LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO 1 ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO - MATEMATICA

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1 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO - MATEMATICA PROBLEMA ) Studiamo la funzione f( ) : a. Dominio:R b. Intersezione ascisse:,, c. Intersezioni ordinate:(,); d. Simmetrie: la funzione è dispari; e. Positività: f ( ) > < < > f. Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R g. Asintoti orizzontali: f( ) ± lim per cui non ve ne sono; ± h. Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim ( ) f i. Crescenza e decrescenza: la derivata prima è '( ) crescente in f per cui è strettamente,, e strettamente decrescente in 6 per cui, è un massimo e 9 j. Concavità e convessità: f' '( ) 6 per cui (,) Il grafico è di seguito presentato: 6, 9 è un minimo; è un flesso a tangente obliqua.,

2 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO La funzione g( ) sin ( ) l asse delle ascisse nei punti è una classica funzione sinusoidale di periodo T che interseca k con k Z e il grafico è il seguente: ) Le intersezioni di f con la retta y- si calcolano risolvendo l equazione ; utilizzando la regola di Ruffini l equazione diventa ( )( ) da cui ±,. I punti di g a tangente orizzontale sono i punti in cui si annulla la derivata pri g' cos e cioè g' ( ) cos( ) ima ( ) ( ) / k / con k Z e nell intervallo [-6,6] i punti sono ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

3 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO ) L area da calcolare è di seguito raffigurata: Il grafico della funzione g in [,] sta sempre al di sopra di quello di f per cui l area richiesta vale ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 8 cos sin d d f g Area )Il volume è ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) sin cos sin 5 d d d f g V I litri contenuti nella vasca sono 5 6.

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7 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO ) La derivata della funzione ( ) ( a b) e ( ) ( a b) a a b f ' ae e e f è. Imponendo la presenza del massino in e f ' si ricava ab; imponendo invece f ( ) si ricava b-; in conclusione a, quindi ( ) b-; ) Per studiare la funzione ( ) ( ) e g ( ) ( ) e f procederemo allo studio della funzione ausiliaria e poi il grafico di f lo ricaveremo da quello di g traslandolo verso le ordinate e : positive di. Studiamo quindi ( ) ( ) a. Dominio:R b. Intersezione ascisse: c. Intersezioni ordinate:(,-) g d. Positività: g( ) ( ) e > > e. Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R

8 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO 5 f. Asintoti orizzontali: lim ( ) lim( ) e ( ) ( ) ( ) g mentre De L'Hospital limg lim lim lim per cui la retta y è e asintoto orizzontale destro; g. Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim ( ) ( ) lim e g e g' lim e ( ) ( ) lim e g h. Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ( ) crescente in (,) e strettamente decrescente in (, ) massimo; e per cui è strettamente per cui i. Concavità e convessità: ( ) e,e è un 7 7 g' ' e e e per cui 9 9 7,6e è un flesso a tangente obliqua. I grafici di f e g sono di seguito presentati (in rosso il grafico di f e in blu quello di g): ) La retta y interseca la funzione ( ) ( ) e f in, per cui l area richiesta va calcolata tenendo presente che se è minore di la retta di equazione y sta sopra il grafico di f mentre se è maggiore di sta sotto per cui

9 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO 6 Area ( ) e d ( ) e d ( ) e d ( ) e d Utilizzando l integrazione per parti si ha: Area ( ) e ( ) e 9e 6 9e 8e 6 ) Attravrso l utilizzo della calcolatrice scientifica riportiamo i valori assunti dalla funzione ( ) ( ) e f per,,,,5,6 approssimati alla seconda cifra decimale: y,5,7,79 5,76 6,68 Questa tabella di valori, confrontata con quella fornita nel testo, rispetta la condizione richiesta per cui la funzione ( ) ( ) e f è accettabile per spiegare il fenomeno dell andamento del la funzione ( ) f ( ) g( ) e che f ( ) è strettamente decrescente in (, ) profitto. Visto che per g e quindi la funzione possiamo concludere che col passare degli anni il fatturato non potrà mai essere inferiore ai milioni di euro.

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11 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO 8 Quesito Consideriamo la seguente figura: Indichiamo con, con <<6, l altezza CB del cilindro; di cnseguenza OH e il quadrato del raggio di base del cilindro è V V V ' V ' ( ) ( 6 ) '( ) ( 6 ) HB OB OH 6 ; il volume del cilindro è quindi e per calcolarne il valore massimo basta calcolarne la derivata prima: il cui segno è ( ) ( 6 ) > < < ( ) ( 6 ) < > Per cui dal segno soprastante ricaviamo che il volume è massimo per e cioè per altezza del cilindro V ma Quesito h cm e raggio di base r 6cm. Il valore massimo è pertanto [ ( 6 )] 96 cm 5,7 litri Un punto P della curva ha coordinate (, ) e la distanza dal punto (,) è ( ) ( ) 7 6 d.. Massimizzare la funzione distanza è equivalente a massimizzare la funzione quadrato della distanza, per cui massimizzeremo la funzione h ( ) d 7 6 derivata prima è h '( ) 7 per cui la funzione ( ) h è strettamente crescente in ; la 7, e

12 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO 9 strettamente decrescente in 7, per cui presenta un minimo all ascissa 7. Il punto più vicino è 7 quindi, e la distanza minima è d min. Quesito Il volume richiesto è pari alla differenza tra il volume del cilindro di altezza 8 e raggio di base e il volume della regione delimitata da y, dall asse y e dalla retta 8 y ; il volume del cilindro è V b C A h 8 mentre Il volume ottenuto dalla rotazione della parte di piano delimitata da y, dall asse y e dalla retta 8 y, è 8 g VD ( y)dy dove g ( y) y, y 8; quindi VD g ( y) dy y dy y In conclusione 96 6 V VC VD. 5 5 Quesito n n Si deve risolvere l equazione con n. Si ha: n! ( n )!! ( n ) n! n!! ( n)( n )( n ) n( n)( n ) 6 n n,,,7. Poichè per ipotesi deve essere n la soluzione accettabile è n7. ( n)( n )( n 7) da cui Quesito 5 L area richiesta, ricordando che il coseno cambia segno, da negativo a positivo in corrispondenza di vale: Area cosd cosd sin Quesito 6 [ sin] [ sin] ( ) sin( ) sin( ) sin( )

13 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO tan tana Il limite lim si presenta nella forma indeterminata / per cui applicando de l Hopital si ha a a lim a cos cos a Quesito 7 La funzione f( ) prima '( ) è strettamente crescente in tutto il dominioo R in quanto la derivata f è sempre positiva; inoltre assume agli estremi dell intervallo (-,) segno discorde in quanto f( ) unico zero dell equazione f( ) ( ) <, f > per cui a norma del teorema degli zeri esiste un e compreso in (-,) Quesito 8 La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, costituisce un problema classico della geometria greca. In sostanza quello della quadratura del cerchio non è altro che un classico problema di matematica (più precisamente di geometria) il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso. Quesito 9 Consideriamo la figura sottostante Consideriamo il piano su cui giace il triangolo; P è il punto medio dell ipotenusa essendo BP la mediana e P coincide con il circocentro e in quanto tale è equidistante dai tre vertici. Consideriamo la perpendicolare per P e prendiamo un punto H. I triangolo APH, BPH e CPH sono rettangoli in P per cui applicando il teorema di Pitagora si ha: HC HA HB PH PH PH PC PA PB Poichè P è equidistante dai tre vertici si ha PA PB PC da cui deduciamo, viste le formule di cui sopra, HA HB HC e poichè H è arbitrario la proprietà si può ritenere valida.

14 LICEO SCIENTIFICO ORDINAMENTO Quesito Risposta esatta D. Infatti se assumiamo come f la funzione ci rendiamo conto che la derivata prima si annulla in due punti in corrispondenza del massimo e del minimo relativo che assume f. Inoltre deve avvenire che la derivata prima deve essere positiva tra meno infinito e il massimo di f, negativa tra massimo e minimo, e poi di nuovo positiva dal minimo in poi. E ciò è quello che succede nella funzione. Inoltre la derivata seconda deve azzerarsi solo in zero che è flesso per f, passando da valori negativi a valori positivi, cosa che accade per la funzione