PROBLEMA1. minimo assoluto? Sapendo che ' t. f per quale valore

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1 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it PROBLEMA Della funzione f, definita per 6, si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata prima f ', disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per e 4. Si sa anche che f 9, f 3 6 e f Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte in modo esauriente.. Per quale valore di la funzione f presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che ' t dt 5 6 f per quale valore di la funzione f presenta il suo massimo assoluto? 3. Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f? 4. Sia g la funzione definita da g f. Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e g nei rispettivi punti di ascissa 3 e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell angolo acuto che esse formano.

2 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Punto RISOLUZIONE Dal grafico di f ' si evince che la derivata prima: si annulla in e 5; è crescente negli intervalli, 4,6 ; ha pendenza nulla in e 4 di conseguenza la derivata di f ' e cioè f '' è positiva in, 4,6, negativa in,4 e si annulla in e 4. I punti di flesso di f sono da ricercare nei punti in cui f '' cambia segno e quindi in corrispondenza delle ascisse e 4. In particolare poichè f ' il punto con ascissa sarà un flesso a tangente orizzontale, mentre, poichè f ' 4, il punto con ascissa 4 sarà un flesso a tangente obliqua con pendenza pari a. Le ascisse dei punti di flesso possono essere determinate anche in maniera alternativa. La tangente al grafico di f ' in ogni punto dell intervallo,6 ha equazione y f '' f ', pertanto, poiché i punti di flesso sono i punti in cui la derivata seconda si annulla, questi ultimi vanno ricercati nei punti in cui il coefficiente angolare '' f ' è zero, ovvero nei punti f della retta tangente al grafico di in cui la retta tangente al grafico di f ' è orizzontale; questo accade alle ascisse e 4 come già precedentemente mostrato. Punto Poichè f è derivabile, e quindi continua, nell intervallo chiuso e,6, sarà ivi dotata di massimo e minimo assoluto per il f è strettamente 5, pertanto f limitato teorema di Weierstrass. Dal grafico deduciamo che decrescente in,5 e strettamente crescente in,6 assume il suo minimo assoluto in 5 e vale f 5 3.

3 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Il massimo assoluto può essere assunto in uno degli estremi dell intervallo,6. Per ipotesi f 9 mentre per calcolare f 6, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, si ha 6 f ' t dt f 6 f f 6 9 ; imponendo ' t dt 5 9 f Massimo assoluto Flesso a tangente orizzontale 6 Flesso a tangente obliqua f si deduce che f f 6 4, pertanto, poiché f f massimo assoluto è assunto in e vale f 9. Punto 3 Di f sappiamo che: assume solo valori positivi, in quanto è positivo il minimo assoluto; decresce strettamente su,5 da f 9 a f 5 3; cresce strettamente su 5,6 da f 5 3 a f 6 4; m 5,3 ; ha un minimo assoluto in ha un massimo assoluto in M,9 ; ha un flesso orizzontale in e un flesso a tangente obliqua in 4 con pendenza pari a Quindi il grafico di f potrebbe essere il seguente:, il 3 Minimo assoluto

4 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Punto 4 Sia f y m 3 6 con f ' 3 g. La retta tangente a f in (3,6) ha equazione m per cui l equazione della tangente è y 9. La retta tangente a g in 3,3 f 3 3,8 ha equazione y m 38 con m g' 3; la derivata della funzione g f è g ' f f ' per cui g ' 3 f 3 3 f ' pertanto l equazione della tangente è y L ampiezza dell angolo acuto è dato dalla 9 m m 4 f g formula tan arctan 63 5' 48" m m f g 4

5 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it PROBLEMA Siano f e g le funzioni definite da f e e g ln. Fissato un riferimento cartesiano Oy, si disegnino i grafici di f e di g e si calcoli l area della regione R che essi delimitano tra e.. La regione R, ruotando attorno all asse, genera il solido S e, ruotando attorno all asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T. 3. Fissato, si considerino le rette r e s tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa. Si dimostri che esiste un solo per il quale r ed s sono parallele. Di tale valore si calcoli un approssimazione arrotondata ai centesimi. 4. Sia h f g. Per quali valori di la funzione h presenta, nell intervallo chiuso, il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito. RISOLUZIONE 5

6 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Punto La funzione g ln è la classica funzione logaritmica, definita in,, interseca l asse delle ascisse in, positiva in,, ha come asintoto verticale ed è strettamente crescente in tutto il dominio. La funzione f e è definita e continua e derivabile in tutto R; non interseca mai l asse delle ascisse, mentre interseca le ordinate in,, è sempre positiva, ha y come asintoto orizzontale sinistro ed è strettamente crescente in tutto il dominio. Di seguito il grafico di entrambe le funzioni nello stesso riferimento cartesiano Oy. L area da calcolare è di seguito raffigurata in grigio. 6

7 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it L area richiesta è: S e e ln d e ln e ln e e ln in cui si è sfruttato l integrale per parti ln d ln C,C R Punto Il volume del solido S (ruotando attorno all asse delle, la limitazione data da y ln è inessenziale in quanto la relativa parte di grafico si trova nel quarto quadrante) si ottiene come: e e e V S e d e d Il volume del solido T può essere calcolato applicando il metodo dei gusci cilindrici. Il solido generato dalla rotazione attorno all asse y di una regione piana può essere visto come somma di tanti gusci cilindrici, cioè cilindri cavi di raggio interno, raggio esterno ed altezza f. Consideriamo il volume finito V di un guscio come volume infinitesimo dv, quindi trattiamo come infinitesimo d ; esso può essere espresso nella forma: dv d f d f d f Poiché d è un infinitesimo di ordine superiore a d, allora il termine d f è trascurabile rispetto a d f, pertanto dv d f d f 7

8 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Il volume del solido dovuto alla rotazione intorno all asse delle ordinate, pensato come somma di tanti volumetti dv relativi all intervallo di ascisse a, b, è pertanto pari a b a b a V dv f d. Se la regione da ruotare è delimitata da due f e g con funzioni, g f il volume solido dovuto alla rotazione intorno all asse delle ordinate sarà pari a b a V g f d. Nel caso in esame il volume richiesto sarà pari a V T e ln d Applicando l integrazione per parti si ha e d e C,C R ln d Pertanto ln C,C R V T e ln d e 8 ln e ln 3 ln e Alternativamente il volume può essere calcolato utilizzando le funzioni inverse; consideriamo a riguardo la figura di seguito in cui viene raffigurata in grigio la regione R ruotata attorno all asse y. I vertici del A,, B, e, B', e, A', mentre i vertici cilindro ABB A sono

9 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it del cilindro CDD C sono C, ln, D, e, D', e, C', ln. Detti: V il volume del cilindro, avente raggio di base e altezza e ; V il volume del solido ottenuto ruotando la funzione logaritmica attorno all asse y, con ln y ; V 3 il volume del solido ottenuto ruotando la funzione esponenziale attorno all asse y, con e y e; V 4 il volume del cilindro, avente raggio di base e altezza e ln V T V. V V V il volume del solido T è 3 4 9

10 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it L inversa della funzione y e è ln y y e, pertanto il volume è pari a: V T V V V V 3 4 e y ln e l inversa di y ln è e e dy e ln ln ydy e

11 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it L integrale definito e y dy è pari a e ln e e y y e dy ln ln 3, mentre l integrale definito 8 8 ln ydy, ricordando che ln ydy yln y ln y C, C R, è pari a e e ln ydy y ln y ln y e e e 4 e 5 e e 4 In conclusione 3 e ln 5 V T e e come precedentemente calcolato. Punto 3 e e ln Le rette r ed s sono parallele se sono uguali i coefficienti angolari, cioè m. Ricordando che il coefficiente angolare è pari al valore della r m s derivata prima nel punto considerato, si ha mr e, ms, pertanto le due rette sono parallele se e. Dobbiamo ora dimostrare che esiste un solo tale per cui l equazione F e.

12 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Rappresentiamo nello stesso riferimento cartesiano Oy entrambe le funzioni derivate prime f ' e, g'. Dal grafico si evince che esse si intersecano in un solo punto, ; d altronde F e, F e, pertanto a norma del teorema degli zeri la radice dell equazione F e cadrà nell intervallo,. Il calcolo numerico della radice sarà effettuato mediante metodo dicotomico o di bisezione e mediante metodo delle tangenti o di Newton-Raphson.

13 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Metodo dicotomico o di bisezione Di seguito la tabella che mostra i passi dell algoritmo. n a n a b n b n n Fa n a b F b n n n F b a n n n n,5,,75 -,353,783,7837,5 NO,5,75,65 -,353,7837,68,5 NO,5,65,565 -,353,68 -,7,5 NO 3,565,65,5938 -,7,68,66,65 NO 4,565,5938,578 -,7,66,53,33 NO 5,565,578,573 -,7,53,54,56 NO 6,565,573,5664 -,7,54 -,36,78 SI Dopo 7 iterazioni la soluzione approssimata al centesimo è, 57. 3

14 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson Si applica la formula ricorsiva n e n Fn n ne n n n n n con punto ' n F n n e ne iniziale F '' sono concordi. La tabella seguente mostra tutti i passi dell algoritmo. n in cui F e n n n n n n,538,538,566,46 NO,566,567,8 NO 3,567,567, SI n Dopo 4 iterazioni la soluzione approssimata al centesimo è, 57 come precedentemente trovato. Si noti come il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson abbia una velocità di convergenza maggiore rispetto al metodo dicotomico o di bisezione. 4

15 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Punto 4 La funzione h f g e ln è derivabile e quindi continua in,, pertanto a norma del teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo assoluto in suddetto intervallo. La derivata prima è h' f ' g' e e se guardiamo il grafico in cui entrambe le funzioni f ' e, g' sono rappresentate nello stesso riferimento cartesiano Oy notiamo che f ' g' h' se,57 f ' f ' g' h' se,57 g' h' se, 57 pertanto, considerando il solo intervallo,, h' è strettamente decrescente in, e strettamente crescente in, h presenta un minimo relativo in corrispondenza dell ascissa,57. Confrontando il valore della funzione agli estremi dell'intervallo e nell ascissa del punto di minimo relativo otteniamo: h e ln,349 h,334 e, 783 per cui h pertanto il massimo assoluto è assunto all ascissa e il minimo assoluto all ascissa, 57. 5

16 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it QUESTIONARIO Quesito Si calcoli 3 lim 3 4 Il limite si presenta nella forma, pertanto applicando De l Hospital si ha lim ln lim 3 8 in quanto 3ln 4ln 3 ln 8 4ln ln 4ln 3 Quesito Una moneta da euro (il suo diametro è 3, 5 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato cm. Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)? 6

17 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Consideriamo la figura a lato. La moneta non taglia i lati dell esagono se il suo centro cade all interno o sul bordo dell esagono A B C D E F. Il lato di questo esagono è pari a E' D' ED EH KD. I due triangoli EE H e DD K sono congruenti, essendo rettangoli e con un angolo di 3 e l altro di 6 ; pertanto 3 EH KD E' H tan3 E' H. 3 Di conseguenza il lato dell esagono A B C D E F è 3 E ' D' ED E' H dove E' H è il diametro della moneta, 3 pertanto in millimitri il lato sarà pari a E ' D' 7,75 3. La probabilità richiesta è pari al rapporto tra le aree dei due esagoni; poichè i due esagoni sono simili, tale probabilità sarà pari al quadrato del rapporto tra i due lati, e cioè: 7,75 p 3, ,96% 7

18 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito 3 3 Sia f 3. Per quale valore di, approssimato a meno di, la pendenza della retta tangente alla curva nel punto, f è uguale a? f in un La pendenza della retta tangente al grafico della funzione punto, f è data dal valore della derivata della funzione calcolata nel punto. La funzione in esame è derivabile in tutto R, e la sua derivata è f ' ln 33 ; imponendo l uguaglianza f ' si ha: f ' ln 33 log 3 log 3ln 3 ln 3 Applicando la regola del cambiamento di base dei logaritmi, e riscrivendo in base e si ha: ln ln 3 log 3 ln 3,86 ln 3 Quesito 4 L insieme dei numeri naturali e l insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta. L insieme N dei numeri naturali e quello Q dei numeri razionali sono equipotenti poiché entrambi costituiti da un infinità numerabile di elementi. Si possono infatti ordinare gli elementi di Q in modo da stabilire una corrispondenza biunivoca con l insieme dei naturali N. Il procedimento che segue è detto di diagonalizzazione ed è dovuto al matematico G. Cantor. 8

19 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it La corrispondenza biunivoca è la seguente Q / / / /3 / 3/ 4/ 3/ /3 N Quesito 5 Siano dati nello spazio n punti P, P, P3,, Pn. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? Il numero di segmenti è pari al numero delle combinazioni di n oggetti di classe e quindi è dato da: n n! n n ;! n! analogamente il numero di triangoli è n n! n n n 3 3! n 3! 6 e di tetraedri n n! n n n n 3 4 4! n 4! 4 9

20 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito 6 Si dimostri che la curva di equazione y 3 a b ha uno ed un solo punto di flesso rispetto a cui è simmetrica. La cubica di equazione y 3 a b ha derivata prima e seconda rispettivamente pari a y' 3 a, y'' 6, per cui essa ha concavità verso l alto in, e verso il basso in, pertanto l unico flesso è il punto F,b ed è a tangente orizzontale se a e obliqua se a. Verifichia mo la simmetria centrale della curva rispetto a F,b trasformando l equazione secondo le corrispondenti trasformazioni: ' ' y' b y y b y' Sostituendo si ha: 3 3 b y' ' a ' b y' ' a' b F,b. Pertanto la curva è simmetrica rispetto a Quesito 7 E dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l ampiezza dell angolo formato da l e da h. Consideriamo la figura a lato. Per ipotesi il tetraedro è regolare, per cui è una piramide retta; il piede H dell altezza coincide con l incentro del triangolo equilatero ABC di base ed è anche ortocentro e baricentro. Da ciò deduciamo che il piede H divide l altezza BK in due parti, di cui una

21 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it 3 3 doppia dell altra. Poiché BK l, BH BK l ; il triangolo 3 3 BHD è rettangolo in H e applicando il teorema dei triangoli rettangoli, 3 3 deduciamo che sin da cui arcsin 3 35, 6. 3 Quesito 8 Un azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il % sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo `e difettoso, con quale probabilit`a esso proviene dallo stabilimento A? La probabilità che un pezzo sia difettoso per la legge della probabilità PD PAPD A PBPD B P CP D C totale è ; la probabilità che il pezzo difettoso provenga da A per la legge di Bayes è P A 3 P A D,6 6,% P( D)

22 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito 9 Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.c.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, ne determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce. Consideriamo la figura a lato. 3 B Sia A il simmetrico di A rispetto ad r; il segmento A B interseca la retta r in P in quanto A e B si trovano in semipiani diversi rispetto alla retta r. A Dimostriamo che il punto P è quello r P che realizza il cammino minimo tra A e B. Consideriamo un ulteriore P punto P differente da P ed appartenente alla retta r; in un A triangolo la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo, per cui A' P' P' B A' B A' P PB da cui deduciamo che il punto P è quello che minimizza il cammino tra A e B.

23 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it Quesito Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista r dalla superficie sferica. Consideriamo la figura a lato. Poniamo CO con r ; per il teorema di Pitagora CD r. I triangoli COD e CHB sono simili per cui vale la seguente proporzione tra lati omologhi CD : OD CH : HB che equivale a r : r r: HB da cui teorema di Pitagora CB CH HB L area laterale è pari a r HB 3 r r r r r r r r r r r. Per il r r r A l HBCB r r r r r La minimizzazione dell area laterale la effettuiamo mediante r derivazione. La derivata prima della funzione A l r è r ' r r r r r A l r r ; r r

24 Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria, matematicamente.it considerando la limitazione geometrica derivata prima è di seguito mostrato: r, il quadro dei segni della A A A ' l ' l ' l r r r r r - r minimo + da cui deduciamo che la funzione è strettamente decrescente in r, r e strettamente crescente in r, pertanto r è ascissa di minimo. Di conseguenza CK r r r. 4