PROIETTIVITÀ. L ombra di un oggetto data dai raggi provenienti da una lampada puntiforme

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1 PROIETTIVITÀ L ombra di un oggetto data dai raggi provenienti da una lampada puntiforme Se osserviamo l ombra di un quadrettato disposto con un lato che poggia sul tavolo di proiezione (figura 1) notiamo che le rette ombra formano dei trapezi. In particolare si ha che a) a rette corrispondono rette b) a rette parallele corrispondono rette incidenti; c) a segmenti uguali corrispondono in genere segmenti disuguali. Figura 1 Se allontaniamo la lampada S dal telaio, le rette ombra r, s, t.. tendono a diminuire la loro divergenza e si nota che la lunghezza dei segmenti A B, B C, tende ad uguagliarsi. Figura Si intuisce che se si potesse portare la lampada a distanza infinita, a rette parallele corrisponderebbero rette parallele così come a segmenti congruenti corrisponderebbero segmenti congruenti: si avrebbe l effetto prodotto dai raggi del sole e quindi una affinità.

2 Proiezione di una retta da un punto. I punti limite In figura 3 sono rappresentati il piano β con il suo punto O, il segmento HO della retta r perpendicolare a β e la sorgente puntiforme S. I raggi provenienti da S che si appoggiano ad r determinano un piano β e questo taglia β secondo la retta r : una retta ha infatti come ombra una retta Figura 3 Ai punti A,B, C, della retta r corrispondono i punti A, B, C, della retta r e viceversa. Vi sono però due punti che sfuggono a questa corrispondenza: - il punto H di r, tale che la retta HS è parallela a r, non ha ombra su r - il punto K di r, tale che la retta SK è parallela a r, non è ombra di nessun punto di r. I punti H e K sono detti punti limite o punti di fuga. In merito alla corrispondenza tra i punti di r e quelli di r è da evidenziare che, se il punto A si allontana dal punto limite H, il punto corrispondente A si avvicina al punto limite K. Invece, se A tende ad H, A si allontana sempre più da K sulla retta r (fig4). Figura 4 Si vede che all aumentare della distanza AH diminuisce la distanza A K. Per evidenziare la relazione che lega AH e A K consideriamo i triangoli rettangoli HAS e K SA (fig 5), questi due triangoli sono simili per avere gli angoli acuti ASH ˆ e K ' A ' S congruenti in quanto alterni interni delle rette parallele passanti per HS e A K.

3 Si ha pertanto A ' K' HS K' S AH ossia, indicando con d e d le distanze di S da r e da r : A ' K' d d' AH da cui AH A' K' d d' Figura 5 Una relazione analoga vale ovviamente per qualunque punto della retta r e il suo corrispondente su r ; si ha per esempio (fig 6) BH B' K' d d' e CH C' K' d d' Abbiamo così evidenziato l invariante delle trasformazioni proiettive: il prodotto delle distanze di due punti corrispondenti dai rispettivi punti limiti è costante. Figura 6

4 Proiezione di un piano da un punto. Le rette limite Occupiamoci della proiezione, da un punto S, di un piano β, su un altro piano β. Questo studio ci porterà a cogliere: a) come si presenta l ombra di una figura del piano β, quando viene proiettata su β da una lampada puntiforme posta in S (fig 7) ; Figura 7 b) come si può disegnare su β una figura del piano β, che venga fissata da un osservatore che la guarda da un punto S (fig 8). Figura 8

5 Notiamo (fig 9) che in genere ad ogni punto P e ad ogni retta t del piano β corrispondono, nella proiezione, un punto P e una retta t del piano β, e viceversa. Figura 9 Vi sono però due rette particolari: - la retta h di β passante per il punto limite H e parallela alla retta a comune ai due piani β e β non può avere un ombra su β ; (fig 10). - la retta h di β passante per K e parallela ad a non può essere ombra di nessuna retta di β (fig 11). Queste due rette sono dette rette limite. Figura 10 Figura 11

6 Proiezione di un cerchio da un punto. Le coniche Consideriamo sul piano β un cerchio (fig 1) con il centro sull asse delle. Nel caso della figura il cerchio si trova al di sotto del punto limite H. La sua ombra, sul piano β, data dai raggi uscenti da S è un ellisse. Figura 1 Nel caso della fig 13 il cerchio passa proprio per H che non avrà pertanto il corrispondente sul piano β. Questo ci fa capire che la curva-ombra si apre : si ottiene una parabola. Figura 13

7 Nel caso della fig 14 il punto H è interno al cerchio. Quando si proietta da S, alcuni punti del cerchio avranno i propri corrispondenti in un semipiano di β e altri nel semipiano opposto rispetto alla retta comune a β e a β. La curva-ombra si scompone in due rami simmetrici: si ha un iperbole. Figura 14 La proiezione di un cerchio da un punto S è pertanto un ellisse, una parabola o un iperbole a seconda della posizione di S rispetto al cerchio. Le equazioni della proiettività Per trovare un legame analitico fra un punto A del piano β e il punto corrispondente del piano β fissiamo un riferimento cartesiano sia su β che su β (fig15). Sul piano β scegliamo come asse delle x la retta limite, e come asse delle ordinate la retta perpendicolare ad x nel punto H. Sul piano β scegliamo come asse delle ascisse la retta limite che indicheremo con x ; come asse delle ordinate prenderemo la retta perpendicolare ad x nel punto K. Figura 15

8 I versi degli assi cartesiani sono stati fissati in modo tale che ad una figura del primo quadrante del piano Hx corrisponda una figura del primo quadrante del piano K x. Nella figura 16 sono rappresentati un punto A di β e il suo corrispondente A su β. Le coordinate del punto A sono x AP e HP Le coordinate del punto A sono x A P e K P Figura 16 Per determinare la relazione tra le ordinate e basta tenere presente la proprietà dei punti limite. Si ha infatti : HP K P d d ossia d d da cui d d'

9 La relazione tra le ascisse x e x si determina basandosi sulla similitudine dei triangoli K P A e K LM (fig 17) ; si ha allora A' P' ML K' P' K' L Figura 17 Ma essendo ML AP x, A P x, K P, K L d potremo anche scrivere x ' x d da cui x d Ricordando che d d' avremo infine dd' x d d' x

10 Siamo così arrivati alle equazioni della proiettività: d' x d d' Invertendo la x con x e la con avremo le equazioni della trasformazione inversa d x d d' E possibile avvalersi di queste equazioni in due modi: a) individuare la posizione del punto A (x, ) su β, conoscendo le coordinate del punto A di β; b) determinare la posizione del punto A(x, ) su β, conoscendo le coordinate del punto A di β. Esempi di costruzione della proiezione di una figura per mezzo delle equazioni della proiettività 1. Sul piano β è dato il cerchio di centro H ( 0,0) e raggio r 1 ( fig 18) Figura 18

11 Questo cerchio viene proiettato sul piano β da un punto S che si trova alla distanza d 1 da β e alla distanza d 1 da β. Per trovare l equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della trasformazione inversa; in questo caso, essendo d 1 e d 1, le equazioni sono: x 1 Sostituendo queste ultime nell equazione del cerchio x + 1 avremo ' 1 + ' 1 e quindi 1 Pertanto la figura ombra è un iperbole equilatera.. Sul piano β è dato il cerchio di centro C ( 0,1) e raggio r 1 Questo cerchio viene proiettato sul piano β da un punto S che si trova alla distanza d 1 da β e alla distanza d da β. Per trovare l equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della trasformazione inversa; in questo caso, essendo d 1 e d, avremo: x Sostituendo queste ultime nell equazione del cerchio + ( ) 1 e quindi ' Pertanto la figura ombra è una parabola. 1 x avremo 1

12 3. Sul piano β è dato il cerchio di centro ( 0, ) C e raggio r 1 Questo cerchio viene proiettato sul piano β da un punto S che si trova alla distanza d 1 da β e alla distanza d 4 da β. Per trovare l equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della trasformazione inversa; nel nostro caso, essendo d 1 e d 4, avremo x 4 Sostituendo queste ultime nell equazione del cerchio + ( ) 1 e quindi che può essere scritta nella forma 8 ' Pertanto la figura ombra è un ellisse. x avremo Sul piano β è dato il quadrato di vertici A,, B,, C, e D, Questo quadrato viene proiettato sul piano β da un punto S che si trova alla distanza d 1 da β e alla distanza d 1 da β. Per disegnare su β la figura ombra del quadrato basta applicare le equazioni della proiettività; in questo caso, essendo d 1 e d 1, le equazioni sono: 1 x I punti A, B, C, D hanno come corrispondenti i punti A '(, 4) B ', C ', D ', 3 3

13 Si può così designare la figura ombra: è un quadrilatero che non ha nessuna particolarità. Figura 19 Il disegno in prospettiva per mezzo delle equazioni della proiettività Nella figura 0 è rappresentato un pittore che disegna su una lastra di vetro disposta verticalmente. Si tratta di un dispositivo formato da due piani, uno orizzontale, sia β, su cui è poggiato l oggetto da disegnare, e l altro, la lastra di vetro, sia β, in posizione verticale. L artista osserva l oggetto dalla posizione S e traccia il disegno sulla lastra di vetro. Questo metodo equivale a proiettare dal centro S una figura posta sul piano orizzontale β sul piano del disegno β. I raggi di luce questa volta vanno dall oggetto poggiato su β al punto S, l occhio dell osservatore, attraverso la lastra di vetro. Figura 0

14 Vediamo con un esempio come le equazioni della proiettività e quelle della trasformazione inversa possono sostituire la lastra di vetro. Si voglia riprodurre sul foglio da disegno due binari ferroviari. Sul piano β sono rappresentate due rette parallele all asse. Il foglio da disegno sia β; supponiamo che si trovi a un metro dall occhio S, e che S si trovi ad un altezza di 4 metri al di sopra dei binari. Le equazioni della trasformazione proiettiva e di quella inversa sono allora 4x 4 x 4 Supponiamo che le rette r e t che rappresentano i binari sul piano β abbiano equazioni x 1 e x Per la retta r, sostituendo il valore x 1 nelle equazione della trasformazione inversa, avremo 1 x 4 Dividendo membro a membro la seconda equazione per la prima si ottiene 4 x ossia 4x La retta x 1 si trasforma nella retta d equazione 4x ; questa equazione ci dice che la retta passa per l origine H del piano β. Allo stesso modo si trova che la retta t che in β ha equazione x si trasforma nella retta d equazione x passante per l origine H. Questo fatto matematico corrisponde al fatto visivo: guardando da S i binari sembrano incontrarsi in un punto. Figura 1

15 Il disegno in prospettiva con il calcolatore. Vogliamo eseguire al calcolatore il disegno di una torre in modo da dare a chi lo guarda alla distanza di un metro, la stessa impressione che avrebbe guardando la torre dalla cima di una collina alta 60 metri. La torre è un parallelepipedo a base quadrata, alto 40 metri, con un tetto piramidale alto 10 metri Le coordinate dei vertici del quadrato di base nel piano K x sono : A '( 40,70), B '( 50,60), C '( 60,70) e '( 50,80) D. La proiettività, essendo in questo caso d 1 e d d 1 60, ha come equazioni x 60 I punti corrispondenti ad A, B, C, D nel piano Hx hanno pertanto coordinate A,, B,1, C, e D, Il calcolatore è ora in grado di disegnare la base ABCD (fig ). Per disegnare la base superiore del parallelepipedo occorre valersi di altre equazioni: questa base è infatti ad un altezza di 40 metri rispetto al terreno ed è a 0 metri al di sotto dell occhio S dell osservatore. Si ha perciò in questo caso d 1 e d d 0 Le equazioni della proiettività sono quindi x 0 Ai punti A, B, C, D considerati a quota 40 metri corrispondono nel piano Hx i punti A,, B,, C, e D, Il calcolatore è ora in grado di disegnare la base superiore del parallelepipedo (fig ).

16 Figura Troviamo infine la posizione del vertice del tetto piramidale. Il vertice V, schiacciato sulla base inferiore del parallelepipedo, ha le coordinate del centro del quadrato per cui V ' C( 50,70). Dobbiamo ora trovare il corrispondente di V valendoci delle equazioni della proiettività. Si deve tenere conto che V si trova ad un altezza di 50 metri dal terreno e quindi a soli 10 metri al di sotto di S; si ha quindi d 1 e d d 3 10 Le equazioni che ci servono ora sono: x 10 Queste equazioni ci permettono di trovare il corrispondente V del punto V ; da si passa a V '( 50,70) 5 1 V, 7 7 Il calcolatore è ora in grado di eseguire il disegno in prospettiva della torre (fig 3). Figura 3

17 E chiaro che, variando i valori di d, d 1, d e d 3 e facendo ruotare di un angolo ß la base inferiore del parallelepipedo rispetto al suo centro, è possibile costruire il disegno della torre vista da una qualunque altra posizione e di dare quindi un idea dell effetto visivo che ha l osservatore in luoghi diversi (fig 4). Figura 4