TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO

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1 TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se il det A ad - bc è diverso da zero, la trasformazione è invertibile e uindi biunivoca; in tal caso la trasformazione è detta affinità. La sua inversa è A tale che: A A A A I. Se det A > si dice che l affinità è diretta o ositiva. Se det A <, si dice che l affinità è inversa o negativa. La affinità formano gruo e comrendono come casi articolari altre trasformazioni, come da schema ui raresentato. Le rinciali rorietà dell affinità sono: Il modulo del determinante della matrice di trasformazione raresenta il raorto tra le aree di figure corrisondenti nell affinità, raorto che è ertanto tante e che viene detto raorto di S affinità : ad bc. S Una affinità trasforma una retta in una retta. Una affinità conserva il arallelismo. Una affinità conserva il unto medio di segmenti. Una affinità trasforma rette incidenti in rette incidenti (ma non conserva gli angoli.

2 Affinità diretta Affinità inversa Elementi uniti Si dice elemento unito in una trasformazione un elemento che coincide con il suo trasformato. Si danno vari casi: - non ci sono unti uniti (ad esemio nella traslazione nessun unto si trasforma in se stesso - vi è un unto unito, detto centro dell affinità (ad esemio il centro di una simmetria centrale - vi sono due unti uniti; in tal caso si uò dimostrare che vi sono infiniti unti uniti, cioè vi è una retta unita che è la retta assante er i due unti. La retta uò risultare untualmente invariante (ogni unto si trasforma in se stesso: er esemio l asse di una simmetria assiale oure globalmente invariante (la retta si trasforma in se stessa, ma ogni unto si trasforma in un altro unto: er esemio una retta in una traslazione di vettore arallelo alla retta. Se il centro dell affinità è l origine degli assi le euazioni dell affinità diventano: a b c d Se ad bc, l affinità è una euivalenza, cioè conserva le aree. SIMILITUDINI Le similitudini sono articolari affinità tali che trasformano una circonferenza in una circonferenza. E facile dimostrare che, affinché ciò accada, devono valere le relazioni: a c b d ab cd o euivalentemente a b c d ac bd uindi le euazioni di una similitudine diretta saranno del tio: a b b a dove a b è il raorto di similitudine, cioè il raorto tra le lunghezze di segmenti corrisondenti. Se det A a b >, la similitudine è diretta. Se det A ( a b <, la similitudine è inversa. La similitudine, come noto, conserva gli angoli.

3 Similitudine diretta Similitudine inversa Teorema: ogni similitudine diretta, che non sia una traslazione, è comosta da una rotazione di centro O, da una traslazione e da una omotetia di centro O. Si uò allora scrivere: ( ( sen sen similitudine diretta Teorema: ogni similitudine inversa è comosta da una rotazione di centro O, da una simmetria risetto all asse, una traslazione e una omotetia di centro O. Si uò allora scrivere: ( ( sen sen similitudine inversa Teorema: la comosizione di due similitudini dirette è una similitudine diretta, il cui raorto di similitudine è uguale al rodotto dei due raorti delle similitudini comonenti. Teorema: la comosizione di due similitudini indirette è una similitudine diretta, il cui raorto di similitudine è uguale al rodotto dei due raorti delle similitudini comonenti. DILATAZIONI La dilatazione è una articolare affinità della forma: h con h in generale. Se h>, la dilatazione è diretta, se h <, la dilatazione è inversa. Dilatazione diretta Dilatazione indiretta OMOTETIE Se una dilatazione è anche una similitudine, essa è detta omotetia. omotetia di centro il unto unito C ; omotetia di centro O è il raorto di omotetia (similitudine, cioè il raorto tra lunghezze di segmenti corrisondenti.

4 Il determinante dell omotetia è semre >; uindi l omotetia è semre una affinità diretta. Si fa comunue la seguente distinzione. Se >, l omotetia si dice omotetia diretta in uanto: unti e loro corrisondenti aartengono alla stessa semiretta di origine C. Se <, l omotetia è detta omotetia inversa in uanto: unti e loro corrisondenti aartengono a semirette ooste risetto al unto C. Se >, si avrà una dilatazione delle figure, se è in modulo <, si avrà una riduzione. Se, si ottiene una traslazione (in articolare l identità, se. Se -, si ottiene una simmetria centrale (in articolare la simmetria di centro O, se. Omotetia diretta Omotetia inversa ISOMETRIE Le isometrie sono similitudini di raorto ±. L euazione generale di una isometria sarà: ( sen ( sen ( sen ( sen isometria diretta, det isometria inversa, det - Particolari isometrie dirette sono: sen sen rotazione di centro l origine ( ( ( sen ( sen rotazione di centro il unto (, (La trasformazione inversa è la rotazione di angolo, che, come facilmente verificabile, ha ancora determinante traslazione ( simmetria centrale ( 8 4

5 Particolari isometrie indirette sono: sen sen isometria indiretta di centro l origine Non è una vera rotazione: è una trasformazione che ruota effettivamente la figura dellangolo ma la inverte. Ad esemio inverte il senso di lettura dei vertici di un triangolo. simmetria assiale (asse arallelo all asse ( simmetria assiale (asse arallelo all asse ( 8 simmetria assiale risetto alla bisettrice ( 9 a b b a glissosimmetria: è la comosizione di una simmetria assiale con a b e di una traslazione di vettore arallelo all asse di simmetria Casi articolari di glissosimmetria: asse di simmetria asse, traslazione arallela allasse asse di simmetria asse, traslazione arallela allasse ISOMETRIE RETTE UNITE PUNTI UNITI Isometrie dirette - traslazione nessun unto unito, infinite rette globalmente unite - simmetria centrale un unto unito, infinite rette globalmente unite, involutoria - rotazione un unto invariante, nessuna retta invariante Isometrie inverse - simmetria assiale una retta untualmente invariante, infinite rette globalmente invarianti (uelle ortogonali all asse di simmetria involutoria - glisso simmetria una retta globalmente unita 5