PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI

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1 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 1 PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI L asterisco contrassegna gli esercizi meno basilari (perché più difficili o di approfondimento). Sarà sempre sottinteso che nello spazio si è fissato un riferimento cartesiano R (O; i, j, k), rispetto a cui le coordinate si chiameranno (x, y, z) e tramite il quale si identificherà ogni vettore u u 1 i + u j + u k con la terna delle proprie componenti, scrivendo u (u 1,u,u ). ESERCIZIO. Date le rette r 1 : x z 0 y z 50, r : (i) verificare che sono parallele e distinte; (ii) determinare il piano che le contiene entrambe; (iii) calcolarne la distanza. x y z 0 5x y z 10, Svolgimento. (i) Valutiamo le direzioni delle due rette e la loro intersezione. La retta r 1 si scrive facilmente in forma parametrica e risulta x t + (1) r 1 : y t +5, z t da cui un vettore direttore di r 1 è u (1,, 1). Due vettori normali ai piani che si intersecano in r sono (, 1, 1) e (5,, 1) e quindi r è parallela al prodotto vettoriale (, 1, 1) (5,, 1) ( 1,, 1) u. Dunque r 1 ed r hanno vettori direttori paralleli e perciò sono parallele, eventualmente coincidenti. Poiché il punto P 1 (, 5, 0) sta su r 1 ma non su r (le sue coordinate non verificano la coppia di equazioni che definisce r ), le due rette non sono coincidenti e dunque sono parallele e distinte. (ii) Il piano α che contiene le due rette parallele r 1 ed r può essere determinato nei due modi seguenti. (senza fasci di piani) α è il piano passante per un punto qualsiasi di una delle due rette e parallelo alla loro direzione comune ed al vettore P 1 P,conP 1 punto qualsiasi di r 1 e P punto qualsiasi di r. Cerchiamo un punto di r, intersecandola con un piano a piacere (non ad essa parallelo), ad esempio x 0;sitrovailsistema x y z 0 5x y z 10 x 0 che è risolto da (x, y, z) (0, 1, ) e quindi un punto di r è P (0, 1, ). Prendendo poi P 1 (, 5, 0) r 1 (vedi rappresentazione parametrica (1)), si ha P 1 P (, 4, ) e quindi α èilpiano x y 5 z (parallelo a P 1 P ed u (1,, 1) epassanteperp 1 ), cioè α :x y +10.

2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 (tramitefascidipiani)α è il piano del fascio generato da una delle due rette e passante per un punto qualsiasi dell altra. Un punto di r 1 è P 1 (, 5, 0) (vedi rappresentazione parametrica (1)) ed il piano del fascio generato da r è α : λ (x y z ) + µ (5x y z 1) 0. Imponendo l appartenenza di P 1 ad α si trova che P 1 α λ µ 0. Allora, scegliendo ad esempio λ µ 1,siottiene cioè α :x y +10. α :x y z (5x y z 1) 0 (iii) Essendo r 1 ed r parallele, la loro distanza d (r 1,r ) può essere calcolata nei due modi seguenti. d (r 1,r ) è la distanza di un punto qualsiasi di una delle due rette dall altra retta. Un punto di r 1 èadesempiop 1 (, 5, 0) (vedi rappresentazione parametrica (1)). Tramite la formula della distanza punto-retta, si ottiene P 1 P u d (P 1,r ) u (, 4, ) (1,, 1) (1,, 1) 0, dove si è usato il punto P (0, 1, ) r già determinato al punto (ii). Alternativamente, tramite la distanza punto-proiezione, si ottiene che la proiezione P1 di P 1 su r è P1 : x y z 0 5x y z 10 x +(y 5) + z 0 (piano per P 1 e r ) cioè P1 1, 1, 5, e quindi d (P 1,r )d P 1,P1 P 1 P1 1, 1, 5 (, 5, 0) 0. d (r 1,r ) è la distanza tra i punti di intersezione Q 1,Q di r 1,r conunqualsiasipiano ortogonale alle due rette. Prendendo ad esempio il piano π : x +y + z 0(normale ad u epassanteper l origine), si ottiene x z 0 x y z 0 Q 1 r 1 π : y z 50, Q r π : 5x y z 10, x +y + z 0 x +y + z 0 cioè Q 1 (0, 1, ) e Q 1, 4, 17, e quindi d (Q 1,Q ) 1 Q 1 Q, 4, 17 (0, 1, ) 0. ESERCIZIO. Determinare i piani α paralleli alle rette s 1 :x 8y z 1 ed s : x y z 5 e soddisfacenti ciascuna delle seguenti condizioni: (i) d (α,p), dovep (1, 1, ) (ii) d (α,r),dover : x,y 1z.

3 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 Svolgimento. Poiché s 1 : x t, y t 8, z t 7 ed s : x s, y s, z s +5sono parallele ad u 1 (1,, ) ed u (1, 1, 1) rispettivamente, i piani α cercati sono ortogonali ad n u 1 u (4, 1, ), cioè hanno equazione della forma α :4x + y z + k 0 con k R. (i) Tramite la formula della distanza punto-piano si ha d (α,p) +k k k ± k ± e quindi il problema (i) è risolto dai piani α 1 :4x+y z 0 0 ed α :4x+y z+ 0. (ii) Notiamo che n è ortogonale al vettore direttore u r (0,, 1) di r, percuiα ed r sono paralleli (d altra parte, se così non fosse, si avrebbe d (α,r)0ed il problema (ii) sarebbe impossibile). Allora d (α,r) èladistanzadiα da un punto qualsiasi di r, adesempio P 0 (, 1, 0) e quindi risulta d (α,r) d(α,p 0 ) 9+k k 9 ±. Il problema (ii) è pertanto risolto dai due piani α 1 :4x + y z 9 0 ed α :4x + y z ESERCIZIO. Si considerino le rette r : x 1z, y ed s : x z 10. (i) Determinare il piano α contenente r e parallelo ad s. (ii)* Determinare un piano β contenente r eformanteunangolodi π con s. (iii)* Su ciascuno dei piani trovati, individuare una retta che dista 4 da r. Svolgimento. Entrambe le rette sono date in forma cartesiana: s è l intersezione dei piani x 0e z 1, quindi è parallela al vettore j (0, 1, 0); r è la retta x z 10 r : y 0 e pertanto è parallela al vettore u r (1, 0, ) (0, 1, 0) (, 0, 1). (i) Date due rette non parallele nello spazio, esiste sempre un unico piano α contenente una e parallelo all altra (indipendentemente da che le rette siano incidenti o sghembe). Tale piano può essere determinato nei due modi seguenti. (senza fasci di piani) α è il piano parallelo alle due rette e passante per un punto qualsiasi della retta che deve giacere sul piano. Un punto di r è A (1,, 0), quindi possiamo determinare α come il piano passante per A e parallelo ad u r e j. Siottiene x 1 y z α : cioè α : x z 10. (tramite fasci di piani) α è il piano appartenente al fascio generato da r e con direzione normale perpendicolare alla direzione di s (condizione di parallelismo piano-retta). L equazione di α è quindi della forma () λ (x z 1) + µ (y ) 0 con λ,µ R non entrambi nulli, cioè () λx + µy λz (λ +µ) 0.

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 Imponendo l ortogonalità tra j (0, 1, 0) (vettore direttore di s) ed il vettore normale n (λ,µ, λ) al piano (), cioè j n 0, risulta che deve essere µ 0(e λ 0 qualsiasi). Dunque, sostituendo in (), si ottiene α : x z 10. (ii) Dovendo contenere r, ilpianoβ cercato deve passare ad esempio per A (1,, 0) r e quindi ha equazione della forma (4) a (x 1) + b (y ) + cz 0 con a, b, c R non tutti nulli. Inoltre il vettore normale n β (a, b, c) a β deve essere ortogonale al vettore direttore u r (, 0, 1) della retta r (perché r sta su β) e quindi, imponendo n β u s 0,risulta a + c 0,cioèn β (a, b, a). Infine n β deve soddisfare cos n β j sin π, cioè n β j n β j (perchédeveessereβs π/ e j è un vettore direttore di s). Imponendo tale condizione si ottiene (a, b, a) (0, 1, 0) a + b +4a b 5a + b b 5a + b 4. Riducendo a denominatore comune si trova b 15a, che equivale a b ±a 15 con a 0qualsiasi (si ricordi che a, b non possono essere entrambi nulli, altrimenti si avrebbe n β (a, b, c) (a, b, a) 0). Dunque, sostituendo in (4), risulta a (x 1) ± a 15 (y ) az 0 (si ricordi che c a), che, dividendo per a 0, equivale ai due piani β 1 : x + 15y z e β : x 15y z (iii) Su ciascuno dei piani trovati, esistono due rette, diciamo r 1 ed r, che distano 4 da r (come si intuisce chiaramente visualizzando graficamente il problema). Ragioniamo nel caso del piano α : x z 10,essendoicasideipianiβ 1 e β del tutto analoghi. Le rette r 1 ed r del piano α che distano 4 da r sono parallele ad r, cioè parallele ad u r (, 0, 1), e passano per un punto qualsiasi di α che disti 4 da r; serve allora determinare almeno un punto P α che disti 4 da r (ma se ne troveranno automaticamente due), il che può essere fatto fissando un qualsiasi punto di r, adesempioa (1,, 0), e cercando P sulla retta di α perpendicolare ad r epassantepertalepuntoa. Poichéα ha equazioni parametriche x t +1 α : y s, z t il generico punto P α èdellaformap (t +1,s,t) con t, s R e dunque stiamo cercando P (t +1,s,t) tale che AP ur 0 (ossia AP r) AP 4 (ossia d (A, P )4). Essendo AP P A (t, s,t), talesistemaequivalea t + t 0 t 0 (t) +(s ) + t cioè 1 s ± 4 e si trovano quindi i punti P 1 (1,, 0) e P (1,, 0). Indefinitiva il problema è risolto dalle rette r 1 r 1 : x 1 z, y (retta per P 1 (1,, 0) parallela ad u r (, 0, 1)) r : x 1 z, y (retta per P (1,, 0) parallela ad u r (, 0, 1)).

5 M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 5 Analogamente si ottengono le coppie di rette r 1 : x z , y0 r : x , y4 e r 1 : x z , y0 r : x z , y4 per i piani β 1 e β rispettivamente. ESERCIZIO*. Determinare il luogo dei punti equidistanti dalle rette r 1 : x y z 1 ed r : x y 51 z. Svolgimento. Il luogo cercato è il luogo dei punti P (x, y, z) tali che d (P, r 1 )d(p, r ), cioè d (P, r 1 ) d (P, r ). Per esprimere d (P, r 1 ) e d (P, r ) in coordinate, osserviamo che r 1 è parallela ad u 1 (1, 1, 1) e passa per P 1 (0, 0, 1), mentre r è parallela ad u (, 1, 1) epassaperp (0, 5, 1). Allora, sempre indicando con P (x, y, z) il generico punto dello spazio, si ha P 1 P (x, y, z 1) e P P (x, y 5,z 1), da cui, per la formula della distanza punto-retta, segue d (P, r 1 ) P 1 P u 1 (y z +1) +(x z +1) +(x y) u 1 e d (P, r ) (y + z ) +(x +z ) +(x y + 10). Dunque il luogo cercato ha equazione (y z +1) +(x z +1) +(x y) (y + z ) +(x +z ) +(x y + 10), che, a conti fatti, diventa x y + z 8xz yz 1x +5y +1z 1 0. Si può verificare che tale luogo è un iperboloide, in quanto quadrica con determinante diverso da zero (quindi non degenere) e autovalori (non facili da calcolare) tutti non nulli e di segno discorde.