Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it PROBLEMA1

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1 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it PROBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite per tutti gli reali da: f 7 e g sin. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i grafici G e G in un conveniente sistema di riferimento cartesiano f g O.. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti rispettivamente a G f e a G g nel punto di ascissa. Qual è l ampiezza in gradi e primi sessagesimali dell angolo acuto formato da r e s?. Sia R la regione del piano delimitata da G e f G g. Si calcoli l'area di R.. La regione R ruotando attorno all asse genera il solido S e ruotando attorno all asse il solido T. Si scrivano spiegandone il percè ma senza calcolarli gli integrali definiti ce forniscono i volumi di S e di T Punto RISOLUZIONE Una funzione sinusoidale di periodo T può essere scritta come sin ; nel caso in esame la funzione g sin è T equivalente a g sin il cui periodo è T. Alternativamente possiamo sfruttare la definizione di funzione g g T e periodica: una funzione è periodica di periodo T se

2 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it nel caso in esame se sin sin T ; ricordando ce una funzione seno è periodica di con Z l equazione sin sin T equivale a imporre T da cui si ricava T ; il periodo minimo lo si ricava ponendo ed è pari a T. Studiamo la funzione f 7. Il grafico della funzione f 7 possiamo ricavarlo da quello della funzione 7 ribaltando verso le ordinate positive la parte di grafico al di sotto dell asse delle ascisse. Pertanto studiamo la funzione 7 Dominio: R; Intersezione ascisse: 7 Intersezioni ordinate: ; Simmetrie: la funzione è dispari in quanto 7 7 ; Positività: la cubica 7 è positiva se ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R; Asintoti orizzontali: lim per cui non ve ne sono; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim ; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ' 8 per cui all interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla solo in. Concavità e convessità: ' ' per cui la funzione a concavità verso l alto in e verso il basso in ; poicè

3 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it ' '' ''' quindi tangente orizzontale di equazione. F è un flesso a '' '' '' - flesso Il grafico G è di seguito presentato: Il grafico G f ricavato da quello di G è di seguito presentato:

4 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Studiamo la a funzione g sin Dominio: R; Intersezione ascisse: Z g sin Intersezioni ordinate: g ; Simmetrie: la funzione è dispari in quanto g g sin sin ; Positività: la funzione è positiva se Z ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata; Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g cos ' per cui la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui cos e strettamente decrescente negli intervalli in cui cos.

5 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Poicé Z cos e Z cos deduciamo ce la funzione è strettamente crescente negli intervalli con Z e strettamente decrescente in con Z ; in conclusione la funzione presenta massimi relativi in M e minimi relativi in m con Z. Concavità e convessità: la derivata seconda è g sin '' e si annulla in Z per cui i punti sono flessi.

6 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Punto Per f 7 7. La tangente in alla funzione f 7 a equazione f ' f dove f f ' 8 per cui l equazione della tangente è. La tangente in alla funzione g sin a equazione g' g dove g g' cos per cui l equazione della tangente è. D altronde l ascissa è ascissa di massimo per cui la tangente in è orizzontale e pari al valore massimo ce può assumere una funzione sinusoidale cioè. Date due rette di coefficienti angolari m m' l angolo acuto formato tra m m' le due può essere ricavato dalla formula tan da cui mm' m m' sapendo ce m m' ricaviamo tan per cui mm' arctan rad 8'

7 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it 7 Punto Le due funzioni g f sin e 7 si intersecano solamente nei punti di ascisse. Nell intervallo la funzione g sin sta al di sopra di 7 f e in questo intervallo 7 7 f. La regione R di cui calcolare l area è di seguito raffigurata in grigio: L area riciesta vale 8 7 cos 7 sin d d f g R S

8 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Punto Il volume S del solido generato dalla rotazione della regione R attorno all asse delle può essere ottenuto come differenza tra il volume V del solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla curva g sin dalla retta e dall asse attorno all asse e il volume V del solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla curva f 7 dalla retta e dall asse attorno all asse. Pertanto si a: V S V V sin d 7 d Ance se ci viene riciesto di non calcolarlo proviamo comunque a risolvere l integrale definito soprastante: V cos S sin d 7 d sin Il volume T del solido generato dalla rotazione della regione R attorno all asse delle può essere ottenuto come differenza tra il volume V del solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla 8 7 curva f dalla retta e dall asse attorno all asse e il volume V del solido generato dalla rotazione della parte di piano arcsin delimitata dalla curva g dalla retta e dall asse attorno all asse. Pertanto si a: d

9 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it V T V V arcsin d d Ance se ci viene riciesto di non calcolarlo proviamo comunque a risolvere l integrale definito soprastante iniziando a calcolare d ; esso è pari a d d applicando l integrazione per parti si a arcsin d arcsin d arcsin arcsin ; In conclusione 8 arcsin 8 V T VV d d Alternativamente il calcolo del volume V T può essere effettuato attraverso l applicazione del metodo dei gusci cilindrici. Il solido generato dalla rotazione attorno all asse di una regione piana può essere visto come somma di tanti gusci cilindrici cioè cilindri cavi di raggio interno raggio esterno ed altezza f. Consideriamo il volume finito V di un guscio come volume infinitesimo dv

10 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it quindi trattiamo come infinitesimo d ; esso può essere espresso nella forma: dv d f d f d f Poicé d è un infinitesimo di ordine superiore a d allora il termine d f è trascurabile rispetto a d f dv d f d f In conclusione l integrale indefinito sarà pertanto Il volume del solido dovuto alla rotazione intorno all asse delle ordinate pensato come somma di tanti volumetti dv relativi all intervallo di ascisse b a è pertanto pari a V dv f Se la regione da ruotare è delimitata da due funzioni b a b d. a f e g con g f il volume solido dovuto alla rotazione intorno all asse delle ordinate sarà pari a V g f b d. Nel caso in esame il volume riciesto sarà pari a a V T sin 7 d sin 7 d Applicando l integrazione per parti l integrale sin d è pari a: sin d cos cos d cos sin C C R

11 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it V T sin 7 d 7 cos sin come già precedentemente trovato.

12 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it PROBLEMA Nel primo quadrante del sistema di riferimento O sono assegnati l arco di circonferenza di centro O e estremi A() e B() e l arco L di parabola d equazione i cui estremi sono il punto A e il punto (/).. Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione R racciusa tra L e l arco AB.. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni ottenute tagliando W con piani perpendicolari all asse anno per ogni area S e. Si determini il volume di W.. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all asse.. Si provi ce l arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all arco AB e all asse. Infine tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella ce risulta tangente ance all arco di circonferenza di centro A e raggio come nella figura a lato. RISOLUZIONE

13 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Punto Consideriamo la seguente figura. B C R R O A Indiciamo con C l intersezione dell arco di parabola L con l asse delle ordinate. m con La retta tangente ad L in A() a equazione d m per cui essa a equazione d L area del quarto di cercio di raggio è SOAB l area del triangolo OAB è OAB S R SOAB SOAB ; S per cui l area R è

14 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it L area sottesa dall arco di parabola è 7 SOAC d per cui 8 8 SR SOAB SOA C. Punto Il volume riciesto è pari a V W S d e d e e e. Punto Il volume riciesto è dato dalla differenza tra il volume di una semisfera di raggio e il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all asse della regione compresa tra L e l asse. Il volume della semisfera è 8 mentre il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all asse della regione compresa tra L e l asse è pari a d pertanto il volume riciesto è pari a V R 8. Alternativamente il volume riciesto ricordando ce nel primo quadrante l arco di circonferenza di centro O e estremi A() e B() a equazione può essere calcolato nel seguente modo:

15 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it d d d R V Punto Consideriamo la figura seguente. Sia P con il generico punto del luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all'arco AB e all'asse. Una circonferenza di centro P è tangente all'arco AB se OQ PQ OP dove OQ PQ OP e quindi se. Posto condizione verificata dalla limitazione geometrica imposta sull ordinata del punto P elevando al quadrato si a:

16 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it ce con le condizioni coincide con l equazione di L. Consideriamo la figura seguente e cerciamo la circonferenza di cui L è il luogo dei centri ce risulta tangente ance all arco di circonferenza di centro A e raggio. Indicando con C con ed R rispettivamente il centro ed il raggio della circonferenza riciesta e con S il punto di tangenza di quest ultima con la circonferenza con centro in A e raggio deve aversi R AS AC dove R AS AC. Imponendo l uguaglianza si a: AS AC

17 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it 7 e poicè è sempre positivo elevando al quadrato si a: Quindi il centro della circonferenza è 8 C il raggio è 8 R ; di conseguenza la sua equazione è 8 8.

18 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it 8 QUESTIONARIO Quesito Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore? lim Calcoliamo il limite lim. Esso rappresenta il limite del rapporto incrementale f f calcolato nel punto ; si tratta quindi della derivata prima della funzione f calcolata in. Poicé ' f il limite riciesto è pari a ' f. Alternativamente possiamo calcolare direttamente il limite: lim lim lim lim ritrovando il risultato precedentemente calcolato.

19 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Quesito Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. Si dice ce la funzione f ammette la retta r come asintoto se la distanza del generico punto P della curva dalla retta r tende a zero quando l ascissa di P o l ordinata di P o entrambe tendono all infinito. Distinguiamo tre tipi di asintoti verticale orizzontale ed obliquo. La retta r è asintoto verticale ed a equazione a a R se lim f ; in particolare l asintoto verticale è destro se a lim f e sinistro se lim f a a. Notiamo ce in generale possono esistere sia l asintoto verticale destro ce sinistro solo uno dei due o nessuno dei due. La retta r è asintoto orizzontale ed a equazione b b R se lim f b lim f b e sinistro se lim f b ; in particolare l asintoto orizzontale è destro se. Notiamo ce in generale possono esistere sia l asintoto orizzontale destro ce sinistro ed essere differenti solo uno dei due o nessuno dei due. La retta r è asintoto verticale ed a equazione f m q m q R m se m lim q f lim particolare l asintoto obliquo è destro se f m lim q f m lim e sinistro se f m lim q f m lim. m ; in

20 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Notiamo ce in generale possono esistere sia l asintoto obliquo destro ce sinistro ed essere differenti solo uno dei due o nessuno dei due. Un esempio di funzione con due asintoti verticali ed uno orizzontale è ; nel caso in esame sono gli asintoti verticali e quello orizzontale come a lato mostrato. Quesito La posizione di una particella è data da st la sua accelerazione al tempo t? t e t. Qual è La velocità è la derivata prima della posizione mentre l accelerazione è la derivata prima della velocità e quindi la derivata seconda della posizione. Nel caso in esame si a: t vt s' t e a t v' t s'' t e Pertanto l accelerazione al tempo t a e. t è pari a

21 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Quesito Quale è la capacità massima in litri di un cono di apotema metro? Indiciamo con l altezza del cono di conseguenza il raggio di base è per il teorema di Pitagora R. Il volume del cono è pari a V R V ; la massimizzazione del volume equivale alla f e cioè massimizzazione della funzione la cui derivata prima è f ' cui corrisponde il seguente quadro dei segni: m V ' V ' V ' massimo massimo Dal quadro dei segni deduciamo ce la funzione è strettamente crescente in e strettamente decrescente in pertanto il massimo è raggiunto per + cui corrisponde -

22 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it 7 V m. Ricordando ce l volume massimo espresso in litri è Quesito V dm si il litri litri 7 Siano dati nello spazio n punti P P P Pn. Quanti sono i segmenti ce li congiungono a due a due? Quanti i triangoli ce anno per vertici questi punti (supposto ce nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto ce nessuna quaterna sia complanare)? Il numero di segmenti è pari al numero delle combinazioni di n oggetti n n! n n di classe e quindi è dato da: ;! n! analogamente il numero di triangoli è n n! n n n e di tetraedri! n! n n! n n n n! n! Quesito Sia f sin cos cos sin sin cos 7 calcoli f ' ; si Osserviamo ce per la formula di duplicazione del seno si a sin cos sin e per la formula di duplicazione del coseno si a

23 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it cos sin cos pertanto la funzione di partenza diventa una costante f 7 la cui derivata è nulla. Quesito 7 È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza. Si determini l ampiezza dell angolo formato da l e da. Consideriamo la figura a lato. Per ipotesi il tetraedro è regolare per cui è una piramide retta; il piede H dell altezza coincide con l incentro del triangolo equilatero ABC di base ed è ance ortocentro e baricentro. Da ciò deduciamo ce il piede H divide l altezza BK in due parti di cui una doppia dell altra. Poicé BK l BH BK l ; il triangolo BHD è rettangolo in H e applicando il teorema dei triangoli rettangoli deduciamo ce sin da cui arcsin.

24 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it Quesito 8 Qual è il valor medio di f da a e? Ricordiamo innanzitutto il teorema della media integrale: Se la funzione a b esiste f è continua nell intervallo ciuso almeno un punto c a b in cui risulta f d b a f c equivalentemente f c b a Nel caso in esame il valor medio è V M e b a f ln e d e e e b o a d. Quesito Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.c.) consiste assegnati nel piano due punti A e B situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r ne determinare il cammino minimo ce congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo ce si preferisce. Consideriamo la figura a lato. O Sia A il simmetrico di A rispetto ad r; il segmento A B interseca la retta r in P in quanto A e B si trovano in semipiani diversi rispetto alla retta r. Dimostriamo ce il punto P è quello ce realizza il cammino minimo tra A e B. Consideriamo un ulteriore punto P differente da P ed r P P A A

25 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it appartenente alla retta r; in un triangolo la somma delle lungezze di due lati è maggiore della lungezza del terzo per cui A' P' P' B A' B A' P PB da cui deduciamo ce il punto P è quello ce minimizza il cammino tra A e B. Quesito Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni reale? A) cos sin B) sin cos C) sin ln D) cos ln Si giustifici la risposta. Ragioniamo per esclusione. La funzione sincos g non può essere positiva per ogni reale in quanto se valutata in vale g sin cos sin cos sin cos sin La funzione sinln non può essere positiva per ogni reale in quanto se valutata in e vale e sin ln e sin ln e sin ln e sin

26 Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria matematicamente.it La funzione cosln i non può essere positiva per ogni reale in quanto se valutata in e vale i e cos ln e cos ln e cos ln e cos Di conseguenza la funzione ce è sempre positiva per ogni reale è la A) f cossin Alternativamente poicé la funzione coseno è pari ed assume valori positivi per poicé la funzione sin assume tutti i valori compresi nell intervallo e poicé f cos sin è positiva per ogni reale. deduciamo ce