Risoluzione dei problemi

Transcript

1 Risoluzione dei problemi Il dominio della generica funzione è:! a a) Scriviamo l espressione della funzione in forma di equazione raccogliendo separatamente i termini contenenti il parametro a e quelli che non lo contengono: a + ( a -) " ( - a) a+ ( a- ) " a ( + + ) -( + ) - a Le curve hanno tre punti in comune se l equazione è soddisfatta indipendentemente dal parametro a: * "* ") * + ( + ) + I caso: * II caso: Z Z ] ] - * "* " [ [ + - ] - ] - I tre punti comuni sono: ( ; ) d ; - n d ; - n b) Se a la funzione si riduce a - e non ammette asintoto obliquo Consideriamo dunque a! Poniamo f( ) e poiché lim f ( ) calcoliamo il coefficiente angolare dell asintoto: " + f ( ) a + ( a -) a + a - m lim lim lim a ( - a) " + " + " + - a Il limite per tendente a - dà lo stesso risultato Per la condizione di parallelismo con la retta + otteniamo: m a - Sostituiamo nella funzione e calcoliamo il termine noto: q lim [ f( ) - m] lim b lim + l " + " + " Il limite per tendente a - dà lo stesso risultato L asintoto obliquo è la retta di equazione: c) Studio della funzione: f( ) + Dominio: D R -#--; - + f( - ) quindi la funzione non è né pari né dispari; "- f ( ) " + " Intersezioni con gli assi: (- ; ) (; ) Per che tende a! abbiamo già ottenuto l asintoto obliquo + + f + + Copright Zanichelli editore SpA Bologna

2 Calcoliamo i limiti destro e sinistro in - sfruttando lo studio del segno: lim - lim + "- - + "- + + La retta di equazione - è quindi asintoto verticale Calcoliamo la derivata prima e studiamo il suo segno (-- )( + ) -(- -) fl( ) ( + ) + + ( + ) - ( + ) f' La funzione è decrescente in ciascuno dei due intervalli che compongono il dominio - - ; non ha massimi e non ha f minimi Calcoliamo la derivata seconda e studiamo il suo segno ( + )( + ) - ( + )( + + ) f m ( ) - ( + ) ( + ) ( + ) La funzione non ha flessi Disegniamo infine il grafico della funzione f'' f d) Scriviamo le equazioni della simmetria centrale di centro C( - ; ): Z + l ] - -l- [ + l " * -l ] Sostituiamo nell espressione della funzione: -- ( l-) -(-l-) l + l l + l - l " l - (-l - ) + - l - l + L espressione ottenuta a meno degli apici è identica a quella della funzione di partenza quindi la funzione è simmetrica rispetto al punto C Copright Zanichelli editore SpA Bologna

3 Rappresentiamo in figura il problema a) Il triangolo APB è inscritto in una semicirconferenza quindi l angolo in P è retto e l angolo PAB W r è compreso tra e Per abbiamo quindi le seguenti limitazioni: # # r A B Il segmento BP è un cateto del triangolo rettangolo APB per cui BP rsen Il segmento BQ si ottiene sottraendo al segmento BP il segmento PQ cateto del triangolo rettangolo APQ: BQ r sen - AP tg rsen - r cos tg Pertanto abbiamo: f( ) r( sen- cos tg ) sen- cos tg rsen sen tg tg Utilizzando le formule parametriche sen cos - + otteniamo: tg + tg tg - tg + - tg tg + tg tg + per # # r tg + tg r b) Studiamo il grafico di f nell intervallo 9; C Il dominio della funzione coincide con il dominio della tangente che contiene l intervallo dato quindi r D 9; C La funzione è sempre positiva perché somma di quantità positive Abbiamo già trovato l intersezione con l asse : (; ) Non ci sono intersezioni con l asse Calcoliamo la derivata e studiamo il suo segno tg fl( ) $ tg $ cos cos fl ( ) " tg " 6! D La funzione è sempre crescente nell intervallo dato Calcoliamo la derivata seconda e studiamo il suo segno $ cos - tg $ cos sen fm ( ) cos sen - cos cos fm ( ) " -sen " - sen " 6! D Nell intervallo dato f ha la concavità sempre rivolta verso l alto P Q Copright Zanichelli editore SpA Bologna

4 Il grafico della funzione è il seguente + tg π c) La funzione è strettamente crescente nell intervallo dato e quindi è invertibile Determiniamo la funzione inversa g ricavando in funzione di : tg + " tg - " g( ) arctg - La funzione inversa è in conclusione g ( ) arctg - con! ; ; E Ricaviamo il grafico della funzione inversa dal grafico della funzione f() mediante una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante π + tg arctg π Copright Zanichelli editore SpA Bologna

5 d) Rappresentiamo graficamente il problema La retta tangente il grafico di g in T forma con l asse un angolo di 5 se il suo coefficiente angolare è uguale alla tangente di 5 cioè se gl ( ) Calcoliamo gl e risolviamo l equazione gl ( ) $ $ + ( - ) - - g l ( ) " " " - - " ( -) " Il polinomio non si scompone nel prodotto di due polinomi di grado minore cerchiamo quindi la radice applicando uno dei metodi di ricerca approssimata delle radici Studiamo approssimativamente la funzione {( ) per stabilire in quale intervallo reale è contenuta la radice lim {( ) - e lim {( ) + " { interseca almeno una volta l asse ; "- " + { l( ) (- ) " { l ( ) se Abbiamo: { è crescente in ]- ; [ ; { ha un massimo in ( ; - ) ; { è decrescente in E ; ;; { ha un minimo in b ; - 7 l; { è crescente in E ; + ; Quindi il grafico di { ha una sola intersezione con l asse in E ; + ; Verifichiamo che l intervallo ; ;E contiene la radice cercata e calcoliamola applicando il metodo delle tangenti { b -- - {() " { l interseca l asse in ; ;E Scegliamo come punto di partenza e costruiamo la tabella n n {( n) { l( n) La radice è 78 con un errore di π T 5 arctg Copright Zanichelli editore SpA Bologna 5

6 Risoluzione dei quesiti Per definizione è un punto stazionario se fl ( ) " a + b " (a+ b) b Ci sono due soluzioni per ogni a b reali non nulli: - a Per definizione è un flesso se fm ( ) " a + 6b " 6( a+ b) b Per ogni a b reali non nulli ci sono due soluzioni: - a Il punto di ascissa verifica entrambe le condizioni quindi (; c) è punto di flesso con tangente orizzontale sserviamo che se fosse b i tre punti coinciderebbero ( ; - ) è punto di flesso " f( ) - " c - b b (; ) è punto di flesso "- e f a b- " a l Z b ] - a b -a a - " [ ") ") b b ab- + b - - a+ b- b ] a l b a l Sostituiamo nell espressione della funzione i valori trovati e otteniamo f ( ) Calcoliamo la derivata seconda di f ( ) a+ e ( b+ c) fl ( ) e ( b+ c) + be e ( b+ b+ c) fm ( ) e ( b+ b+ c) + be e ( b+ b+ c) La funzione ha un flesso di ascissa se f m ( ) da cui troviamo: eb ( + b+ c) " c- b La funzione ha in la tangente di equazione -e- e se fl ( ) -e e f( ) - e da cui troviamo: eb ( + b+ c) - e" b+ c- " c--b * a+ e( b+ c) -e Dalle due condizioni sul parametro c otteniamo: - b -- b " b " c - e sostituendo nella seconda equazione del sistema troviamo: a+ e( - ) -e " a- e - e " a Sostituendo nell espressione della funzione abbiamo f ( ) e ( - ) f() è una funzione polinomiale di terzo grado quindi continua e derivabile in R a) La derivata prima l + p+ è un polinomio di secondo grado La funzione è quindi dotata di un massimo e di un minimo se la derivata ha due zeri distinti D Pertanto deve essere: " p - " p - p Copright Zanichelli editore SpA Bologna 6

7 D Compiliamo il quadro dei segni di l nel caso in cui dove abbiamo indicato con e le due radici distinte della derivata sserviamo che risulta crescente con un flesso orizzontale se D D e sempre crescente se ' + M m + b) Studiamo la derivata seconda m 6+ p m se p - la derivata seconda è negativa per p p - e positiva per p - 6 p! R Le coordinate del flesso sono: - - p + p - p- p - p- e le equazioni parametriche del luogo da determinare sono: Z p ] - [ ] p - p- 7 Eliminiamo il parametro e determiniamo l equazione cartesiana: p - * " (-) - (-)- 7 Sia ABCDV la piramide regolare di base quadrata ABCD e vertice V inscritta nella sfera di raggio r (figura a) V V D H C A H C A B a b V' Poniamo VH con! [ ; r] Analizzando la sezione del solido nel piano VAC (figura b) e applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo VAVl calcoliamo la diagonale di base: HVl r - " AH HV $ HVl ( r -) e AC AH ( r - ) AC Ne segue AB ( r- ) Ricaviamo il volume della piramide: V ( ) ABVH ( r- ) - + r con # # r La funzione soddisfa il teorema di Rolle in [; r] quindi la derivata prima si annulla in almeno un punto Copright Zanichelli editore SpA Bologna 7

8 interno all intervallo Poiché la funzione è positiva e V( ) V( r) il massimo assoluto è da cercarsi fra quelli previsti dal teorema r 8 Vl ( ) - + r 8 V' + Vl ( ) "- + r " r V 6 Il volume massimo si ha per r e vale Vma V r r b l 8 5 Il dominio dell equazione è: Scrivendo l equazione nella forma equivalente arctg - ln notiamo che le sue soluzioni coincidono con gli zeri della funzione arctg - ln con La funzione è continua e la sua derivata prima vale l ( + ) Nel dominio il denominatore è positivo il numeratore è negativo quindi l 6 e la funzione è monotòna decrescente Esaminando il comportamento agli estremi del dominio abbiamo: lim + lim - " + " + e quindi poiché è continua la funzione interseca una sola volta l asse Localizziamo approssimativamente l intersezione con l ausilio di una calcolatrice: ( ) 5f ( ) - 6f " Calcoliamo utilizzando il metodo di bisezione L approssimazione di richiesta è di almeno - quindi dobbiamo stimare quante iterazioni effettuare per b a avere f n - n - con [ a; b ] [ ; ] - n f n se n n " " $ Dobbiamo effettuare almeno iterazioni 6 Rappresentiamo graficamente il problema m M 8 Q P r Copright Zanichelli editore SpA Bologna 8

9 8 Le coordinate di P sono b; l con perché P appartiene al primo quadrante 8 La derivata della funzione f ( ) è f l 8 ( ) - e la retta tangente il grafico della funzione in P ha equazione: P fl ( P)( -P) " - - ( ) - Intersecando la retta tangente con l asse otteniamo le coordinate di Qb; 6 l Calcoliamo la lunghezza del segmento PQ: PQ ( - ) + b - l + Il punto di minimo di PQ coincide con il punto di minimo di PQ perché l elevamento a potenza di una quantità positiva è una funzione strettamente crescente Determiniamo quindi il minimo di PQ {( ) PQ + " { l - ( ) - { l( ) " -8 " - 6 " ( + 8)( -8) " " -8 " - Poiché {( ) è decrescente in ] ; [ e crescente in ] ; + [ Per quindi la distanza PQ assume il valore minimo Copright Zanichelli editore SpA Bologna 9