LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

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1 Lezione 8 3/11/2017

2 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

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5 Narciso di Caravaggio

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7 I sette tipi di fregi

8 TRASFORMARE Ogni giorno facciamo esperienza di trasformazioni nello spazio: ci si sposta nello spazio si cambia posto agli oggetti ci si guarda allo specchio si deformano cose ( con gli elastici, in cucina,..) la terra ruota su se stessa e intorno al sole.. Dalla necessità di razionalizzare anche questo tipo di esperienze nasce, in geometria, il concetto di trasformazione geometrica

9 TRASFORMARE Cosa vuol dire, in geometria, trasformare una figura F in una figura F? Vuol dire che ogni punto di F si trasforma in uno e un solo punto di F e viceversa. Si apre così una questione interessante: quali aspetti di una figura restano immutati e quali no? Cioè quali sono gli invarianti? La risposta a questa domanda classifica il tipo di trasformazione che si sta attuando.

10 Siano F ed F due poligoni che si corrispondono in una trasformazione. Se F ed F hanno lati ed angoli corrispondenti congruenti, allora la trasformazione è un isometria Se F ed F hanno angoli corrispondenti congruenti e lati corrispondenti in proporzione, allora la trasformazione è una similitudine Se F ed F non hanno né angoli corrispondenti congruenti né lati corrispondenti in proporzione, ma il numero di lati non varia, allora la trasformazione è una affinità ( Es.: un quadrato che diventa un parallelogramma)

11 Generalizziamo: Una trasformazione geometrica del piano è una corrispondenza biunivoca del piano in se stesso, cioè ogni punto del piano ha uno ed un solo corrispondente nel piano stesso. I punti che corrispondono a se stessi si chiamano punti uniti della trasformazione ed, in generale, quelle figure che, trasformate, coincidono con se stesse si chiamano elementi uniti della trasformazione. Le trasformazioni a cui ci riferiamo in questa sintesi trasformano rette in rette, segmenti in segmenti, lasciano inalterate cioè le caratteristiche essenziali delle figure geometriche

12 Se in una trasformazione i segmenti corrispondenti sono congruenti, allora la trasformazione è una isometria. Se il rapporto tra segmenti corrispondenti è costante allora la trasformazione è una similitudine. Se le figure trasformate mantengono solo le caratteristiche fondamentali (numero di lati, parallelismo tra rette, appartenenze) allora la trasformazione è una generica affinità.

13 Esaminiamo le trasformazioni che compaiono nelle Indicazioni Nazionali

14 Simmetria assiale (Riflessione) Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che associa ad ogni punto della retta r se stesso e ad ogni punto P del piano, non appartenente ad r, il punto Q tale che il segmento PQ sia perpendicolare ad r e tale che il punto medio di PQ appartenga ad r. r

15 Elementi uniti della trasformazione: i punti dell asse di simmetria l asse di simmetria le rette perpendicolari all asse di simmetria tutte le figure per cui la retta è asse di simmetria

16 Asse di simmetria di una figura Una retta r asse di simmetria per una figura F se, la sua simmetrica rispetto ad r coincide con F. Una figura può ammettere più assi di simmetria: Fare esempi

17 SIMMETRIA CENTRALE Si dice simmetria centrale di centro O la trasformazione che ad O associa se stesso e che ad ogni punto P, diverso da O, associa il punto Q, per il quale O è punto medio del segmento PQ

18 Elementi uniti della trasformazione: i l centro di simmetria le rette passanti per il centro di simmetria tutte le figure per cui il punto è centro di simmetria

19 Centro di simmetria di una figura Una punto C è centro di simmetria per una figura F se, la sua simmetrica rispetto C coincide con F. Il centro di simmetria, se esiste, è unico. Fare Esempi

20 Traslazione La traslazione è una trasformazione che sposta ogni punto di una figura della stessa distanza e nella stessa direzione e stesso verso. Utilizzando un linguaggio più rigoroso, si può anche dire: la traslazione fa corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P, tale chepp =v, essendo v il vettore assegnato.

21 Elementi uniti della trasformazione: tutte le rette parallele al vettore di traslazione. N.B.: se il vettore di traslazione è nullo, allora tutte le figure coincidono con se stesse, cioè rimangono ferme; la trasformazione è una identità

22 Rotazione Dato un piano ed un suo punto O, viene chiamata rotazione di centro O ed angolo α, quella trasformazione del piano in sé che fa corrispondere ad ogni punto P del piano il punto P, anch esso del piano, in modo che risulti: PÔP α OP OP Si considera l angolo α positivo se la rotazione avviene in senso antiorario, negativo se avviene in senso orario.

23 Elementi uniti della trasformazione: Se l angolo di rotazione è diverso da 0 da 180 e dai multipli di 180 l unico punto unito è il centro di rotazione non ci sono rette unite ci sono figure unite?

24 ISOMETRIE E CONGRUENZE Tutte le trasformazioni che abbiamo introdotto conservano angoli e distanze, mantengono cioè inalterate forma e dimensioni delle figure sulle quali agiscono. Per tale ragione vengono chiamate isometrie. C è però una differenza: Se prendiamo una figura e la sua traslata, facendola muovere quest ultima nel piano, possiamo portarla a sovrapporsi alla figura di partenza. Così accade per la figura ruotata Ma la stessa cosa non accade per la figura riflessa: se vogliamo portare la trasformata a coincidere con la figura di partenza, dobbiamo uscire dal piano ed effettuare un ribaltamento nello spazio Per tale ragione rotazione e traslazione vengono chiamate congruenze, o isometrie dirette o movimenti rigidi. La simmetria assiale viene invece detta isometria indiretta, o ribaltamento

25 E la simmetria centrale? Cosa accade se applichiamo ad un oggetto una simmetria, e poi al risultato la stessa? Oppure una simmetria e poi un altra diversa?

26 CONCLUSIONI Applicando due volte la stessa simmetria si torna alla posizione di partenza Applicando due simmetrie assiali con assi paralleli si ottiene una traslazione Applicando due simmetrie assiali con assi incidenti si ottiene una rotazione di angolo doppio di quello individuato dai due assi Se gli assi sono perpendicolari si ottiene una simmetria centrale, ma anche una rotazione di 180 la simmetria centrale è una isometria diretta!!!

27 ATTIVITÀ Dipingere con la tempera metà foglio di carta da pacchi poi piegarlo; cosa si ottiene? Oppure disegnare su un foglio piegato sopra uno di carta carbone.si possono vedere sia simmetrie centrali che riflessioni Osservare oggetti, foglie, fiori, il proprio corpo. Ci sono simmetrie tra le lettere dell alfabeto? Cercare le simmetrie nelle figure geometriche. Inventare cornicette applicando una o più trasformazioni geometriche Usare gli specchi e le camere di specchi

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29 Qualche applicazione Il caleidoscopio è uno strumento ottico che si serve di specchi e frammenti di vetro o plastica colorati, per creare una molteplicità di strutture simmetriche. Il più rudimentale caleidoscopio è formato da un semplice tubo di cartone rivestito internamente di almeno due specchi (montati solitamente fra loro in modo da formare angoli di 60 ); nella parte anteriore, separati dal corpo centrale da un vetro rotondo trasparente, sono inseriti dei frammenti colorati di varie forme e colori. Un vetro smerigliato chiude il tubo all'estremità. Immagine di un caleidoscopio a tre specchi

30 Qualche applicazione La tassellazione del piano Verifica di equivalenze tra figure

31 Tassellazioni Una tassellazione del piano è una collezione di poligoni che godono di alcune proprietà. I poligoni si chiamano facce della tassellazione; i loro spigoli (o lati) si dicono spigoli della tassellazione; i loro vertici si dicono vertici della tassellazione. Le proprietà da soddisfare sono le seguenti: 1) l unione delle facce ricopre il piano; 2) date due facce si verifica una delle seguenti possibilità: - sono disgiunte (cioè prive di punti comuni) - hanno in comune uno spigolo - hanno in comune un vertice 3) ogni vertice appartiene ad un numero finito di facce.

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33 Attività 1) Supponiamo di voler fare la tassellazione con una sola forma (oppure due forme o tre forme ): con quali poligoni regolari si può fare? Perché? 2) Effettuare una tassellazione con un poligono non regolare ( o due )e spiegare perché funziona. 3) Studiare delle tassellazioni già realizzate (es. i mosaici dell Alhambra o le tassellature di Escher)

34 Mosaici dell Alhambra

35 E S C H E R

36 Verifica di equivalenze tra figure Traslazione: rettangolo-parallelogramma Rotazione: trapezio- triangolo trapezio parallelogramma rombo - rettangolo

37 Nello spazio L argomento simmetrie può essere esteso alle figure solide, purché lo si limiti al centro di simmetria ed ai piani di simmetria. La ricerca di assi di simmetria in generale è molto impegnativa e non alla portata dei bambini della scuola primaria. L argomento, ad ogni buon conto, non dovrebbe essere affrontato prima della IV classe. Esempi: Lo specchio è un piano di simmetria Il nostro corpo ha un piano di simmetria? Un cubo ha piani di simmetria, quanti? E un cono?.

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44 Omotetia Definizione: Dato un numero reale k > 0, si definisce omotetia con centro O e rapporto k quella trasformazione che fa corrispondere ad un generico punto A del piano un punto A', allineato con O e con A, tale che sia: OA'/OA = k.

45 Nota Bene

46 L omotetia, quindi, trasforma una figura geometrica in una figura avente la stessa forma di quella data, cioè simile a quella data; precisamente: gli angoli corrispondenti sono congruenti i lati corrispondenti sono proporzionali. L omotetia è la base della riproduzione in scala.

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49 Attività Interpretare la scala di una cartina geografica. Calcolare distanze, data una riproduzione in scala. Fare una riproduzione in scala. (Indicazioni nazionali: riprodurre in scala una figura assegnata, utilizzando, ad esempio, la carta a quadretti)...

50 GEOMETRIA SOLIDA -Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri -Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione.

51 CLASSIFICARE

52 VERIFICARE

53 COSTRUIRE

54 SVILUPPARE

55 Una opportunità: i poliedri regolari

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