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1 Un isometria è perciò una trasformazione geometrica che conserva la distanza tra due punti. onsideriamo alcune particolari trasformazioni isometriche Traslazioni hiamiamo vettore un segmento sul quale abbiamo stabilito un orientamento. Diciamo vettore nullo il vettore che applicato a qualsiasi punto del piano gli associa lo stesso punto. Diciamo traslazione di vettore v r la trasformazione geometrica τ che a ogni punto P associa il punto P + v r. r Indichiamo con il simbolo v un vettore di nome v. In formula, la traslazione di vettore v r si indica con τ ( P )=P + v r. Ecco un riferimento grafico di una traslazione del triangolo B rispetto al vettore tratteggiato: Dato un vettore v r, diciamo suo vettore opposto quel vettore che ha la stessa ampiezza di v r, la stessa direzione ma verso opposto. Dato un vettore v r lo rappresentiamo sul piano cartesiano ortogonale in modo che sia applicato nell origine: diciamo sue componenti le coordinate del punto individuato dall altro estremo. B Siamo ora in grado di determinare le leggi di una generica traslazione. 48 apitolo 2 B I Un r vettore di componenti a e b si indica con v a;b ( ). I I

2 ( ). In figura trasliamo il punto P ( 3; 1) rispetto al vettore r v 2;3 P I Q P Per determinare più semplicemente il corrispondente di P abbiamo scomposto il percorso nei due tratti più lunghi ma più semplici da determinare. In pratica, a partire da P, ci siamo spostati di 2 unità a sinistra e poi di 3 unità verso l alto. Naturalmente avremmo ottenuto lo stesso risultato invertendo i due passi precedenti. Quel che importa è invece il fatto che vi è una relazione fra le coordinate di P e quelle di P' che coinvolge solo le coordinate omonime, cioè ascisse con ascisse e ordinate con ordinate. Pertanto la legge che abbiamo applicato a P è semplicemente: x '=x 2 y '=y +3 Infatti P ( 3; 1) è divenuto P ' ( 3 2; 1 + 3) ( 5; 4) Visti i risultati dell precedente risulta immediato il seguente teorema. TEOREM 1 Le leggi che governano una traslazione di vettore v r a;b le seguenti: x'= x +a t: y'= y +b y O Le trasformazioni geometriche 49 x ( ) sono Risulta altresì di semplice comprensione e altrettanto semplice dimostrazione il seguente teorema. TEOREM 2 L inversa di una traslazione di vettore v r a;b di vettore w r ( a; b). ( ) è una traslazione

3 onsideriamo la traslazione di legge x '=x 2 y '=y +3 quale sarà la sua inversa? Basta risolvere il precedente sistema considerato nelle incognite x e y. bbiamo facilmente x =x '+2 y =y ' 3 ( ) è una traslazione di vet- Quindi l inversa della traslazione di vettore v r 2; 3 tore w r 2; 3 ( ). ' ' B' 50 apitolo 2 Un po più laboriosa nei calcoli può risultare la dimostrazione del seguente teorema. TEOREM 3 Le traslazioni sono isometrie. TEOREM 4 Tutte le rette parallele al vettore di una data traslazione sono unite per la stessa traslazione. Vediamo adesso qualche altra isometria Simmetrie Diciamo simmetria assiale di asse la retta a, la trasformazione geometrica che a ogni punto P associa il punto P', ottenuto in modo che l asse a sia perpendicolare al segmento PP' nel suo punto medio. In figura è rappresentata la simmetria del triangolo B rispetto alla retta r (asse della simmetria). I segmenti tratteggiati collegano i punti corrispondenti e sono perpendicolari all asse. B r

4 onsideriamo adesso particolari simmetrie assiali. In figura abbiamo costruito il triangolo simmetrico di B rispetto a una retta parallela all asse delle ordinate, in particolare a quella che passa per i punti di ascissa 2, cioè di equazione x = 2. y ' ' B' Vogliamo cercare di determinare la legge che permette di passare dalle coordinate di B a quelle di 'B''. Notiamo intanto che le ordinate non sono variate, pertanto y' = y. Per quanto riguarda le ascisse, si tratta invece di valutare la distanza fra ciascun punto e l asse di simmetria. Non è difficile osservare che il punto medio fra ciascun punto e il proprio corrispondente, per e ', appartiene all asse di simmetria. Quindi per trovare la legge basta tenere conto di ciò, si ha: x ' +x =2 x ' =2 2 x x ' =4 x 2 Tale relazione vale ovviamente anche per B, e qualsiasi altro punto del triangolo o in generale del piano. Visti i risultati dell precedente, è di immediata comprensione e dimostrazione il seguente teorema. TEOREM 5 Le leggi che governano una simmetria rispetto a una retta parallela all asse delle ordinate, di equazione x = a, sono: B x'= 2a x s x=a : y'= y Le trasformazioni geometriche 51 x

5 ome immediata generalizzazione si ha la validità anche di quest altro teorema. TEOREM 6 Le leggi che governano una simmetria rispetto a una retta parallela all asse delle ascisse, di equazione y = a, sono: x'= x s y=a : y'= 2a y Pone maggiori difficoltà il problema di determinare le leggi di una simmetria rispetto a una retta generica, di equazione ax + by + c = 0. onsideriamo un. Vogliamo determinare il simmetrico del punto P (1; 2) rispetto alla retta r di equazione 2x 3y 1 = 0. In pratica dobbiamo considerare l intersezione M della retta n per P perpendicolare a r con la stessa r. Quindi dobbiamo determinare P' su n in modo tale che M sia punto medio di PP'. y O r P x P' M Intanto determiniamo la retta n, applicando l apposita formula per la determinazione della perpendicolare a una retta per un punto: n: 3 (x 1) + 2 (y 2) = 0 3x + 2y 7 = 0 Determiniamo le coordinate del punto M: x = 23 2x 3y 1=0 3x +2y 7=0 y = apitolo 2 n

6 desso determiniamo le coordinate di P': x '+1 2 = 23 y '+2 2 =11 x '= 33 y '= 4 ( ), Se ripetiamo il precedente procedimento per un generico punto P x P ;y P determiniamo le leggi della simmetria rispetto alla retta r di equazione Procediamo: 2x 3y 1 = 0 3 ( x x P )+2 ( y y P )=0 3x +2y 3x P 2y P =0 x = 9x +6y +2 P P 2x 3y 1=0 3x +2y 3x P 2y P =0 y = 6x +4y 3 P P x '+x P = 9x +6y +2 P P x '= 5x +12y +4 P P 2 y '+y P = 6x +4y 3 P P y '= 12x 5y 6 P P 2 Sostituendo x P e y P con x e y, otteniamo le leggi cercate. Lasciamo per esercizio la dimostrazione del seguente teorema che segue la falsariga del precedente. TEOREM 7 Le leggi che governano una simmetria rispetto a una retta di equazione ax + by + c = 0 sono: x'= x ( b2 a 2 ) 2aby 2ac a s ax+by+c=0 : 2 +b 2 y'= 2abx +y ( a2 b 2 ) 2bc a 2 +b 2 Le trasformazioni geometriche 53

7 Verifichiamo che le leggi del Teorema 7 contengono come caso particolare quelle trovate nell precedente. bbiamo a = 2, b = 3, c = 1: s 2x 3 y 1=0 : ( ) Vale anche il seguente intuitivo teorema. x ( 3) ( 3)y 2 2 ( 1) x '= ( 3) ( 3)x +y ( 2 2 ( 3) ) 2 2 ( 3) ( 1) y '= ( 3) 2 5x +12y +4 x '= 12x 5y 6 y '= TEOREM 8 Tutte le rette perpendicolari all asse di una simmetria assiale sono unite per la stessa simmetria. L asse di simmetria è luogo di punti uniti. desso passiamo a un altro tipo di simmetria. Diciamo simmetria centrale di centro il punto la trasformazione geometrica che a ogni punto P associa il punto P', ottenuto in modo che i punti P, P ' e siano allineati e che sia il punto medio del segmento PP '. Ecco un riferimento grafico di simmetria centrale del triangolo B rispetto al centro O: B ' 54 apitolo 2 O ' B'

8 In figura abbiamo determinato il simmetrico del triangolo B rispetto al punto D, tenendo conto sempre delle proprietà del punto medio. B O Quanto mostrato nell, evidentemente generalizzabile a qualsiasi centro di simmetria, ci permette di trovare facilmente le leggi di una simmetria centrale. TEOREM 9 Le leggi che governano una simmetria rispetto al centro (a; b) sono: x'= 2a x s (a; b) : y'= 2b y Vale quest altro importante e intuitivo teorema. TEOREM 10 Tutte le rette per il centro di simmetria sono unite per la simmetria. Enunciamo ora per le simmetrie centrali alcuni teoremi di facile comprensione e dimostrazione (lasciata perciò per esercizio al lettore). TEOREM 11 Le simmetrie assiali e centrali sono trasformazioni involutorie. TEOREM 12 Le simmetrie assiali e centrali sono isometrie. Le trasformazioni geometriche 55 y D B' ' ' x

9 Infine un ultima isometria Rotazioni Diciamo rotazione di centro il punto e ampiezza l angolo α la trasformazione geometrica che a ogni punto P associa il punto P', ottenuto in modo che P e P' appartengano alla circonferenza di centro, determinando un angolo al centro di ampiezza α. In figura abbiamo ruotato il punto rispetto al centro, evidenziando la circonferenza cui appartiene l arco, nonché l angolo di rotazione. Osserviamo che la rotazione è avvenuta in senso antiorario, quindi l angolo di rotazione è positivo. ' Per determinare le leggi generali di una rotazione sono necessarie le funzioni goniometriche. TEOREM Le leggi che governano una rotazione intorno al centro (a; b) di un angolo di misura a nel verso antiorario sono le seguenti: x'= x cos(α) y sen(α)+a a cos ( α)+b sen α y'= x sen(α)+y cos(α)+b a sen( α) b cos α ( ) ( ) Tenuto conto delle precedenti leggi e di quanto detto finora risulta di immediata dimostrazione il seguente teorema: TEOREM 14 Una rotazione di centro e angolo 180 è una simmetria di centro. Una rotazione di centro e angolo 360 è l identità. 56 apitolo 2

10 2 Le trasformazioni geometriche Esercizi svolti Data la trasformazione τ ( x; y )= x 2y +1; 2x +y 2 1 punti uniti. Dobbiamo risolvere il seguente sistema: ( ), vogliamo determinare gli eventuali x =x 2y +1 y =2x +y 2 1 Esso è ottenuto semplicemente imponendo l uguaglianza del generico punto (x; y) con il suo trasformato mediante la τ. Risolviamo: y = 1 y = 1 y = 1 y = 1 0= 2y +1 2 y =2x +y =2x x =0 2x = 5 2 x = Quindi la trasformazione ha l unico punto unito: P 5 8 ; 1 2 Verifichiamo la validità del nostro procedimento: τ 5 8, 1 2 = 5 8 /2 1 /2 +1; /2 5 / /1+/1; ; 1 2 ( ) è invertibile, determi- 2 Vogliamo stabilire se la trasformazione τ ( x; y )= 3x +2y 1; x y 2 nandone anche la legge dell eventuale inversa. Dire che una trasformazione è invertibile significa che siamo in grado di passare da τ (x; y) a (x; y). Per dato che: τ (2; 0) = ( ; ) = (5; 2), dobbiamo essere in grado di risalire da (5; 2) a (2; 0). Per ottenere il risultato generale dobbiamo risolvere il seguente sistema: 3x +2y 1=x ' x y 2 =y ' in cui le incognite sono x e y. Le trasformazioni geometriche 57