Problema ( ) = 0,!

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1 Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente studiarla per x! 0, dove l espressione di f x nell intervallo 0,+! ( è: f ( x = 7 x. Lo studio che segue si riferisce a f ( x = 7 x [ [. Risulta f ( 0 = 0, lim f ( x = +" ; f!( x = 8x è sempre! 0 (nulla soltanto per x!+" x = 0 quindi f è strettamente crescente in 0,+! 4 4 [ [. La derivata destra di f in 0 vale 0; poiché f è pari, lo stesso vale per la derivata sinistra; quindi f è derivabile anche in 0 (nonostante la presenza del valore assoluto, ed è f! 0 assoluto per f, e il valore del minimo è 0. La derivata seconda è f!! x ( = 0. x = 0 è punto di minimo ( = 6x, positiva per x > 0 ; quindi f è convessa [ [ (poi, per la parità, e tenendo conto che f è derivabile anche in 0, la in 0,+! convessità si estende a tutto l asse reale. Il grafico di f è rappresentato in figura; si noti la diversa unità di misura sui due assi, per migliore visibilità. Studio di g. Non occorre uno studio specifico: il grafico di g si ottiene dalla sinusoide y = sen x con un cambiamento di scala sull asse delle ascisse; cambia soltanto il periodo, che anziché π è 4. La figura mostra il grafico di g e, con linea tratteggiata, il grafico y = sen x Domanda. L equazione della retta tangente al grafico di f in un suo punto di ascissa a è y = f ( a + f!( a x " a (, a condizione che f sia derivabile in a. Nel caso attuale a =, f ( a = 7! =, ( ossia y = 9x!. f!( a = 8" = 9 cosicché la tangente r cercata ha equazione: y = + 9 x! Per quanto riguarda g, la formula da applicare è la stessa. Occorrono i valori di g(, g! (. È ( =, g! ( x = "cos ( " x,! ( = 0,! ( = sen! g ( = "cos " g ( = "cos ( " = 0. La tangente s al grafico di g nel punto di ascissa ha equazione: y =. La retta s è parallela all asse delle ascisse, quindi l angolo formato dalle rette r e s è uguale all angolo formato da r con l asse delle ascisse. Il coefficiente angolare di r, che vale 9, è la tangente di quest ultimo angolo. L angolo in questione è quindi arctan 9 0, come si g (, la cui misura approssimata, in gradi sessagesimali, è: 8 4! può facilmente ottenere con una calcolatrice (predisposta in modalità DEG. Domanda. I soli punti d intersezione del grafici di f e g sono (0,0 e, nell intervallo! 0, # " $ è f x ( ; (! g ( x quindi l area della regione indicata vale # % ( sen (! x " 7 x dx = & " $ 0! cos (! x " 7 x= ' 4 x4 ( = 8 "! x=0!. Domanda 4. Per note regole i volumi dei solidi indicati si possono esprimere nel modo seguente: ( " ( f x ' Volume di S =! # g( x % ' $ ( dx =! sen &! x dx ( ( 0 ( ( " 79x 6

2 # ( ( " f ( x ( ( " 7x Volume di T =! % g x dx =! % sen! x dx $ 0 $ 0 In alternativa, il volume di T si può calcolare con la stessa regola applicata per il volume di S, ricavando le espressioni delle funzioni inverse di f e g e integrando rispetto alla variabile y. Problema Domanda. La tangente in A a L è la retta di equazione y =! x, che si nota essere la congiungente i punti A e B. Le aree richieste possono essere calcolate mediante integrali, ma anche in modo elementare. L area del segmento circolare delimitato dalla corda AB è la differenza tra l area del quarto di cerchio 9 ( 4! e l area del triangolo rettangolo isoscele AOB 9 # ( ; quindi l area del segmento circolare è 9 4! " 9. L area della regione compresa tra la parabola e il segmento AB è la differenza tra l area del triangolo AOB 9 e l area della parte di piano compresa tra la parabola e l asse x, per 0! x!. Quest ultima può essere calcolata applicando il Teorema di Archimede, tenendo presente che il vertice della parabola è V 0, ( (, e vale!! = ; quindi l area della regione che ora ci interessa è 9! =. Domanda. Il volume di W si ottiene integrando l espressione delle aree delle sezioni piane perpendicolari all asse x: Volume di W = " $ e 5!x dx = %! # 0 & e5!x x= ' = e 9! ( x=0 e. 4 Domanda. Le equazioni rispettivamente dell arco AB e della parabola L sono: y = Il volume del solido di rotazione è:! # ( 9 " x " ( 6 ( 9 " x & + $ % ' ( dx =! 9 " x " * x4 " 8x * 0 0 Domanda 4. Sia P a,b ( ( = 7 5! +. 9! x, y = 6 ( 9! x. ( il centro di una circonferenza tangente all arco AB e all asse x. Allora P, O e il punto Q in cui le due circonferenze sono tangenti, sono allineati. Allora OP =! b perché il raggio dell arco AB è e il raggio della circonferenza di centro P è b. Poiché è anche OP = elevando al quadrato entrambi i membri, a + b =! b a + b si ha a + b =! b da cui, ( ; a + b = 9 + b! 6b; 6b = 9! a, perciò le coordinate di P soddisfano l equazione della parabola; viceversa, ogni punto dell arco L di parabola è centro di un cerchio con le caratteristiche desiderate. Infine, l arco di circonferenza con centro A e raggio è simmetrico dell arco AB rispetto ala retta x = ; la circonferenza tangente all asse x e ad entrambi gli archi dovrà essere simmetrica rispetto a questa retta, quindi il suo centro si troverà sull asse di simmetria, e avrà quindi ascissa. L ordinata si ottiene ricordando che il centro appartiene all arco L di parabola, quindi soddisfa l equazione y = 6 9! x che è anche il raggio della circonferenza, la quale ha equazione ( x! + ( y! 9 8 = ( 9 8. ( la quale, per x = dà y = 9 8 QUESTIONARIO. Il limite in oggetto può intendersi come limite del rapporto incrementale della funzione f x relativo al punto x 0 =. Tale limite è dunque la derivata di f calcolata in x 0 =. Poiché f! ( = 0 limite vale f! 8 = 5.. Si chiama asintoto per una curva piana C una retta r tale che: quando un generico punto R!r tende all infinito lungo r, in almeno uno dei due versi di percorrenza di r, la distanza di R da C tende a zero. ( = 5x 4, ( x = 0x, il

3 Una funzione il cui grafico ha un asintoto orizzontale e due verticali è, per esempio, f ( x = : la retta y = 0 x! è asintoto orizzontale, le due rette y = ± sono asintoti verticali. L accelerazione in un moto rettilineo è espressa dalla derivata seconda rispetto al tempo della funzione posizione. Quest ultima nel caso attuale è s( t = 0( e! t + t!, perciò s! ( t = v( t = 0 " e" t + (, s!! ( t = a( t = 0 4 e" t = 5e " t. Al tempo t = 4 l accelerazione vale a( 4 = 5e!. 4 Indicato con x il raggio di base del cono ( 0 < x <, per il Teorema di Pitagora l altezza è uguale a! x e perciò il volume del cono è v( x =! ( " x # x =! ( x " x. La derivata di v( x è v! ( x = " # x, valore per il quale il volume è massimo, ed è uguale a (, che si annulla quando x = v! # " $ = % ( & ' = % litri uguale a mille volte questo numero, ossia circa 09, litri. 5 Il numero di segmenti che congiungono a due a due i punti scelti tra gli n punti dati sono tanti quanti i sottoinsiemi con due elementi dell insieme P,, P n di n elementi a due alla volta, C n, = n (,09. A questo volume, espresso in metri cubi, corrisponde una capacità in ( = n n! { } che ha n elementi; si tratta del numero di combinazioni ( tra gli n punti,(a tre a tre non allineati sono C n, = n C n,4 = ( n 4 = n n! ( ( n! ( n! 4 alla volta ( 0! k! n : C n,k = k n. Analogamente, il numero di triangoli aventi i vertici scelti ( = n n! ( ( n! 6 e i tetraedri sono in numero di (ricordiamo la formula per il numero C n,k delle combinazioni di n elementi a k ( = n n! ( n! ( ( n!k+. k! 6 Non occorrono calcoli: poiché 5sen xcosx = 5 sen x funzione assegnata è in effetti costante: f x ( e cos x! sen x = cos( x, si osserva che la ( =!7 ; perciò la sua derivata è 0. 7 Consideriamo la sezione del tetraedro con un piano contenente l altezza AH uscente dal vertice A e un altro vertice B del tetraedro. Questo piano interseca la faccia opposta lungo un altezza BK di tale faccia; H è anche baricentro della faccia a cui appartiene, perciò BH = BK ; BK è l altezza di un triangolo equilatero di lato l, quindi misura l, e allora BH = l = l. Nel triangolo rettangolo BAH sono ora note le misure del cateto BH e dell ipotenusa AB; quindi sen ( BÂH = BH ( ; si tratta di un AB =, e quindi BÂH = arcsen angolo di circa 5. 8 Il valor medio di una funzione in un intervallo [ a,b] è, per definizione, b " $ f ( x dx. Nel caso b!a # a attuale calcoliamo e " $ e! # x dx = e![ ln x x=e ] x= = e!. 9 Sia C il simmetrico di B rispetto alla retta r. A ciascun cammino che unisce A e B toccando la retta r corrisponde un cammino di uguale lunghezza che unisce A con C, ottenuto sostituendo la parte di cammino successiva al contatto con r con la sua simmetrica rispetto a r. Poiché il più breve cammino che unisce A e C è il segmento che ha per estremi questi punti, e tale segmento interseca in un punto D la retta r, avremo il più breve cammino tra A e B avente un contatto con r prendendo l unione dei segmenti AD e DB. 0 La funzione positiva per ogni x reale, tra quelle proposte, è la A, cioè f x per ogni x reale,! " sen x + cos sen ( x + ( " ; poiché <!, per ogni t![",] è cost > 0 ; quindi ( = cos( sen ( x +. Infatti, ( > 0 per ogni x reale. Nessuna delle altre funzioni indicate risulta positiva in tutto l asse reale.

4 Domanda. Problema Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di è. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente studiarla per, dove l espressione di è:. Lo studio che segue si riferisce a nell intervallo. Risulta, ; è sempre (nulla soltanto per quindi f è strettamente crescente in. La derivata destra di f in 0 vale 0; poiché f è pari, lo stesso vale per la derivata sinistra; quindi f è derivabile anche in 0 (nonostante la presenza del valore assoluto, ed è. è punto di minimo assoluto per f, e il valore del minimo è 0. La derivata seconda è, positiva per ; quindi f è convessa in (poi, per la parità, e tenendo conto che f è derivabile anche in 0, la convessità si estende a tutto l asse reale. Il grafico di f è rappresentato in figura; si noti la diversa unità di misura sui due assi, per migliore visibilità. Studio di g. Non occorre uno studio specifico: il grafico di g si ottiene dalla sinusoide con un cambiamento di scala sull asse delle ascisse; cambia soltanto il periodo, che anziché π è. La figura mostra il grafico di g e, con linea tratteggiata, il grafico Domanda. L equazione della retta tangente al grafico di f in un suo punto di ascissa a è, a condizione che f sia derivabile in a. Nel caso attuale,, cosicché la tangente r cercata ha equazione: ossia. Per quanto riguarda g, la formula da applicare è la stessa. Occorrono i valori

5 di,. È,,,. La tangente s al grafico di g nel punto di ascissa ha equazione:. La retta s è parallela all asse delle ascisse, quindi l angolo formato dalle rette r e s è uguale all angolo formato da r con l asse delle ascisse. Il coefficiente angolare di r, che vale 9, è la tangente di quest ultimo angolo. L angolo in questione è quindi, la cui misura approssimata, in gradi sessagesimali, è:, come si può facilmente ottenere con una calcolatrice (predisposta in modalità DEG. Domanda. I soli punti d intersezione del grafici di f e g sono (0,0 e ; nell intervallo è quindi l area della regione indicata vale. Domanda 4. Per note regole i volumi dei solidi indicati si possono esprimere nel modo seguente: In alternativa, il volume di T si può calcolare con la stessa regola applicata per il volume di S, ricavando le espressioni delle funzioni inverse di f e g e integrando rispetto alla variabile y. Problema Domanda. La tangente in A a L è la retta di equazione, che si nota essere la congiungente i punti A e B. Le aree richieste possono essere calcolate mediante integrali, ma anche in modo elementare. L area del segmento circolare delimitato dalla corda AB è la differenza tra l area del quarto di cerchio e l area del triangolo rettangolo isoscele AOB ; quindi l area del segmento circolare è. L area della regione compresa tra la parabola e il segmento AB è la differenza tra l area del triangolo AOB e l area della parte di piano compresa tra la parabola e l asse x, per. Quest ultima può essere calcolata applicando il Teorema di Archimede, tenendo presente che il vertice della parabola è, e vale ; quindi l area della regione che ora ci interessa è. Domanda. Il volume di W si ottiene integrando l espressione delle aree delle sezioni piane perpendicolari all asse x:. Domanda. Le equazioni rispettivamente dell arco AB e della parabola L sono:,. Il volume del solido di rotazione è:. Domanda 4. Sia il centro di una circonferenza tangente all arco AB e all asse x. Allora P, O e il punto Q in cui le due circonferenze sono tangenti, sono allineati. Allora perché il raggio dell arco AB è e il raggio della circonferenza di centro P è b. Poiché è anche si ha da cui, elevando al quadrato entrambi i membri,, perciò le coordinate di P soddisfano l equazione della parabola; viceversa, ogni punto dell arco L di parabola è centro di un cerchio con le caratteristiche desiderate. Infine, l arco di circonferenza con centro A e raggio è simmetrico dell arco AB rispetto ala retta ; la circonferenza tangente all asse x e ad entrambi gli archi dovrà essere simmetrica rispetto a questa retta, quindi il suo centro si troverà sull asse di simmetria, e avrà quindi ascissa. L ordinata si ottiene ricordando che il centro appartiene all arco L di parabola, quindi soddisfa l equazione la quale, per dà che è anche il raggio della circonferenza, la quale ha equazione. QUESTIONARIO Il limite in oggetto può intendersi come limite del rapporto incrementale della funzione, relativo al punto. Tale limite è dunque la derivata di f calcolata in. Poiché, il limite vale. Si chiama asintoto per una curva piana C una retta r tale che: quando un generico punto tende all infinito lungo r, in almeno uno dei due versi di percorrenza di r, la distanza di R da C tende a zero. Una funzione il cui grafico ha un asintoto orizzontale e due verticali è, per esempio, : la retta è

6 asintoto orizzontale, le due rette sono asintoti verticali. L accelerazione in un moto rettilineo è espressa dalla derivata seconda rispetto al tempo della funzione posizione. Quest ultima nel caso attuale è, perciò,. Al tempo l accelerazione vale. 4 Indicato con x il raggio di base del cono (, per il Teorema di Pitagora l altezza è uguale a e perciò il volume del cono è. La derivata di è, che si annulla quando, valore per il quale il volume è massimo, ed è uguale a. A questo volume, espresso in metri cubi, corrisponde una capacità in litri uguale a mille volte questo numero, ossia circa 09, litri. 5 Il numero di segmenti che congiungono a due a due i punti scelti tra gli n punti dati sono tanti quanti i sottoinsiemi con due elementi dell insieme che ha n elementi; si tratta del numero di combinazioni di n elementi a due alla volta,. Analogamente, il numero di triangoli aventi i vertici scelti tra gli n punti,(a tre a tre non allineati sono e i tetraedri sono in numero di (ricordiamo la formula per il numero delle combinazioni di n elementi a k alla volta (:. 6 Non occorrono calcoli: poiché e, si osserva che la funzione assegnata è in effetti costante: ; perciò la sua derivata è 0. 7 Consideriamo la sezione del tetraedro con un piano contenente l altezza AH uscente dal vertice A e un altro vertice B del tetraedro. Questo piano interseca la faccia opposta lungo un altezza BK di tale faccia; H è anche baricentro della faccia a cui appartiene, perciò ; BK è l altezza di un triangolo equilatero di lato l, quindi misura, e allora. Nel triangolo rettangolo BAH sono ora note le misure del cateto BH e dell ipotenusa AB; quindi, e quindi ; si tratta di un angolo di circa 5. 8 Il valor medio di una funzione in un intervallo è, per definizione,. Nel caso attuale calcoliamo. 9 Sia C il simmetrico di B rispetto alla retta r. A ciascun cammino che unisce A e B toccando la retta r corrisponde un cammino di uguale lunghezza che unisce A con C, ottenuto sostituendo la parte di cammino successiva al contatto con r con la sua simmetrica rispetto a r. Poiché il più breve cammino che unisce A e C è il segmento che ha per estremi questi punti, e tale segmento interseca in un punto D la retta r, avremo il più breve cammino tra A e B avente un contatto con r prendendo l unione dei segmenti AD e DB. 0 La funzione positiva per ogni x reale, tra quelle proposte, è la A, cioè. Infatti, per ogni x reale, ; poiché, per ogni è ; quindi per ogni x reale. Nessuna delle altre funzioni indicate risulta positiva in tutto l asse reale.