ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO MATEMATICA 2011

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1 ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO MATEMATICA PROBLEMA La funzione f ( ) ( )( ) è una funzione dispari di terzo grado Intercetta l asse nei punti ;, ; e ; Risulta f per e per è invece f per e per f ' risulta dallo schema: Il segno della 6 6 I punti di massimo e minimo sono, rispettivamente, ; e 9 ; 9 Essendo funzione dispari di terzo grado ha un solo flesso (obliquo) nell origine g sin è una funzione dispari di periodo T Poiché la derivata La funzione g '( ) cos si annulla per k, ovvero per k ( con k intero), i punti a tangente orizzontale sono: massimi i punti corrispondenti a k pari, minimi quelli corrispondenti a k dispari Si hanno pertanto i seguenti grafici G e G sono i seguenti f g Le intersezioni tra G f e y sono i punti ; A, ; B e C ;

2 9 7 I punti a tangente orizzontale nell intervallo richiesto sono: ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ; ;, ;, ;, ; L area della superficie evidenziata è data dal valore dell integrale (sin ) d cos Le sezioni S della vasca, ottenute intersecandola con piani perpendicolari all asse, sono rettangoli le cui dimensioni sono la profondità della vasca h e la differenza delle ordinate di punti di uguale ascissa dei grafici V (sin )( ) d = G g e G f Si ha pertanto: ( sin sin ) d 5 6 = cos sin Il risultato si ottiene con integrazioni di tipo immediato e con la seguente integrazione per parti applicata al primo addendo: sind cos sin c 6 Il volume in litri è: V m 8,7 litri 87litri 5 PROBLEMA f Imponendo le condizioni assegnate si ha il sistema f b e a a Poiché f ' b a a b b La funzione richiesta è e ', si ottiene il sistema equivalente f

3 La funzione è definita su tutto l asse reale Tenendo conto dei valori trovati per i coefficienti a e e b la sua derivata è f ' il cui segno coincide con quello del binomio Si ha pertanto un massimo per, a conferma della presenza di un massimo imposta dal testo L ordinata del massimo è y Ma e, 8 Il comportamento della funzione agli estremi del dominio risulta dal valore dei seguenti limiti: lim e lim e Si ha pertanto un asintoto orizzontale destro di equazione y Poiché la derivata seconda, f '' e 9 7, ha lo stesso segno del binomio 7, si deduce la presenza di un flesso ascendente di ascissa 7 e ordinata y 6e Tenuto conto anche dell intersezione ; con l asse y, si ha il grafico che segue 7 L area richiesta, evidenziata nel grafico, è e d e d e 9e 6, 5 L estremo superiore di integrazione,, si ottiene dall intersezione della curva con il suo a- sintoto Assumendo come funzione g la funzione f () precedentemente studiata, con l ausilio di una calcolatrice, si ottiene la seguente tabella i 5 6 g( i ),5,7,79,76,68 y i,97,,9,7,8,76,65 g( i ) - y i, -,,, -,,, Analizzando la quarta riga della tabella, osserviamo che i valori assoluti i i y g sono tutti non superiori a, pertanto verificano la condizione richiesta

4 Dallo studio della funzione, come risulta evidente dal grafico, si deduce che per f risulta QUESTIONARIO Posto OA, con r, il volume del cilindro, in funzione di, è: V AB OA = r La sua derivata, V ' r, nell intervallo r si annulla r per, è positiva prima di tale valore, negativa dopo Pertanto r Vma V r 6 dm 5, 7litri 9 9 P ; il punto generico della curva, detto A il punto dato, la minima distanza AP si ha per lo stesso valore di che rende minima la funzione y AP Si ha: y 7 6 L ascissa che rende minima tale funzione (parabola) è quella del vertice Il punto richiesto è pertanto ; Il volume richiesto è dato dalla differenza tra il cilindro di raggio di base OA e di altezza AB e il solido generato dalla rotazione, attorno all asse y, della regione piana OBC Detto V OA AB 8 y 96 6 dy 5 5

5 n Dalla condizione segue: cioè n = 7 n nn n nn n n 5 L area richiesta si ottiene dal seguente calcolo integrale / cos d cos d sin sin,5 /, ovvero n, 6 sin sin a tan tan a cos cosa sin cos a sin a cos sin( a) lim lim lim lim a a a a a Risultato prevedibile perchè tale limite non è altro che la definizione di derivata della funzione tan nel punto a a a a cos cos a cos a cos cos a 7 La funzione associata y ha derivata y ' Essendo tale derivata sempre positiva la funzione è strettamente crescente ovunque Inoltre poiché y e y esiste un solo punto interno all intervallo ; che annulla la funzione 8 Problema classico della geometria consistente nella costruzione con riga e compasso di un quadrato equivalente a un cerchio di raggio assegnato Il problema, che ha impegnato nel corso dei secoli molti matematici risulta privo di soluzione L impossibilità di quadrare il cerchio con riga e compasso equivale ad affermare che il numero è un numero trascendente, cioè non può essere ottenuto come soluzione di un equazione polinomiale a coefficienti interi 9 Il triangolo ABC, rettangolo in A, come ogni triangolo rettangolo, è inscrivibile in una circonferenza di centro M, punto medio dell ipotenusa BC Pertanto risulta AM BM CM Ne segue che, preso un qualsiasi punto P sulla perpendicolare per M al piano del triangolo, le tre distanze PA, PB, PC sono uguali in quanto ipotenuse di tre triangoli rettangoli aventi cateti congruenti

6 Oltre ai punti della retta PM non ci sono altri punti con tale proprietà perché il luogo richiesto deve essere l intersezione dei tre piani perpendicolari ai lati del triangolo nei loro punti medi Dal grafico si evince che ci sono due funzioni dispari ( I e III) e una pari (II) Derivando una funzione dispari se ne ottiene una pari e viceversa; ne segue che f ' non può essere altro che la II Ma la II, che assume sia valori positivi che negativi, non può essere la derivata della I, perché derivando la I si ottiene una funzione sempre positiva Pertanto l alternativa corretta è la D GIANFRANCO PISTONI FERRUCCIO ROHR