Le trasformazioni geometriche

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1 Un trasformazione geometrica t è una corrispondenza biunivoca che fa corrispondere ad un punto P del piano un altro punto P, ad una figura F una figura F. Il punto P si dice il trasformato di P secondo la trasformazione t. 1

2 Vi sono diversi tipi di trasformazioni geometriche che si possono così classificare: Proiettività Affinità Similitudini Omotetie Isometrie. 2

3 Sono tutte quelle trasformazioni che si possono ottenere lavorando, ad esempio con una struttura quadrettata illuminata da una lampada. Le ombre sono trasformazioni proiettive che hanno come invarianti solo le rette che restano tali. Sono varianti invece le rette parallele, gli angoli e le misure dei lati. Proiettività 3

4 Sono tutte quelle trasformazioni che si possono ottenere lavorando, ad esempio con una struttura quadrettata illuminata da raggi solari (paralleli). Le ombre sono trasformazioni affini che hanno come principali invarianti le rette parallele che restano tali. Sono varianti invece gli angoli e le misure dei lati. Affinita 4

5 Affinita Un altro esempio di affinità può essere ricavato dall uso del telo elastico. Rappresentata sul telo una figura qualsiasi, ad esempio un cerchio con all interno un esagono, si nota che dopo averlo allungato orizzontalmente, la figura ottenuta (il trasformato) non conserva le misure dei lati del poligono, né gli angoli, solo le rette parallele restano tali. 5

6 Omotetìa La trasformazione omotetica si ottiene tracciando i segmenti che uniscono un punto C (detto centro dell omotetia) con i vertici del triangolo ABC. Il triangolo trasformato A B C avrà le misure dei lati proporzionali ai corrispondenti del triangolo ABC (in figura la proporzione è 2, cioè i lati di A B C sono doppi di ABC). E da notare che anche la misura di A 1 C è il doppio di AC. Gli invarianti sono dunque gli angoli, le rette parallele, la direzione, il rapporto di due lati omologhi (corrispondenti), ma non le misure dei lati. 6

7 Similitudine La similitudine consiste essenzialmente in un ingrandimento o rimpicciolimento della figura di partenza. Il triangolo ABC è stato trasformato in A B C, con le misure dei lati proporzionali a quelli del triangolo ABC (in figura la proporzione è 2, cioè i lati di A B C sono doppi di ABC). Gli invarianti sono qui gli angoli, il rapporto di due lati omologhi (corrispondenti), ma non le misure dei lati e nemmeno le direzioni. 7

8 Le precedenti trasformazioni si chiamano anche trasformazioni non isometriche. Le isometrie sono invece le particolari trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra punti, cioè la misura dei lati. Si possono così classificare: 1.Traslazioni 2.Rotazioni 3.Simmetrie centrali 4.Simmetrie assiali. Isometrie 8

9 1.La traslazione Una traslazione è una trasformazione affine che sposta una figura A in A nella stessa direzione indicata dal vettore v, lasciando inalterati tutti i punti della figura. A si dice il traslato di A rispetto alla traslazione t. La traslazione è un movimento diretto, cioè mostra sempre la stessa faccia. A A 9

10 2. La rotazione Una rotazione è una trasformazione che sposta l oggetto da A in A, facendolo ruotare intorno al centro C della rotazione di un certo angolo, che può essere interno o esterno alla figura. La rotazione può avvenire in senso orario o antiorario. La rotazione è un movimento diretto, cioè mostra sempre la stessa faccia. A C A 10

11 3. La simmetria centrale Una simmetria centrale è una rotazione del triangolo ABC di 180 rispetto al centro di simmetria O. Le due figure A e A' si dicono simmetriche rispetto a un punto O. La simmetria centrale è un movimento diretto, cioè mostra sempre la stessa faccia. A A 11

12 4. La simmetria assiale La simmetria assiale è una riflessione che "specchia" tutti i punti rispetto ad una retta (detto asse di simmetria). Due figure A e A' si dicono simmetriche rispetto a una retta r. La simmetria assiale è un movimento inverso, cioè inverte l orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, la faccia che vediamo). r A A 12

13 1.Il tetraedro Ha esattamente 24 simmetrie E ci sono 4 rotazioni di 120, 4 di 240, 3 rotazioni di 180, 6 riflessioni e l identità, 6 riflessioni rotatorie ad uno dei 3 assi di rotazione 13

14 2. Musica e simmetria Bach nelle sue opere, tra cui L arte della Fuga (BWV 1080) applicò alcune tecniche compositive che possono essere interpretate mediante le trasformazioni geometriche (vedi Contrapunctus 12 e Canon per Augmentationem in Contrario Motu). 14

15 3. Arte e simmetria 15

16 4. Arte e simmetria 16

17 5. Arte e simmetria 17

18 6. Architettura e simmetria archivio g.calò 18

19 7. Architettura e simmetria archivio g.calò 19

20 8. Architettura e simmetria archivio g.calò 20