La circonferenza nel piano cartesiano

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1 6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la distanza tra P e è uguale a 5. Per scrivere l equazione che rappresenta questa circonferenza basterà scrivere la proprietà di tutti i suoi punti cioè P 5 Avremo 5 ed elevando al quadrato entrambi i membri avremo: 5 In generale l equazione di una circonferenza di centro ; e raggio r sarà quindi r Sviluppando otteniamo 0 0 r r Si pone c r c r b b a a

2 Quindi abbiamo a b c 0 a b ; a r b c Osservazioni Abbiamo visto che l equazione di una circonferenza è molto diversa da quella di una retta: è un equazione di grado in cui i coefficienti di e sono uguali se sono diversi da si può dividere tutta l equazione per il valore del coefficiente di e ) e in cui manca il termine. Inoltre, per avere una circonferenza "reale, dovrà essere a b c 0 a b ( ricorda che r - c ) (Se r = 0 la circonferenza "degenera" in un solo punto). Esempi ) è l equazione della circonferenza di centro (0,0) e r =. In generale r e l equazione della circonferenza di centro (0,0) e raggio r. ) 0 0 è l equazione della circonferenza di centro ( ; ) e raggio 5 r. ) 0 non rappresenta una circonferenza reale perché r i. ) a b 0 è l equazione di una circonferenza passante per l origine ( c = 0 ). 65

3 Problemi sulla circonferenza Vediamo qualche problema sulla circonferenza. ) Determina l equazione della circonferenza passante per un punto A assegnato ed avente centro assegnato. E chiaro che basterà calcolare raggio = A ) Determina l equazione della circonferenza passante per tre punti A,B, non allineati ( è come cercare l equazione della circonferenza circoscritta al triangolo AB ). Il centro della circonferenza si può trovare intersecando, per esempio, l asse del segmento AB con l asse del segmento B. osì facendo, infatti, troviamo un punto che è equidistante da A,B, e quindi è il centro della circonferenza. Per trovare il raggio basta calcolare la distanza del centro trovato da uno qualsiasi dei tre punti. (*) Questo problema può essere risolto anche sostituendo le coordinate dei tre punti nell equazione generale + +a+b+c=0 e risolvendo il sistema. A( B( ( A B,,, A B ) ) ) A B A B a a a A B b b b A B c 0 c 0 c 0 Le incognite sono a,b,c. 66

4 ) Determina l equazione della circonferenza passante per due punti assegnati A e B e avente il centro appartenente ad una retta assegnata r. Basterà determinare asse segmento AB r ( Se la circonferenza deve passare per A e B il suo centro deve trovarsi sull asse del segmento AB). Per trovare il raggio si calcola, per esempio, A. onsideriamo per esempio (vedi figura) A(;) B(5;) e r: =-+. m AB m M (;) AB asseab asse segmento AB -= -(-) ( ) r A : ( 5) ( )

5 Retta e circonferenza Una retta r può essere esterna, tangente o secante ad una circonferenza. La retta è esterna quando d(, r) raggio La retta è tangente quando d(, r) raggio La retta è secante quando d(, r) raggio Rette tangenti ad una circonferenza ) Risolviamo il seguente problema: data la circonferenza in figura e considerato il suo punto (7;7) P determinare la retta t passante per P tangente alla circonferenza. Potremo, nel fascio di rette passanti per P, individuare quella la cui distanza da è uguale a 5 (raggio di.), ma in questo caso c è un procedimento più veloce. Basta infatti osservare che la retta t deve essere perpendicolare al raggio P e quindi: 68

6 ) Risolviamo adesso il seguente problema: data la circonferenza in figura e considerato il punto P(5;0), determinare le rette t e t passanti per P e tangenti alla circonferenza. : + =9 P(5,0) onsideriamo la generica retta passante per P Dobbiamo cercare le rette che hanno distanza (raggio=) dal centro di (0,0) e quindi Elevando al quadrato: Quindi t : ( 5) t : ( 5) 69

7 (*) La condizione di tangenza Questo problema poteva essere risolto anche in un altro modo. Abbiamo collegato la posizione di una retta relativamente ad una circonferenza con la sua distanza dal centro, ma possiamo vederla anche in un altro modo. Se intersechiamo una retta con una circonferenza avremo: nessun punto di intersezione se r è esterna a solo punto di intersezione (o meglio due punti coincidenti) se r è tangente a punti di intersezione se r è secante a Algebricamente questo significa che risolvendo il sistema equazione circonferenza equazione retta r troveremo un equazione di grado il cui sarà: se r è esterna a se r è tangente a : questa viene detta condizione di tangenza se r è secante a Quindi il problema poteva essere risolto così: 9 m( 5) m ( 0 5) 9 ( m ) 0m 5m 9 0 5m ( m )(5m 9) 0 5m 5m 9 5m 9m 0 6m 9 m 9 6 m 70

8 Altri problemi sulla circonferenza Risolviamo qualche altro problema sulla circonferenza. ) Determina la circonferenza avente centro assegnato e tangente ad una retta t assegnata. Per esempio: (;) t: =- ( +=0). Basterà calcolare raggio = distanza (centro, tangente) Nel nostro caso r : ( ) ( ) 8 ) Determina l equazione della circonferenza tangente in un punto T ad una retta assegnata t e passante per un punto P assegnato. Per esempio: t: = T(;) P(7;) Possiamo individuare il centro della circonferenza intersecando l asse del segmento TP con la retta per T perpendicolare a t asse TP : ( ) perp. per T a t : ( ) Naturalmente r = = 5 5 (5;0) : ( 5) 0 (*) Questo problema si può risolvere anche considerando l equazione generale e imponendo il passaggio per T, per P e la condizione di tangenza a t (si ottiene un sistema di equazioni nelle incognite a,b,c ). 7

9 ) Determina l equazione della circonferenza tangente ad una retta t assegnata e passante per due punti A e B assegnati. Per esempio t: =-+ A(0;5) B(-;5) onsideriamo l equazione generale passaggio per A 5 5b c 0 passaggio per B 5 a 5b c 0 (*) cond.tan genza ( a b ) 8( b c) 0 (*) a b c 0 ( ) a b( ) c 0... ( a b ) b c 0 Risolvendo il sistema otteniamo due terne di soluzioni cioè due circonferenze che soddisfano le condizioni richieste. Oppure: si determina l asse di AB e si considera che il centro della circonferenza dovrà ; : si impone poi che la distanza di appartenere all asse e quindi nel nostro caso avremo dalla retta t sia uguale, per esempio, a A. 7

10 irconferenza e fasci di rette Progetto Matematica in Rete Vediamo qualche problema in cui si considerano le intersezioni tra una circonferenza e un fascio di rette. ) a) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : k circonferenza : 9. intersecano la k k Si tratta di un fascio di rette parallele aventi m. Basterà determinare le tangenti (distanza da (0;0) uguale a ): k F : k 0 k Quindi quando k le rette del fascio intersecano. b) Determina per quali valori di k le rette del fascio precedente intersecano la semicirconferenza AB situata nel e quadrante ( 0 ). k 7

11 In questo caso occorre determinare il valore di k delle rette del fascio passanti per A e B. k A(0;) 0 k k A k B(;0) 0 k k B Quindi quando k le rette del fascio intersecano la semicirconferenza in solo punto; quando k le rette del fascio intersecano la se circonferenza in punti (il punto di tangenza viene contato due volte). Se il problema fosse stato proposto come soluzione del sistema k 9 0 la soluzione sarebbe stata : soluzione per k soluzioni per k ) a) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : k 8k 0 circonferenza : 0. intersecano la Studiando il fascio si trova che si tratta di un fascio di rette passanti per P(0;8) e che le k 0 0 generatrici sono le rette : k 8 Determiniamo i valori di k corrispondenti alle rette tangenti: applicando la formula della distanza dal centro (;) della circonferenza e ponendola uguale a (raggio) otteniamo i valori k e k. 7 E chiaro quindi che quando k le rette del fascio intersecano la circonferenza (in due 7 punti). 7

12 b) Determina per quali valori di k le rette del fascio precedente intersecano la semicirconferenza AB situata nel e quadrante ( 0 ). Troviamo il valore k 0 della retta per A(0;0) e il valore k B della retta del fascio passante per B(;0). Quindi quando k 0 k 7 le rette del fascio intersecano in punti la semicirconferenza, mentre per 0 k le rette del fascio intersecano la semicirconferenza in solo punto. A 75

13 Problemi sulla circonferenza ) Disegna le circonferenze aventi le seguenti equazioni: a) d) b) e) c) f) ) Determina l equazione della circonferenza sapendo che: a) ha centro (;) e passa per P(;); [( ) ( ) 5] b) ha centro (0;0) ed è tangente alla retta t: =-+; c) passa per (0;0), A(;) B(;) ; [ ( ) ( ) 0 ] d) passa per (0;0) A(-;) B(6;0) ; [ 5] e) passa per A(;-) B(;) (-;) ; 8 f) passante per O( 0;0) e A(;0) e avente il centro appartenente alla retta di equazione ; 8] [ g) è tangente alla retta t: nel punto T(0;0) e passa per A(0;) h) è tangente alla retta t: nel punto T(;) e passa per A(;-) 76

14 ) Determina la tangente alla circonferenza : nel suo punto T(0;). [ ] ) Data la circonferenza : determina la retta tangente nel suo punto T(;) e le 5 tangenti uscenti dal punto P ( 0; ). [ t : t, : ] 5) Data la circonferenza : determina le rette tangenti ad essa uscenti da (0;0). [ ; ] 7 6) Determina la retta tangente in (0;0) alla circonferenza di equazione 5. [ ] 7) Data : determina per quali valori di k le rette del fascio F : k intersecano la circonferenza. [ k 8) Data : 9 determina per quali valori di k le rette del fascio F: 5 k 0 intersecano la circonferenza. 7 [ k k 9) Data la circonferenza di equazione : 6 0 determina per quali valori di k le rette del fascio: a) b) intersecano la circonferenza. ] ] 0) Data la circonferenza : 0, determina per quali valori di k le rette del fascio F : k intersecano: a) l intera circonferenza ; [ k ] b) la parte di circonferenza che si trova nel e quadrante ( 0) ( specificando il numero delle intersezioni). [ intersezione per k 0 e intersezioni coincidenti per k ] 77

15 ) Data la circonferenza : 0, determina per quali valori di k le rette del fascio F : k( 6) 0 intersecano la circonferenza. [ k ] ) Risolvere il seguente sistema: 6 0 k ) [ soluzione per 8 k ; soluzioni per 5 k 8] a) Determina l equazione della circonferenza tangente in T (; ) alla retta t : e passante per il punto A (7;). Disegnala ed indica con il suo centro. b) Determina le tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(5;0) e indicati con T e T i punti di tangenza, determina l area del quadrilatero PT T. c) Nel fascio di rette di equazione k determina per quali valori di k le rette del fascio intersecano. [: ; t, : ( 5) ; area ( PT T ) = 0 ; 0 k 0 ] ) a) Determina l equazione della circonferenza tangente in (0;0) alla retta t : e avente il centro appartenente alla retta. b) Determina i punti P appartenenti a t tali che area ( OP) 5. [: P (8;6) P ( 8; 6) ] 5) Determina l equazione della circonferenza circoscritta e della circonferenza inscritta al triangolo di vertici O(0;0), A(;0) e B(0;). [ 0 ; 0 ] 78

16 6) Determina l equazione della circonferenza tangente alla retta t: =- e passante per i punti A (;) e B (;7). 7) Determina l equazione della circonferenza tangente alla retta t: e passante per i punti A (-;) e B (0;). 8) Determina l equazione della circonferenza tangente all asse e passante per i punti A (;) e B (;). 9) a) Determina l equazione della circonferenza passante per A(0;) B(;0) e O(0;0). b)determina per quali valori di k le rette del fascio F: =+k intersecando. c)determina per quali valori di k le rette del fascio F intersecano la parte di con 0. Specificare quanti punti. [ : 0 ; k ; intersezione per k 0, intersezioni per 0 k k ] 0) a) Determina l equazione della circonferenza passante per A(-; ) e B(; -) e il cui centro appartiene alla retta di equazione 0. b) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : k( ) 0 intersecano la circonferenza e per quali valori ( e in quanti punti) intersecano la con 0. [: 0 ; k ; intersezioni per k ] ) Determina l equazione della circonferenza tangente agli assi coordinati e passante per A ( ; ). [ ; 0 ] ) a) Determina l equazione della circonferenza avente centro ( ; ) e tangente alla retta t :. b) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : k circonferenza una corda di lunghezza. staccano sulla [ : 8 0 ; k 7 ], 79

17 ESERIZI DI RIAPITOLAZIONE ) a) Determina l equazione della circonferenza avente centro (,-) e tangente alla retta t: ++ =0. Disegnala e determina le coordinate del punto T di tangenza. [ 6 0; T ( 0; ) ] b) Nel fascio di rette F: = k determina per quali valori di k le rette intersecano la circonferenza. 0 0 [ k ] ) a) Determina l equazione della circonferenza tangente in T(0,) alla retta t : e passante per ( ; ). Disegnala ed indica con il suo centro. [ 0 ] b) Determina le equazioni delle tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(-,-5) e, detti T e T i punti di tangenza, determina l area del quadrilatero TT PT. [ ; 7 ; ( TT PT ) ] ) a) Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A (6, -5) B(-, ) (6,). Disegnala ed indica con il suo centro. b) Dopo aver studiato il fascio di rette di equazione F : +9 + k ( + )= 0 [ 7 0 ] determina per quali valori di k le rette del fascio intersecano la circonferenza. 5 5 [ k k ] 80

18 Fasci di circonferenze Supponiamo di avere due circonferenze : a b c 0 : a b c 0 Se consideriamo l equazione k( a b c ) a b c 0 cioè k ) ( k ) ( ka a ) ( kb b ) kc c 0 ( è chiaro che sarà, al variare di k, con k, ancora una circonferenza (reale quando c c c 0 ). Si parla quindi di fascio di circonferenze generato da e. Per k 0 si ottiene, mentre per k si ottiene (ragionamento analogo a quello svolto per i fasci di rette). Naturalmente a seconda di e si otterranno vari tipi di fasci. ) e secanti onsideriamo per esempio le circonferenze in figura e studiamo il fascio da esse generato. : 0 (;0 ) r : 0 (0;0) r A ( ; ) B( ; ) F : k( ) 0 ( k ) Qualunque sia il valore assegnato a k ( k ), si otterrà una circonferenza anch essa passante per A e B: infatti sia sostituendo le coordinate di A che di B si otterrà k

19 Quindi il fascio generato da due circonferenze secanti in due punti A e B è costituito da circonferenze passanti per A e B. A e B vengono detti punti base del fascio e la retta per A e B asse radicale del fascio ( si ottiene per k = -) (*) Osserviamo che, per qualunque valore di k, con k -, si ottengono circonferenze reali. Infatti: ( k ) ( k ) k 0 k 0 k k k ( ;0) k k k k k k r 0 ( k ) k ( k ) ( k ) ) e tangenti k onsideriamo le circonferenze in figura, tangenti in (0;0) con l asse ( tangente comune t). : : (;0) r = r = : (-;0) onsideriamo il fascio generato da e : F : k( ) 0 ( k ) ( k ) ( k) 0 r k k Si osserva che intersecando una qualunque circonferenza del fascio con la retta t : =0 si ottiene solo, come soluzione (0;0) e quindi tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in (0;0) all asse. Il fascio generato da due circonferenze tangenti in T ad una retta t è costituito da circonferenze tangenti in T a t ( che si ottiene per k = -). 8

20 ) e concentriche onsideriamo le circonferenze in figura: : + =0 (;0 ) r : + =0 (;0 ) r onsideriamo F : k( ) 0 Sviluppando : ( k ) ( k ) ( k ) 0 Dividendo per k ( k ) : 0 k Osserviamo che ( ; 0) cioè che tutte le circonferenze hanno lo stesso centro di e e r k k k Quindi avremo circonferenze reali solo se k k 0 k k ( k ) Quindi il fascio generato da circonferenze concentriche è costituito da circonferenze concentriche (nel nostro caso per k k ). 8

21 ) e non aventi punti in comune e non concentriche onsideriamo le circonferenze in figura: : + =0 (;0) r : =0 ( ;0) r 0 (circonferenza degenere) onsideriamo F : k( ) 0 Sviluppando : ( k ) ( k ) ( k) 0 ( k) Dividendo per k ( k ) : 0 k k k ( ;0) k r ( k ) ( k ) k ( k ) Quindi ho circonferenze reali solo se 0 ( k ) k cioè, sviluppando i calcoli, quando k 0 k 8 con k Osserviamo che le circonferenze del fascio hanno il centro appartenente all asse (retta per e ) e che non intersecano né intersecasse in un punto P o ; ) ( o né : se infatti se per esempio una circonferenza del fascio sostituendo le coordinate di P nell equazione avrei k( o o o ) o o o 0 o o ma essendo 0 avrei di conseguenza anche 0 o cioè P apparterrebbe anche a e questo è assurdo perché e non hanno punti in comune. 8 o o o

22 Osservazione Abbiamo considerato i fasci di circonferenze ottenuti combinando le equazioni di due circonferenze. osa si ottiene combinando l equazione di una circonferenza con l equazione di una retta? : a b c 0 r : a b c 0 F : k a b c ) a b c 0 ( k k ( ka ) ( kb b ) kc c 0 Se k 0 (e verifica la condizione di realtà per il raggio), ottengo quindi un fascio di circonferenze. E semplice dimostrare che se r e sono secanti si ottiene un fascio di circonferenze secanti (passanti per i punti di intersezione tra r e ); se r e sono tangenti si ottiene un fascio di circonferenze tangenti nel punto di tangenza tra r e (r è la tangente comune); se r e non hanno punti in comune si ottiene un fascio di circonferenze che non intersecano né r né e il cui centro appartiene alla retta passante per il centro di e perpendicolare alla retta r. Quindi quando dobbiamo scrivere l equazione di un fascio di circonferenze secanti avente come punti base due punti A e B assegnati converrà combinare la retta per A e B con una circonferenza per A e B (per esempio quella avente AB come diametro). Analogamente se dobbiamo scrivere l equazione di un fascio di circonferenze tangenti ad una retta t assegnata in un suo punto T assegnato converrà combinare la retta t con una circonferenza tangente a t in T. 85

23 Problemi sui fasci di circonferenze ) Scrivere l equazione di un fascio di circonferenze passanti per A( 0; ) e B( 0; 0). Possiamo risolvere il problema in due modi: a) onsideriamo l equazione generica di una circonferenza a b c 0 Se imponiamo il passaggio per A e B abbiamo 6 b c 0 b c 0 Quindi l equazione del fascio sarà: F : a 0 dove il parametro è a. Se vogliamo possiamo scrivere a 0 e quindi pensare alla combinazione di una circonferenza : 0 e di una retta r : 0 (asse ). 0 (0;) r 86

24 b) Possiamo scrivere il fascio di circonferenze per A, B combinando una circonferenza per A e B con la retta per A e B. Per semplicità possiamo scegliere la circonferenza avente AB come diametro (0;) r : : ( ) 0 e quindi otteniamo, essendo r AB : asse 0 cioè lo stesso risultato di prima. k 0 Naturalmente scegliendo un altra circonferenza per A e B otteniamo un altra equazione (oppure combinando due circonferenze per A e B). k NOTA: il centro della circonferenza del fascio è ( ;) cioè appartiene all asse di AB ( = ) Se k>0 si ottengono circonferenze con centri aventi ascissa negativa mentre se k<0 l ascissa del centro è positiva. Per k 0 e per k r (asse ) 87

25 ) Scrivere l equazione di un fascio di circonferenze tangenti in T( 0; 0) alla retta t :. Anche in questo caso possiamo procedere in due modi. a) Scriviamo l equazione generica della circonferenza e imponiamo il passaggio per ( 0; 0) e la condizione di tangenza con la retta : ( 0;0) c 0 a b c 0 a b c 0 a b c 0 ( a b) c 0 ( a b) 8c Quindi dovremo risolvere il sistema c 0 ( a b) 8c 0 Risolvendo il sistema abbiamo c 0 a b e quindi : a a 0 F che possiamo anche scrivere a( ) 0 dove a è il parametro. b) Possiamo combinare l equazione di una circonferenza tangente in T alla retta t con l equazione di t. Possiamo, per semplicità, scegliere come circonferenza tangente la circonferenza (degenere) di raggio nullo e centro T( 0; 0) 0 e allora abbiamo k( ) 0 cioè la stessa equazione trovata in a) (cambia solo il nome del parametro). Naturalmente scegliendo una circonferenza tangente diversa avrò un equazione diversa del fascio. 88

26 Osserviamo che il centro della circonferenza del fascio è cioè appartiene alla bisettrice del I-III quadrante (retta perpendicolare a t per T). Se k 0 si ottengono le circonferenze con centri nel III quadrante, se k 0 si ottengono quelle con centro nel I quadrante. ) Scrivere l equazione di un fascio di circonferenze aventi centro (;). In questo caso possiamo semplicemente usare l equazione dove r sarà il parametro. Oppure partendo da: a b c 0 poiché si avrà In questo caso per avere circonferenze reali dovremo porre, essendo Naturalmente potremo combinare anche le equazioni di due circonferenze di centro (;) (per esempio una circonferenza potrebbe essere quella degenere di raggio nullo.). 89

27 Esercizi sui fasci di circonferenze ) Determina l equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A(0;0) e B(6;0) combinando la circonferenza avente AB come diametro con la retta per A e B. [ 6 k 0] ) Determina l equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta t: in T(;) combinando la circonferenza degenere di raggio nullo del fascio con la retta tangente. Determina per quali valori di k si ottengono circonferenze di raggio r. [ F : k( ) 0 k ], ) Studia il fascio di circonferenze e determina per quali valori di k si ottiene: a) la circonferenza del fascio passante per P(;); b) la circonferenza del fascio avente centro (-;0); c) la circonferenza del fascio avente raggio r ) Studia: e determina per quali valori di k si ottiene: a) una circonferenza del fascio passante per P(;); b) una circonferenza avente centro (-;0); c) una circonferenza avente raggio r [fascio di circonferenze tangenti in (0;0) all asse per k ] 90

28 5) Studia : k( ) 0 e determina per quali valori di k si hanno: a) una circonferenza passante per P(;); b) una circonferenza di raggio r. [fascio di circonferenze concentriche di centro ( ; 0) per k k ; 8 k ; 5 5 k ] 7 6) Scrivi l equazione del fascio di circonferenze passanti per A( 0; 0) e B( 0; ) combinando la circonferenza di diametro AB con la retta per A e B (nella forma kr 0 ) e determina per quali valori di k si ottiene: a) la circonferenza del fascio passante per P( ; ); b) la circonferenza del fascio avente centro (, ); c) la circonferenza del fascio avente raggio r =. [ k 0 ; 8 k ; k ; k, ] 7) Studia ( k ) ( k) ( k) 0 e determina per quali valori di k si ottiene: a) la circonferenza del fascio passante per ( -; -); b) la circonferenza del fascio tangente alla retta ; c) la circonferenza del fascio avente raggio r 5. [fascio di circonferenze secanti in A( 0; 0) e B( 0; ) per k ; k ; k ; k 5, k 7 ] 8) Studia : ( k ) ( k) k k 0 e determina per quali valori di k si ottengono circonferenze reali. [fascio di circonferenze non aventi punti in comune e non concentriche per k e k ] 9

29 9) Studia k( ) 0 e determina per quali valori di k si ottengono: a) circonferenze reali; [ k ] b) circonferenze di raggio r ; [ k ; k ] c) la circonferenza passante per P( ; 0); [ k ] d) la circonferenza tangente alla retta 8. [ k ] 0) Studia k( ) 0 e determina per quali valori di k si ottengono: a) circonferenze reali; [ k k ] b) circonferenze di raggio r (disegnale); [ k 0 ; k ] c) circonferenza passante per ( 0; 0). [ k ] ) Studia k( ) 0 e determina per quali valori di k si ottengono : a) circonferenze reali; [ k ] b) circonferenza passante per ( 0; 0) (disegnala); [ k ] c) circonferenze di raggio r. [ k ], ) Studia k( ) 0 e determina per quali valori di k si ottengono: a) circonferenze reali; [ k k 0 ] b) circonferenze con raggio r ; [ k ] 9 c) circonferenza tangente alla retta [ k ] 7 9

30 ESERIZI DI RIAPITOLAZIONE ) Dato il fascio di circonferenze di equazione k( ) 0 a) studialo e disegna le generatrici; [fascio circ. secanti in A(;) e B(;) k ] b) determina il valore di k per il quale si ottiene la circonferenza di centro (;) e disegnala; [ k ] c) determina per quali valori di k si ottengono circonferenze di raggio 5 e disegnale. [ k k ] ) Dato il fascio di circonferenze di equazione k( ) 0 a) studialo e disegna le generatrici; [fascio circ. concentriche per k ] b) determina per quali valori di k si ottengono circonferenze di raggio minore di e per quali valori di k si ottengono circonferenze di raggio maggiore di ; [ k 0 ; k 0 ] c) determina per quale valore di k si trova la circonferenza del fascio tangente all asse e disegnala. [ k ] ) Dato il fascio di circonferenze di equazione k( ) 0 a) studialo e disegna le generatrici; [fascio circ. tangenti in T (; ) a t : ] b) indica dove si trovano le circonferenze del fascio corrispondenti a valori positivi di k e quelle corrispondenti a valori negativi di k (disegnane qualcuna) ; [a sinistra di t; a destra di t] c) determina per quali valori di k si ottengono circonferenze tangenti alla retta 0 e disegnale. [ k ], 9