascio generato da una delle due rette e passante per un punto qualsiasi dell altra. Un punto di r 1 è P 1 (, 5, 0) (vedi rappresentazione parametrica (1)) ed il piano del fascio generato da r è α : λ (x y z ) + µ (5x y z 1) 0. Imponendo l appartenenza di P 1 ad α si trova che P 1 α λ µ 0. Allora, scegliendo ad esempio λ µ 1,siottiene cioè α :x y +10. α :x y z (5x y z 1) 0 (iii) Essendo r 1 ed r parallele, la loro distanza d (r 1,r ) può essere calcolata nei due modi seguenti. d (r 1,r ) è la distanza di un punto qualsiasi di una delle due rette dall altra retta. Un punto di r 1 èadesempiop 1 (, 5, 0) (vedi rappresentazione parametrica (1)). Tramite la formula della distanza punto-retta, si ottiene P 1 P u d (P 1,r ) u (, 4, ) (1,, 1) (1,, 1) 0, dove si è usato il punto P (0, 1, ) r già determinato al punto (ii). Alternativamente, tramite la distanza punto-proiezione, si ottiene che la proiezione P1 di P 1 su r è P1 : x y z 0 5x y z 10 x +(y 5) + z 0 (piano per P 1 e r ) cioè P1 1, 1, 5, e quindi d (P 1,r )d P 1,P1 P 1 P1 1, 1, 5 (, 5, 0) 0. d (r 1,r ) è la distanza tra i punti di intersezione Q 1,Q di r 1,r conunqualsiasipiano ortogonale alle due rette. Prendendo ad esempio il piano π : x +y + z 0(normale ad u epassanteper l origine), si ottiene x z 0 x y z 0 Q 1 r 1 π : y z 50, Q r π : 5x y z 10, x +y + z 0 x +y + z 0 cioè Q 1 (0, 1, ) e Q 1, 4, 17, e quindi d (Q 1,Q ) 1 Q 1 Q, 4, 17 (0, 1, ) 0. ESERCIZIO. Determinare i piani α paralleli alle rette s 1 :x 8y z 1 ed s : x y z 5 e soddisfacenti ciascuna delle seguenti condizioni: (i) d (α,p), dovep (1, 1, ) (ii) d (α,r),dover : x,y 1z.

3 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 Svolgimento. Poiché s 1 : x t, y t 8, z t 7 ed s : x s, y s, z s +5sono parallele ad u 1 (1,, ) ed u (1, 1, 1) rispettivamente, i piani α cercati sono ortogonali ad n u 1 u (4, 1, ), cioè hanno equazione della forma α :4x + y z + k 0 con k R. (i) Tramite la formula della distanza punto-piano si ha d (α,p) +k k k ± k ± e quindi il problema (i) è risolto dai piani α 1 :4x+y z 0 0 ed α :4x+y z+ 0. (ii) Notiamo che n è ortogonale al vettore direttore u r (0,, 1) di r, percuiα ed r sono paralleli (d altra parte, se così non fosse, si avrebbe d (α,r)0ed il problema (ii) sarebbe impossibile). Allora d (α,r) èladistanzadiα da un punto qualsiasi di r, adesempio P 0 (, 1, 0) e quindi risulta d (α,r) d(α,p 0 ) 9+k k 9 ±. Il problema (ii) è pertanto risolto dai due piani α 1 :4x + y z 9 0 ed α :4x + y z ESERCIZIO. Si considerino le rette r : x 1z, y ed s : x z 10. (i) Determinare il piano α contenente r e parallelo ad s. (ii)* Determinare un piano β contenente r eformanteunangolodi π con s. (iii)* Su ciascuno dei piani trovati, individuare una retta che dista 4 da r. Svolgimento. Entrambe le rette sono date in forma cartesiana: s è l intersezione dei piani x 0e z 1, quindi è parallela al vettore j (0, 1, 0); r è la retta x z 10 r : y 0 e pertanto è parallela al vettore u r (1, 0, ) (0, 1, 0) (, 0, 1). (i) Date due rette non parallele nello spazio, esiste sempre un unico piano α contenente una e parallelo all altra (indipendentemente da che le rette siano incidenti o sghembe). Tale piano può essere determinato nei due modi seguenti. (senza fasci di piani) α è il piano parallelo alle due rette e passante per un punto qualsiasi della retta che deve giacere sul piano. Un punto di r è A (1,, 0), quindi possiamo determinare α come il piano passante per A e parallelo ad u r e j. Siottiene x 1 y z α : cioè α : x z 10. (tramite fasci di piani) α è il piano appartenente al fascio generato da r e con direzione normale perpendicolare alla direzione di s (condizione di parallelismo piano-retta). L equazione di α è quindi della forma () λ (x z 1) + µ (y ) 0 con λ,µ R non entrambi nulli, cioè () λx + µy λz (λ +µ) 0.

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 Imponendo l ortogonalità tra j (0, 1, 0) (vettore direttore di s) ed il vettore normale n (λ,µ, λ) al piano (), cioè j n 0, risulta che deve essere µ 0(e λ 0 qualsiasi). Dunque, sostituendo in (), si ottiene α : x z 10. (ii) Dovendo contenere r, ilpianoβ cercato deve passare ad esempio per A (1,, 0) r e quindi ha equazione della forma (4) a (x 1) + b (y ) + cz 0 con a, b, c R non tutti nulli. Inoltre il vettore normale n β (a, b, c) a β deve essere ortogonale al vettore direttore u r (, 0, 1) della retta r (perché r sta su β) e quindi, imponendo n β u s 0,risulta a + c 0,cioèn β (a, b, a). Infine n β deve soddisfare cos n β j sin π, cioè n β j n β j (perchédeveessereβs π/ e j è un vettore direttore di s). Imponendo tale condizione si ottiene (a, b, a) (0, 1, 0) a + b +4a b 5a + b b 5a + b 4. Riducendo a denominatore comune si trova b 15a, che equivale a b ±a 15 con a 0qualsiasi (si ricordi che a, b non possono essere entrambi nulli, altrimenti si avrebbe n β (a, b, c) (a, b, a) 0). Dunque, sostituendo in (4), risulta a (x 1) ± a 15 (y ) az 0 (si ricordi che c a), che, dividendo per a 0, equivale ai due piani β 1 : x + 15y z e β : x 15y z (iii) Su ciascuno dei piani trovati, esistono due rette, diciamo r 1 ed r, che distano 4 da r (come si intuisce chiaramente visualizzando graficamente il problema). Ragioniamo nel caso del piano α : x z 10,essendoicasideipianiβ 1 e β del tutto analoghi. Le rette r 1 ed r del piano α che distano 4 da r sono parallele ad r, cioè parallele ad u r (, 0, 1), e passano per un punto qualsiasi di α che disti 4 da r; serve allora determinare almeno un punto P α che disti 4 da r (ma se ne troveranno automaticamente due), il che può essere fatto fissando un qualsiasi punto di r, adesempioa (1,, 0), e cercando P sulla retta di α perpendicolare ad r epassantepertalepuntoa. Poichéα ha equazioni parametriche x t +1 α : y s, z t il generico punto P α èdellaformap (t +1,s,t) con t, s R e dunque stiamo cercando P (t +1,s,t) tale che AP ur 0 (ossia AP r) AP 4 (ossia d (A, P )4). Essendo AP P A (t, s,t), talesistemaequivalea t + t 0 t 0 (t) +(s ) + t cioè 1 s ± 4 e si trovano quindi i punti P 1 (1,, 0) e P (1,, 0). Indefinitiva il problema è risolto dalle rette r 1 r 1 : x 1 z, y (retta per P 1 (1,, 0) parallela ad u r (, 0, 1)) r : x 1 z, y (retta per P (1,, 0) parallela ad u r (, 0, 1)).

5 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 5 Analogamente si ottengono le coppie di rette r 1 : x z , y0 r : x , y4 e r 1 : x z , y0 r : x z , y4 per i piani β 1 e β rispettivamente. ESERCIZIO*. Determinare il luogo dei punti equidistanti dalle rette r 1 : x y z 1 ed r : x y 51 z. Svolgimento. Il luogo cercato è il luogo dei punti P (x, y, z) tali che d (P, r 1 )d(p, r ), cioè d (P, r 1 ) d (P, r ). Per esprimere d (P, r 1 ) e d (P, r ) in coordinate, osserviamo che r 1 è parallela ad u 1 (1, 1, 1) e passa per P 1 (0, 0, 1), mentre r è parallela ad u (, 1, 1) epassaperp (0, 5, 1). Allora, sempre indicando con P (x, y, z) il generico punto dello spazio, si ha P 1 P (x, y, z 1) e P P (x, y 5,z 1), da cui, per la formula della distanza punto-retta, segue d (P, r 1 ) P 1 P u 1 (y z +1) +(x z +1) +(x y) u 1 e d (P, r ) (y + z ) +(x +z ) +(x y + 10). Dunque il luogo cercato ha equazione (y z +1) +(x z +1) +(x y) (y + z ) +(x +z ) +(x y + 10), che, a conti fatti, diventa x y + z 8xz yz 1x +5y +1z 1 0. Si può verificare che tale luogo è un iperboloide, in quanto quadrica con determinante diverso da zero (quindi non degenere) e autovalori (non facili da calcolare) tutti non nulli e di segno discorde.

PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / RICHIAMI

PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / RICHIAMI MGUIDA, SROLANDO, 2015 1 PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / RICHIAMI Sarà sempre sottinteso che nello spazio si è fissato un riferimento cartesiano R =(O; i, j, k), rispetto a cui le coordinate si chiameranno

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

Mauro Saita Gennaio Equazioni cartesiane di rette e equazioni parametriche di piani Esempi...

Mauro Saita   Gennaio Equazioni cartesiane di rette e equazioni parametriche di piani Esempi... ette e piani in ette e piani in. Esercizi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Gennaio 2016. Indice 1 Equazioni parametriche della retta 2 1.1 Esempi........................................ 2 2 Equazione cartesiana

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2016/2017 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2016/2017 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2016/2017 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO ESERCIZI CON SOLUZIONE 1) Date le rette : 2 0 32 0 e : 2 5 0 5 2 1 0 a) verificare che sono

Dettagli

1 Esercizi di ripasso 4

1 Esercizi di ripasso 4 Esercizi di ripasso 4. Determinare k in modo che il piano kx + 2y 6z + = 0 sia parallelo al piano x + y z + = 0. Soluzione. La condizione di parallelismo richiede che ( ) k 2 6 rg = Ne segue che k = e

Dettagli

Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica

Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e strofisica Foglio 5 - Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i punti (1,0,0), (1,0,2), (0, 1,0), D (2, 1,2), E (2,1, 0), F (0, 1,2), G (3,2,0),

Dettagli

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio

Dettagli

Esercizi su Rette e Piani

Esercizi su Rette e Piani Esercizi su Rette e Piani Raffaella Di Nardo dinardo@calvino.polito.it 1 aprile 2004 Esercizio 1. In R 2, determinare l equazione dellal retta per P 0 e parallela al vettore u = 3i j. Esercizio 2. Data

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

1 Rette e piani in R 3

1 Rette e piani in R 3 POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 1. Sez. D - G. Docenti: Federico G. Lastaria, Mauro Saita, Nadir Zanchetta,. 1 1 Rette e piani in R 3 Una retta parametrizzata

Dettagli

Geometria analitica: rette e piani

Geometria analitica: rette e piani Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 11

Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9

Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9 Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9 Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i quattro punti A (0, 1, 0), B (, 1, ), (3,, 0) e D (3,, ). (a) Determinare il baricentro del triangolo AB.

Dettagli

Appunti di geometria analitica dello spazio. di Fabio Maria Antoniali

Appunti di geometria analitica dello spazio. di Fabio Maria Antoniali Appunti di geometria analitica dello spazio di Fabio Maria Antoniali versione del 23 maggio 2017 1 Un po di teoria 1.1 Vettori e punti 1.1.1 Componenti cartesiane e vettoriali Fissato nello spazio un riferimento

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 10

Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r

Dettagli

1 Esercizi Scrivere le equazioni ridotte rispetto a z della retta. x + 4y z + 1 = 0 r : x + 3y + 2z 3 = 0. x + 4y = z 1 x + 3y = 2z + 3

1 Esercizi Scrivere le equazioni ridotte rispetto a z della retta. x + 4y z + 1 = 0 r : x + 3y + 2z 3 = 0. x + 4y = z 1 x + 3y = 2z + 3 Esercizi 8. Scrivere le equazioni ridotte rispetto a z della retta x + 4y z + = 0 x + 3y + z 3 = 0 Soluzione. Risolviamo rispetto a z: x + 4y = z x + 3y = z + 3 x + 4y = z y = 3z 4 da cui x = z + 5 y =

Dettagli

Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio

Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio 1. In R 3 sia A = (1, 1, 0) e sia r la retta passante per A, parallela al piano x + y + z = 0 e complanare alla retta s di equazione cartesiana x + y z = 0 =

Dettagli

VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI

VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE

Dettagli

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 10

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 10 Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi Esercizio 1. Data la retta r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di

Dettagli

Piano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).

Piano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ). Definizione Si dice spazio (affine) euclideo di dimensione n sul campo reale, uno spazio affine A[A, (V n (R), ), a] in cui il prodotto scalare è definito positivo. Lo si indica con E n (R). In E 2 (R)

Dettagli

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9 Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi 9 Esercizio 1. Si considerino i punti del piano A (1, 1), B (4, 1), C ( 1/2, 2) (a) Si determini se i punti A, B, C sono allineati e, in caso affermativo, si

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni Esercizio 1. Nello spazio sono dati i punti A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 5), C = (1, 1, 4). a) Scrivere equazioni parametriche della retta r 1 passante

Dettagli

22 marzo Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

22 marzo Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi

Dettagli

Coordinate cartesiane e coordinate omogenee

Coordinate cartesiane e coordinate omogenee Coordinate cartesiane e coordinate omogenee Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Ad ogni punto P del piano possiamo associare le coordinate cartesiane (x, y),

Dettagli

1 Esercizi 19. 2(3) 5( 2) + k = 0 (1) da cui ricaviamo k = 16 e la retta desiderata è 2x 5y 16 = 0.

1 Esercizi 19. 2(3) 5( 2) + k = 0 (1) da cui ricaviamo k = 16 e la retta desiderata è 2x 5y 16 = 0. Esercizi 9. Scrivere l equazione cartesiana della retta per P (3, 2) parallela alla retta 2x y + 4 = 0. Soluzione. La retta cercata deve essere della forma 2x y + k = 0 con k da determinarsi imponendo

Dettagli

21 settembre Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

21 settembre Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry)

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO La geometria analitica dello spazio è molto simile alla geometria analitica del piano. Per questo motivo le formule sono

Dettagli

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale Prova scritta di Geometria- 18 Giugno 008 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013

Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 Diario delle esercitazioni e lezioni per il corso di Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 (solo la parte per Fisici e Matematici, non ci sono le lezioni del Modulo B) Lidia Stoppino Lezione 1 9

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Geometria del 28 Maggio 2009

Soluzioni dello scritto di Geometria del 28 Maggio 2009 Soluzioni dello scritto di Geometria del 8 Maggio 9 1) Trovare le equazioni del sottospazio V(w, x, y, z) R 4 generato dalle quaterne c 1 = (,,, 1) e c = (, 1, 1, ). ) Trovare una base per OGNI autospazio

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x

Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) - a.a. 00/0 I Semestre Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (2)

Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (2) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Equazione vettoriale del piano passante per un punto e ortogonale a un vettore Un punto X appartiene al piano P passante per il punto X 0 e ortogonale

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 9

Geometria BAER Canale I Esercizi 9 Geometria BAER Canale I Esercizi 9 Esercizio 1. Si trovi la matrice del prodotto standard di R 3 rispetto alle basi B = (2, 0, 1) t, (1, 0, 2) t, (1, 1, 1) t } e D = (2, 2, 1) t, ( 1, 2, 2) t, (2, 1, 2)

Dettagli

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti

Dettagli

CdL in Ingegneria Industriale (F-O)

CdL in Ingegneria Industriale (F-O) CdL in Ingegneria Industriale (F-O) Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 1 Giugno 018 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso? A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

P z. OP x, OP y, OP z sono le proiezioni ortogonali di v sugli assi x, y, z, per cui: OP x = ( v i) i. k j. P x. OP z = ( v k) k

P z. OP x, OP y, OP z sono le proiezioni ortogonali di v sugli assi x, y, z, per cui: OP x = ( v i) i. k j. P x. OP z = ( v k) k Richiami di calcolo vettoriale Consideriamo il vettore libero v = OP. Siano P x, P y, P z le proiezioni ortogonali di P sui tre assi cartesiani. v è la diagonale del parallelepipedo costruito su OP x,

Dettagli

4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1).

4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1). Geometria Complementi ed esercizi sulle coniche 1 (a) Scrivere l equazione dell ellisse Γ che ha fuochi F 1 ( 1, 1), F (1, 1) e che passa per il punto P (1, 1) (b) Determinare il centro, gli assi e i vertici

Dettagli

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4 Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 9/ ESERCITAZIONE. (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Proposizione Vera Falsa Per due punti distinti di R passa un unica

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Esame scritto di Geometria I

Esame scritto di Geometria I Esame scritto di Geometria I Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Fisica A.A. 26/27 Appello di febbraio 27 Esercizio Sia f h : R R l applicazione lineare definita da f h (e ) = 2e + (2 h)e

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

LEZIONE 9. Figura 9.1.1

LEZIONE 9. Figura 9.1.1 LEZIONE 9 9.1. Equazioni cartesiane di piani. Abbiamo visto come rappresentare parametricamente un piano. Un altro interessante metodo di rappresentazione di un piano nello spazio è tramite la sua equazione

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 12

Geometria BAER Canale I Esercizi 12 Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed

Dettagli

Problema 1.5. Mostra che una retta immaginaria r nello spazio contiene al più un punto reale.

Problema 1.5. Mostra che una retta immaginaria r nello spazio contiene al più un punto reale. 1 Complessificazione Problema 1.5. Mostra che una retta immaginaria r nello spazio contiene al più un punto reale. Soluzione. Se r è di prima specie, allora r è complanare con la sua coniugata: se, in

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni. normale parallelo a quello direzionale della retta sarà quindi

Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni. normale parallelo a quello direzionale della retta sarà quindi Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni Problema1 x = y Dato il punto P(0,1,2), la retta r: y = z 2 ed il piano α: x 3y + z = 0 a) Trova il piano passante per P

Dettagli

Esercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nel piano Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi Correzione 1. Scrivere le equazioni parametriche delle rette r e s di equazioni cartesiane r : 2x y + = 0

Dettagli

Osservazioni generali

Osservazioni generali Osservazioni generali Innanzitutto Non si può dividere per. Per i numeri complessi Quando si risolve z 3 = az con a dato, ricordarsi di stare attento per che cosa si divide. Infatti non si può dividere

Dettagli

14 febbraio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

14 febbraio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 13. Uso del prodotto scalare: condizioni di perpendicolarità, angoli, distanze.

Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 13. Uso del prodotto scalare: condizioni di perpendicolarità, angoli, distanze. Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 13. Uso del prodotto scalare: condizioni di perpendicolarità, angoli, distanze. Risposte agli esercizi iniziali. Nello spazio vettoriale euclideo R 2 3, dotato

Dettagli

Formulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2

Formulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2 Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x 1 2 + (y 2 y 1 2 Coordinate del punto

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare Esercizi di Geometria e Algebra Lineare 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}) 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia

Dettagli

CORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova II prova parziale TEMA n.1

CORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova II prova parziale TEMA n.1 CORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova 15-06-2010 II prova parziale TEMA n.1 Parte 1. Quesiti preliminari. Stabilire se le seguenti affermazioni sono

Dettagli

Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento

Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento Geometria analitica 18 marzo 009 Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento 1 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche x,y,z, è assegnata la retta r di equazioni

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

F x 1 = x 1 + x 2. 2x 1 x 2 Determinare la matrice C associata a F rispetto alla base canonica (equivalentemente,

F x 1 = x 1 + x 2. 2x 1 x 2 Determinare la matrice C associata a F rispetto alla base canonica (equivalentemente, Corso di Laurea in Fisica. Geometria 1. a.a. 2006-07. Gruppo B. Prof. P. Piazza Esonero del 1/12/06 con soluzione Esercizio. Spazio vettoriale R 2 con base canonica fissata e coordinate associate (x 1,

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA (Ing. Ambientale e Civile - Curriculum Civile) 1. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili:

Esercizi di GEOMETRIA (Ing. Ambientale e Civile - Curriculum Civile) 1. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: Esercizi di GEOMETRIA (Ing. Ambientale e Civile - Curriculum Civile). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 0 5 F = 4 2

Dettagli

15 Aprile 2016 Svolgimento della prova scritta (OA + BC)OB 2. 2(4 + k ) 2

15 Aprile 2016 Svolgimento della prova scritta (OA + BC)OB 2. 2(4 + k ) 2 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 015-016 Corso di Laurea in Informatica (L-1) Prova in itinere di Matematica Discreta (1 CFU) 15 Aprile 016 B1 Compito A Tempo a disposizione 10

Dettagli

12 gennaio Commenti esame di geometria - Ing. gestionale - a.a

12 gennaio Commenti esame di geometria - Ing. gestionale - a.a Questo documento riporta commenti, approfondimenti o metodi di soluzione alternativi per alcuni esercizi dell esame Ovviamente alcuni esercizi potevano essere risolti utilizzando metodi ancora diversi

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare: x + ky = k 2x + ky + z = 0.

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare: x + ky = k 2x + ky + z = 0. Università degli Studi di Catania Anno Accademico 014-015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (1 CFU) 1 Dicembre 014 A Tempo a disposizione: 150 minuti 1 Studiare, al

Dettagli

Rette e piani in R 3

Rette e piani in R 3 Rette e piani in R 3 In questa dispensa vogliamo introdurre in modo elementare rette e piani nello spazio R 3 (si faccia riferimento anche al testo Algebra Lineare di S. Lang). 1 Rette in R 3 Vogliamo

Dettagli

ESAME DI GEOMETRIA. 6 febbraio 2002 CORREZIONE QUIZ

ESAME DI GEOMETRIA. 6 febbraio 2002 CORREZIONE QUIZ ESAME DI GEOMETRIA 6 febbraio CORREZIONE QUIZ. La parte reale di ( + i) 9 è positiva. QUIZ Si può procedere in due modi. Un primo modo è osservare che ( + i) =i, dunque ( + i) 9 =(+i)(i) 4 = 4 ( + i) :

Dettagli

Corso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni

Corso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

Ingegneria Edile - Corso di geometria - anno accademico 2009/2010

Ingegneria Edile - Corso di geometria - anno accademico 2009/2010 prova scritta del 7// TEMPO A DISPOSIZIONE: 9 minuti Esercizio. In R si considerino i punti A =, B = e la retta r passante per A e B. (i)il punto C = r? vero falso (ii) Determinare l equazione di un piano

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. 202-203 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 8-02-3 Compito A Corso del Prof. Manlio BORDONI Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori

Dettagli

Corso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 27/09/2016 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI

Corso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 27/09/2016 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI Corso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 7/9/6 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI Esercizio. Si consideri la quadrica affine C d equazione cartesiana xy + yz z + 4x =. ()

Dettagli

Esercizi Enti lineari nel piano e nello spazio

Esercizi Enti lineari nel piano e nello spazio Esercizi Enti lineari nel piano e nello spazio 010 01 (1) Sia Π R il piano di equazione x + y = 0 e sia f : R R la riflessione rispetto al piano Π (f invia un vettore v = (x y z) nel vettore f((x y x))

Dettagli

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 08-09 Prima prova di esonero TESTO E SOLUZIONI. Sia k 0 un numero reale. Sia V uno spazio vettoriale reale e sia e = {e,

Dettagli

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria- Compito A- 8 Aprile 8 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito

Dettagli

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare Definizione (Vettore

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (221) 16 Marzo 2015

Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (221) 16 Marzo 2015 Nome e Cognome: Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (221) 16 Marzo 2015 1. La retta r : x = 1 + t y = 2 3t z = t A. sono paralleli B. sono sghembi C. sono perpendicolari

Dettagli

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A ESAMI E ESERCITAZIONI AA 2015-16 ANDREA RATTO Sommario In questo file presentiamo prove d esame, esercitazioni ed esami relativi al Corso Integrato di Matematica, Modulo B, per Scienze dell Architettura

Dettagli

Lezione Sfere nello spazio

Lezione Sfere nello spazio Lezione 12 12.1 Sfere nello spazio In questa lezione studieremo alcuni dei più semplici oggetti geometrici non lineari : circonferenze e sfere nello spazio S 3. Analizzeremo poi in dettaglio il caso delle

Dettagli

Capitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano

Capitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano Capitolo Cenni di geometria analitica nel piano 1 Il piano cartesiano Il piano cartesiano è una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano R = R R La rappresentazione grafica è possibile se si crea

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Studio di rette sghembe

Studio di rette sghembe Studio di rette sghembe V. Alberini, M. Buzzi, L. Cantoni, L. Grignaffini, G. Montis, G. Palù gennaio 17 Problema Stabilisci se le due rette r e s di equazioni: x = 1 + t x = r : y = t e s : z = z = t

Dettagli

Esercizio 8: Siano dati l equazione della parabola e i due punti e.

Esercizio 8: Siano dati l equazione della parabola e i due punti e. Esercizio 8: Siano dati l equazione della parabola e i due punti e. tracciare dal punto A le tangenti r ed s alla parabola ottenendo i punti di contatto P e Q; tracciare dal punto B le tangenti t ed u

Dettagli

a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene

a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene Esercizi svolti Esercizio 1. Dati i punti: A(1, 1, 0), B( 1, 1, 4), C(1, 1, 3), D(2, 2, 8) dello spazio R 3 a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene

Dettagli

SFERA ) Stabilire la mutua posizione delle sfere seguenti: S 1 : x 2 + y 2 + z 2 4x + 2y + 4z = 0 e

SFERA ) Stabilire la mutua posizione delle sfere seguenti: S 1 : x 2 + y 2 + z 2 4x + 2y + 4z = 0 e SFERA 14.01.2009 10) Studiare la mutua posizione delle sfere: S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 10x 2y 18z + 82 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 2y 10z + 26 = 0 C 1 = ( 5, 1, 9) R 1 = 5 C 2 = ( 1, 1, 5) R 2 =

Dettagli

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si

Dettagli