Derivate delle funzioni di una variabile.

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1 Derivate delle funzioni di una variabile. Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della matematica ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. I problemi di ordine pratico dal quale scaturì tale concetto sono dati dallo studio delle tangenti ad una curva e dallo studio della velocità. roblema della tangente. Quando si parla di tangente ad una circonferenza il problema è abbastanza semplice dal momento che si intende per tangente in un punto quella retta che tocca la circonferenza in un suo punto ed è ivi perpendicolare al raggio. Quando al posto della circonferenza si prende una qualsiasi curva del piano cadono subito le caratteristiche della tangente ad una circonferenza, infatti la retta non ha più in comune con la curva un solo punto (potrebbe avere intersecato la curva in uno o più punti precedenti e/o intersecare in uno o più punti successivi a quello preso in considerazione), inoltre una curva generica non è una circonferenza e di conseguenza non ha senso parlare di perpendicolarità al raggio. Viene data la seguente definizione: Chiamasi tangente ad una curva piana in un suo punto o la posizione limite, se esiste, della retta che congiunge il punto o con un altro punto 1 della curva, al tendere di 1 a o muovendosi sempre sulla curva. Ovviamente si può tracciare la tangente se si riesce a scrivere la sua equazione cartesiana. L equazione di tale retta sarà del tipo y-f( 0 ) m(- 0 ) dove 0 e f( o ) sono le coordinate del punto o ed m è il coefficiente angolare della retta, ovvero mtgω dove ω è l angolo che la tangente forma con il verso positivo dell asse delle. A cura della prof.. aciulli 1

2 Sulla curva yf( prendiamo in considerazione il punto 1 [ o +h,f( o +h)], r, la retta che congiunge o con 1 e α l angolo che la retta forma con il verso positivo dell asse delle. er la definizione di tangente che è stata data, la retta t rappresenta la posizione limite della retta r al tendere di 1 a o, muovendosi 1 sulla curva f( e perciò si ha: lim α ϖ 0 1 da cui, visto che la tg per angoli diversi da 90 +k180 è una funzione continua ovvero,l equivalente: lim tgα tgϖ 0 1 lim tgα tgϖ 0 1 Dalla definizione di tangente si ottiene quindi: tgα f ( 0 + h) f ( 0) 0 + h 0 er cui, f ( 0 + h) f ( 0) limtgα lim tgϖ h 0 h 0 h (1) quindi il valore di m coincide con la tgω che corrisponde al valore del limite della formula precedente. Se il limite esiste ed è finito vuol dire che la tangente alla curva esiste, ed il suo coefficiente angolare è dato dalla formula (1). Sulla base delle precedenti considerazioni si può dare la seguente definizione: Chiamasi derivata della funzione f( nel punto 0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale f ( 0 + h) f ( 0) h al tendere a zero dell incremento h della variabile indipendente. La derivata, in matematica viene indicata indifferentemente con le seguenti notazioni: f (, y (, D[f(]. A cura della prof.. aciulli

3 Vale il seguente teorema: Se una funzione è derivabile in un suo punto 0 è ivi anche continua. uò non essere vero il viceversa, ovvero se una funzione è continua in un punto può non essere ivi derivabile. Derivate di uso più frequente In base alla definizione, è possibile calcolare, in maniera immediata la derivata di alcune funzioni fondamentali, da tenere a mente: y c y 0 y y 1 y n y n n-1 y n/m y sen y cos y log a y' n/m n/m-1 y' cos y' -sen y' (1/log a e y ln y' 1/ y a y e y tg y' a loga y' e y' 1/cos oppure y 1+tg y cotg y' -1/sen oppure y -(1+cotg A cura della prof.. aciulli

4 RINCIALI REGOLE DI DERIVAZIONE 1. La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione, ovvero: y cf ( y' cf '( esempio: y sen y' D( sen cos y 1 y' D( ) 6. La derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni, ovvero y f ( ± g( y' f '( ± g'( esempio: y sen + y' D( sen + D( cos + 1. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata aumentata del prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione, ovvero: y f ( g( y' f '( g( + f ( g'( esempio: y sen cos y' D( sen cos + send(cos cos sen 4. La derivata del quoziente di due funzioni è data dal quoziente tra : il prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata diminuita del prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione, il quadrato della seconda funzione, ovvero: y f ( g( y' f '( g( f ( g'( [ g( ] esempio: sen y cos y' D( sen cos send(cos cos + sen 1 cos cos cos 1 + tg 5. La derivata di una funzione composta yf(g() dove yf(z) e zg( è data dal prodotto della derivata della funzione f(z) rispetto a z per la derivata della funzione g( rispetto alla variabile ; ovvero [ g( ] y' f '[ g( ] g'( y f esempio: Una funzione composta è una funzione che non ha come argomento la semplice variabile ma un altra funzione. Ad esempio ysen ha come variabile indipendente la la funzione ysen( +1) ha come variabile la funzione z +1 Quindi applicando a quest ultima la regola di derivazione si ottiene ( + 1) y' cos( + 1) y sen A cura della prof.. aciulli 4

5 [ sen( + 1) ] ( + 1) ( + 1) cot g( + 1) 1 y log y' cos sen 6. la derivata della potenza di una funzione y[f(] n è uguale alla moltiplicazione tra l esponente, la funzione con esponente diminuito di uno e la derivata prima della funzione. In formule y n n 1 [ f ( ] y' n[ f ( ] f '( esempio: y + sen ( ) sen y' ( + sen 1 1 ( + cos ( + cos + sen Esercizi: 1. y. 16 y 4 + ( sen 5 5. y 4. y y y ( + 7 5)( + 6) 7. y e ( 4e + ) 8. y e sen e cos 9. y sen( ) 10. y sen( sen + ) y y 1 ( 6) 1. y ( + 1) 14. y ( + 1) y y + log( y log( + 1) 18. y ln(8 ) y ln(4 + ) 0. y ln( 4 + 5) A cura della prof.. aciulli 5

6 TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI Teorema di Rolle Sia f( continua nell intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell intervallo aperto (a,b) e sia inoltre f(a)f(b). Sotto queste condizioni esiste almeno un punto c interno all intervallo [a,b] nel quale la derivata prima si annulla e cioè f (c) 0. Vediamo il significato geometrico: Il caso limite è dato dalla f( coincidente con una retta parallela all asse in cui la funzione è costante e quindi in tutti i suoi punti la derivata prima è nulla. Teorema di Lagrange o del valor medio Sia f( una funzione continua nell intervallo chiuso [a,b] e derivabile nei punti interni di questo intervallo; esiste allora almeno un punto c interno ad [a,b] nel quale risulti: nel quale cioè la derivata prima sia uguale al rapporto incrementale della funzione f( nell intervallo [a,b]. Se la funzione f( è derivabile nell intervallo [a,b], vuol dire che la funzione è dotata di derivata prima in tutti i punti dell intervallo e quindi è dotata di tangente in tutti i punti dell intervallo esclusi gli estremi, allora esiste almeno un punto c in cui la tangente è parallela alla corda che unisce gli estremi dell intervallo. A cura della prof.. aciulli 6

7 Regola di de L Hopital e le sue applicazioni Siano f( e g( due funzioni continue, nulle nel punto e derivabili in ; sia inoltre g ( ) non nulla in. Allora se esiste finito o infinito il Esiste anche il E si ha Il differenziale ed il suo significato geometrico Se yf( è una funzione derivabile in un punto, chiamiamo differenziale della f( relativo al punto ed all incremento il prodotto della derivata f ( per l incremento. Il differenziale viene indicato con i simboli: Si ha dunque df( o dy 1) df(f (. Consideriamo ora il differenziale della funzione f( allora df(d1dd quindi dd e cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all incremento della variabile indipendente e quindi la 1) diventa ovvero df(f (d FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI Mediante lo studio del segno della derivata si può determinare se la funzione è crescente o decrescente. A cura della prof.. aciulli 7

8 Ricordiamo che presi i punti a e b, con a<b, nell intervallo di definizione di una funzione f(, tale funzione è crescente in (a,b) se si ha f(a)<f(b), è decrescente se f(a) > f(b). Consideriamo quindi una funzione crescente nell intervallo (a,b) e sia un punto di tale intervallo Gli angoli che le tangenti nei punti e Q formano con l asse delle sono acuti e per tali rette quindi il coefficiente angolare è positivo. Dal momento che la derivata prima di una curva, calcolata nel punto rappresenta proprio il coefficiente angolare della retta tangente si evince che la derivata prima in tali punti sarà positiva. Quindi si può affermare che se la derivata prima è positiva nell intervallo allora la funzione è crescente. Analogamente, se la funzione è decrescente in un intervallo (a,b) l angolo che la tangente alla curva forma con l asse delle è ottuso e quindi il suo coefficiente angolare sarà negativo. Quindi si può affermare che se la derivata prima nei punti dell intervallo (a,b) è negativa la funzione è decrescente nell intervallo (a,b). Riassumendo Se per a < < b f (>0 allora f( è crescente su (a,b) Se per a < < b f (<0 allora f( è decrescente su (a,b). Lo studio del segno porta facilmente alla determinazione dei punti di massimo e minimo di una funzione. Si dice che una funzione assume un massimo relativo in un punto 1 se preso un intorno del punto 1 tutti i valori assunti dalla funzione in tale intervallo sono inferiori al valore assunto nel punto 1. Analogamente si dice che una funzione assume un minimo relativo in un punto 1 se preso un intorno del punto 1 tutti i valori assunti dalla funzione in tale intervallo sono maggiori del valore assunto nel punto 1. Se una funzione ha più punti di massimo relativo si può determinare il massimo assoluto della funzione considerando tra questi quello di valore più grande e verificando che negli estremi del dominio di esistenza della funzione la funzione stessa non assuma valori maggiori. (Il discorso è analogo per i punti di minimo assoluto). A cura della prof.. aciulli 8

9 Vale il seguente teorema: Se 0 è un punto di massimo o minimo relativo di una funzione f( definita in un intervallo (a,b) e se in tale punto la funzione è derivabile allora si ha f ( 0 )0 Infatti la tangente alla curva in un punto di massimo o minimo è parallela all asse delle ed ha coefficiente angolare 0. Considerando che la derivata seconda di una funzione è la derivata della derivata prima si può affermare che: se in 0 la derivata prima è uguale a zero: se f ( 0 ) > 0 allora in 0 la funzione ha un punto di minimo; se f ( 0 ) < 0 allora in 0 la funzione ha un punto di massimo; se f ( 0 ) 0 allora in 0 la funzione ha un punto di flesso. In generale tuttavia dallo studio del segno della derivata prima si evince che : Si è in presenza di un punto di minimo per una funzione yf(, qualora nel punto la derivata prima sia nulla e si verifichi la condizione che per < 0 allora f'(<0 e per > 0 allora f'(>0, ovvero: unto di minimo: Si è in presenza di un punto di massimo per una funzione yf(, qualora nel punto la derivata prima sia nulla e si verifichi la condizione che per < 0 allora f'(>0 e per > 0 allora f'(<0, ovvero: unto di massimo: A cura della prof.. aciulli 9

10 Si è in presenza di un punto di flesso crescente per una funzione yf(, qualora nel punto la derivata prima sia nulla e si verifichi la condizione che per < 0 allora f'(>0 e per > 0 allora f'(>0, ovvero: unto di flesso crescente: Si è in presenza di un punto di flesso decrescente per una funzione yf(, qualora nel punto la derivata prima sia nulla e si verifichi la condizione che per < 0 allora f'(<0 e per > 0 allora f'(<0, ovvero: unto di flesso decrescente: A cura della prof.. aciulli 10