EQUAZIONE DELLA RETTA

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1 EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale ad una costante: L equazione di una retta r parallela all asse y è cioè è uguale ad una costante: EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DEI QUADRANTI Ricordiamo la definizione di bisettrice: la bisettrice di un angolo è il luogo di punti equidistanti dai lati dell angolo. Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l equazione l della bisettrice del I e III quadrante è: L equazione equazione della bisettrice del II e IV quadrante è: EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER L ORIGINE Consideriamo una retta passante per l origine distinta dagli assi cartesiani: la retta è il luogo dei punti aventi ordinata proporzionale all ascissa secondo un coefficiente opportuno. Infatti siano, e, due punti generici della retta r, ma distinti dall origine: siano e le proiezioni ortogonali di e sull asse x: i triangoli e sono simili (perché hanno angoli uguali) e si ha pertanto la seguente proporzione tra i segmenti e tra le loro relative misure:

2 Dato che i punti P e Q sono generici, possiamo concludere che per tutti i punti della retta, diversi dall origine, il rapporto tra ordinata e ascissa è costante, tale costante si indica con. Il valore di si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta (maggiore è il valore di, maggiore è l angolo). Rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Se >0, la retta appartiene al I e III quadrante. Se 1, otteniamo la bisettrice del I e III quadrante. Se <0, la retta appartiene al II e IV quadrante. Se 1, otteniamo la bisettrice del II e IV quadrante. EQUAZIONE DELLA RETTA IN POSIZIONE GENERICA Dobbiamo ricavare l equazione di una generica retta del piano, non passante per l origine e non parallela ad alcuno degli assi cartesiani. Pertanto si può concludere che: + Consideriamo una retta non passante per l origine e non parallela ad alcuno degli assi cartesiani. Sia 0, il punto in cui r interseca l asse y. Sia la traslazione del sistema di riferimento che porta l origine in. Nel sistema la retta r passa per l origine e quindi avrà equazione ; sostituendo in tale equazione al posto di e al posto di in base alle equazioni della traslazione, si otterrà l equazione di nel sistema, in cui non passa per l origine, in formule: + è l equazione di una generica retta del piano, dove è il coefficiente angolare e è detta intercetta o ordinata dell origine, in quanto è l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse y. L equazione + viene chiamata equazione della retta in forma esplicita o anche equazione della funzione lineare. Se 0 si ottiene l equazione di una retta passante per l origine. Se >0 la retta generica forma un angolo acuto con l asse x.

3 Se <0 l angolo formato è ottuso. Se 0 si ha l equazione di una retta parallela all asse x. CONDIZIONE DI PARALLELISMO Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che i loro coefficienti angolari siano uguali. CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano perpendicolari è che i coefficienti angolari siano l uno l antireciproco dell altro. 1 EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA La più generale equazione di primo grado in e (equazione lineare in due variabili) è Quest equazione rappresenta, al variare dei coefficienti a, b, c, una qualsiasi retta del piano. Prende il nome di equazione generale della retta o anche di equazione della retta in forma implicita. Il coefficiente viene detto termine noto. I vari casi possibili sono: In questo caso l equazione è completa e può essere rispetto a y essendo 0 Il coefficiente angolare è L intercetta è

4 !0 #!0 0 L equazione assume la forma + # 0, cioè #. per l origine, di coefficiente angolare #, che è l equazione di una retta 0 #! 0 (con qualsiasi) L equazione diventa # + 0, ossia #, che è l equazione di una retta re parallela all asse x (se 0 è l equazione dell asse x stessa).! 0 # 0 (con c qualsiasi) L equazione diventa + 0, cioè che è l equazione di una retta parallela all asse y (se 0 è l equazione dell asse y stesso). 0 # 0 0 L equazione, riducendosi all identità 0 0,, risulta verificata per qualsiasi coppia ordinata di numeri reali, essa non rappresenta alcuna retta, ma il piano stesso. 0 # 0!0 L equazione non ha soluzioni e non ha rappresentazione grafica. FASCIO IMPROPRIO DI RETTE Il fascio improprio di rette è l insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele. L equazione che rappresenta il fascio improprio è: + Il coefficiente angolare è comune a tutte le rette, l intercetta è variabile. Al variare di in R si ottengono tutte le rette del fascio e per 0 si ottiene quella passante per l origine che è considerata la retta base del fascio alla quale tutte le altre sono parallele. FASCIO PROPRIO DI RETTE L equazioni della traslazione degli assi sono: Il fascio di rette proprio è l insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto, detto centro o sostegno del fascio. fascio Nell equazione del fascio proprio il coefficiente angolare dovrà essere variabile in quanto le l rette del fascio hanno ciascuna un diverso coefficiente angolare. L equazione del fascio proprio di rette passanti per l origine degli assi è con variabile in R. Consideriamo un fascio di rette di centro * +, +.. Operiamo una traslazione degli assi che porti l origine nel punto *. nel riferimento * il fascio di rette è rappresentato dall equazione.

5 + + Quindi: dove è il coefficiente angolare variabile, rappresenta il fascio di rette di centro,. COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Consideriamo i punti, e,. L equazione del fascio di rette di centro, è Imponendo che la generica retta di questo fascio passi per, ossia che le coordinate di soddisfino la precedente equazione, si ottiene: Cioè Pertanto: il coefficiente angolare della retta passante per due punti dati si ottiene come rapporto tra la differenza delle ordinate dei due punti e la differenza delle corrispondenti ascisse. EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Siano, e, due punti della retta. L equazione della retta passante per e per si otterrà scrivendo l equazione della retta passante per, e con coefficiente angolare uguale a quello della retta, cioè ; si avrà quindi: Dividendo ambo i membri per, si ha: Che è l equazione della retta passante per due punti dati, e, e non parallela ad alcun asse cartesiano.

6 DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA Per calcolare la distanza di un generico punto +, + dalla retta di equazione + # + 0 si usa la seguente formula: # # Cioè la distanza di un punto da una retta di equazione + # + 0 si ottiene sostituendo nel primo membro dell equazione della retta al posto di e le coordinate + e + del punto e dividendo il valore assoluto del risultato per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di e di nell equazione stessa. EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DI UN ANGOLO Determiniamo le equazioni delle bisettrici degli angolii formati dalle rette incidenti r ed s, di equazione rispettivamente: r) s) + # # Sia, un punto generico di una delle bisettrici. Applicando la formula della distanza tra un punto e una retta, si ha: ---, E perciò, dovendo essere ---, # + + # + # + + # + # + + # + # + + # + # + # # + + # Le equazioni delle due bisettrici si ottengono dalla formula considerando una volta il segno + e una volta il segno -.

7 ASSE DI UN SEGMENTO L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. L asse è anche il luogo geometrico di tutti e soli i punti del piano che sono equidistanti dagli estremi del segmento. Quindi per trovare l equazione dell asse di un segmento possiamo fare: Ossia + + Sviluppando e riducendo si avrà l equazione cercata, che risulta un equazione lineare in e. FASCIO DI RETTE GENERATO DA DUE RETTE Consideriamo due rette ed %, incidenti, di equazione r) + # + 0 s) 2 + # e sia * +, + il loro punto di intersezione. Le due rette generano un fascio proprio di rette di centro * e sono dette rette generatrici, in particolare la retta è la prima generatrice e la retta % è la seconda generatrice. L equazione del fascio di rette generato da due rette è: Se 0,, si ottiene la seconda generatrice. Se 0,, si ottiene la prima generatrice. + # # Per non avere due costanti ( e ), si divide per e si ottiene Se, allora + # # # # Se 0, perde significato e si suol dire che è «infinito» e si scrive ( uguale a infinito) o ( tende all infinito). La forma nella quale è di solito assegnato un fascio proprio di rette è:

8 Avendo supposto che le generatrici ed siano incidenti, il coefficiente angolare è: + + Esso risulta in funzione di e, al variare di, si ottengono le diverse rette del fascio con inclinazione variabile. Se le generatrici ed fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rettee generato da ed e il coefficiente angolare è In pratica un equazione di primo grado in e rappresenta: un fascio proprio di rette, se il coefficiente angolare è funzione di k; un fascio improprio di rette, se il coefficiente angolare è costante. Il centro del fascio proprio si determina intersecando le generatrici del fascio. AREA DEL TRIANGOLO Esiste una regola che ci permettee di calcolare l area di un triangolo conoscendone solo le coordinate de vertici, questa è la regola di Sarrus, dal nome del matematico francese Pierre Frederic Sarrus Per trovare il determinante della matrice bisogna riportare le prime due colonne a destre della matrice e poi moltiplicare le diagonali: