Si tratta di una funzione definita a tratti, il cui intervallo di definizione è suddiviso in 4 intervalli, AO-OB-BC- CD.

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1 PROBLEMA 1 Sia una funzione continua sull intervallo chiuso [-4, 6]. Il suo grafico, riportato in figura, passa per i punti A(-4;0), O(0,0),B(2;2), C(4;2), D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l asse. 1. Si dica, giustificando la risposta, se è derivabile nei punti A, O, B, C, D. 2. Posto,si calcolino. 3. Per quali valori di, è positiva, negativa o nulla? E per quali è positiva, negativa o nulla la funzione derivata seconda? 4. La funzione presenta un massimo e un minimo assoluti? Si tracci l andamento di. Soluzione 1. ammette la seguente espressione analitica Si tratta di una funzione definita a tratti, il cui intervallo di definizione è suddiviso in 4 intervalli, AO-OB-BC- CD. Si sa che la funzione è continua in ciascun punto dell intervallo [-4;6] e si può affermare che è derivabile all interno di ciascuno dei suddetti intervalli in quanto, nell intorno di ciascun punto interno, coincide con una funzione derivabile. Per studiare la derivabilità nei punti A, O, B, C, D osserviamo che se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale sinistro (destro) diremo che esiste la derivata sinistra (destra) se esistono sia la derivata destra sia la derivata sinistra e hanno lo stesso valore, diremo che la funzione è derivabile nel punto esaminato. Poiché il grafico di g(x) è l unione di archi di curve elementari, che ammettono una retta tangente in ogni punto, si può studiare la derivabilità anche attraverso considerazioni geometriche relative alla tangente destra e alla tangente sinistra al grafico, in ciascuno dei punti richiesti. Punto A(-4;0) La semicirconferenza di diametro OA ammette nel punto A una semiretta tangente parallela all asse y, ovvero il limite del rapporto incrementale (destro) è infinito Nel punto A la funzione non è derivabile

2 Punto O(0;0) Anche nel punto O la semicirconferenza di diametro OA ammette una semiretta tangente parallela all asse y; lo stesso dicasi dell arco di circonferenza di estremi O e B. Nel punto O la funzione non è derivabile Punto B(2;2) La derivata sinistra è uguale al coefficiente angolare della retta tangente all arco OB, quarta parte di circonferenza ed è quindi uguale a 0 La derivata destra è uguale al coefficiente angolare della retta y=2, che è anch esso uguale a 0. La funzione g(x) è derivabile nel punto B Punto C(4;2) La derivata sinistra è uguale a 0 La derivata destra è il coefficiente angolare della retta tangente alla semiparabola, che possiamo calcolare mediante la derivata = Sostituendo x=4 si trova il valore - Poiché la derivata destra e la derivata sinistra non sono tra loro uguali, la funzione non è derivabile in C Punto D(6;0) L arco CD appartiene a una parabola che ha per asse l asse x e per vertice il punto D. Poiché la tangente nel vertice è perpendicolare all asse, la tangente all arco CD è una semiretta parallela all asse y ed ha coefficiente angolare infinito. Nel punto D la funzione non è derivabile Studio della derivabilità utilizzando la definizione di derivata Punto A(-4;0) È possibile scrivere solo il rapporto incrementale destro, con un incremento h>0 della variabile x = =-

3 . Punto O(0;0) È possibile scrivere sia il rapporto incrementale sinistro sia il rapporto incrementale destro. Nel primo caso si utilizza la funzione, nel secondo caso la funzione = =+ = =+ Punto B(2;2) È possibile scrivere sia il rapporto incrementale sinistro, sia il rapporto incrementale destro. Nel primo caso si utilizza la funzione, nel secondo caso la funzione = =0 Poiché il limite del rapporto incrementale destro è anche uguale a 0, essendo la funzione costante, la funzione g(x) è derivabile nel punto B Punto C(4;2) È possibile scrivere sia il rapporto incrementale sinistro, sia il rapporto incrementale destro. Nel primo caso si utilizza la funzione la funzione e quindi il limite del rapporto incrementale è 0, nel secondo caso interviene = = - Poiché il limite del rapporto incrementale destro è diverso dal limite sinistro la funzione g(x) non è derivabile nel punto C Punto D(6;0) È possibile scrivere solo il rapporto incrementale sinistro. =

4 Riassumendo 2. Per calcolare i valori della funzione integrale conviene sfruttare il significato geometrico dell integrale definito. E evidente che mentre essendo uguale all opposto dell area del semicerchio di diametro AO Al variare di x il valore della funzione integrale si trova sommando le aree delle regioni di piano che man mano vengono <<spazzate>> ) Per calcolare f(1) dobbiamo conoscere l area S della regione OHK rappresentata nella figura a lato pari alla differenza tra il settore circolare, sesta parte del cerchio, e il triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza,rispettivamente, 1 e S= S =

5 Per calcolare f(6) dobbiamo conoscere l area del segmento parabolico che, per il Teorema di Archimede, è pari a del rettangolo circoscritto, pertanto è uguale a Riassumendo x f(x) <0 1 <0 2 - <0 4 4 >0 6 >0 3.Abbiamo già trovato uno zero della funzione f(x), essendo f(-4)=0 Osserviamo poi che f(x) è una funzione continua e assume valori di segno opposto agli estremi dell intervallo [2;4], pertanto per il teorema di esistenza degli zeri, f(x) si annulla per un valore compreso tra 2 e 4. In questo intervallo la funzione g(x) è costante ed è uguale a 2, pertanto f(x) corrisponde alla somma di f(2) con l area di un rettangolo di altezza 2 e base x-2 si annulla per x= termini positivi poi rimane positiva poiché a ciascun valore cumulato andranno sommati

6 è definita in ]-4;0[ ed è positiva negli intervalli in cui g(x) è crescente, negativa negli intervalli in cui g(x) è decrescente, nulla nei punti stazionari di g(x) ) di =0 per x=-2 ( in quest ultimo intervallo f(x) è rappresentasto da un segmento retta) <0 per x)>0 per è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato, quindi, per il teorema di Weierstrass, ammette sia minimo, sia massimo assoluto Dal segno di g(x) si deduce che <6 decresce per -4<x<0 e cresce per 0<x Il minimo assoluto è f(0). il massimo f(6) L andamento di f(x) è rappresentato in figura