SOLUZIONE ( ) ( ) ( ) ( )

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1 PROBLEMA 1 La funzione è definita e derivabile sull intervallo chiuso [-7, 5] ed è ( ). Il grafico di ( ), la derivata di, consiste di tre segmenti e una semicirconferenza di raggio 2 e centro in O, come indicato nella figura sotto. 1. Si determinino ( ) e ( ) 2. Si determinino le ascisse di ciascun punto di flesso del grafico di ( ), illustrando il ragionamento seguito. 3. La funzione g è definita da g(x)=f(x)-1/2x 2. Si determinino le ascisse, con -7<x<5, dei punti critici di g, specificando se si tratta di massimo, di minimo o né l uno né l altro ed esponendo il ragionamento seguito. SOLUZIONE 1)Poiché ( ) corrisponde alla somma di un quarto di cerchio di raggio 2 e di un triangolo di base unitaria e altezza 3, mentre ( ) corrisponde all area di un quarto di cerchio di raggio 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2)Poiché f (x) à crescente negli intervalli ]-7;0] ]2;3[ mentre è decrescente negli intervalli ]0,2[ e ]3;5[, si deduce che f (x) è positiva nei primi due intervalli e negativa negli altri due. Si può affermare che f(x) cambia concavità nell intorno di 0 e di 3. Sia in x=0 che in x=3 f(x) è derivabile. Nel punto di ascissa 0 f (x) ha un punto di massimo relativo e f (x) si annulla Nel punto di ascissa 3 f (x) ha un punto angoloso e f (x) non esiste

2 Si conclude che i punti F 1 (0; ) e F 2 (3 ) sono punti di flesso per f(x) 3) La derivata di g(x) è ( ) ( ) Il segno di g (x) può essere studiato graficamente ( ) ( ) e D(3;3) Questi sono i punti in cui g (x) =0 Nell intervallo [ [ il grafico di f (x) si trova al di sopra della retta, nell intervallo ] [ ] ] Si conclude che g (x) cambia segno nell intorno di x= e che g(x) cresce a sinistra e decresce a destra, quindi per di x= si ha un massimo relativo, mentre il punto di ascissa 3 non è né massimo né minimo.

3 QUESTIONARIO 1. Quante sono tutte le funzioni iniettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di m elementi? Per costruire una funzione iniettiva da A a B, ad ogni elemento di A si deve associare un elemento di B e ad elementi distinti devono corrispondere elementi distinti. Deve essere, pertanto, n m. Ciò posto, al primo elemento di A si può associare uno qualsisi degli m elementi dib, al secondo uno degli m-1 rimanenti, al terzo uno degli altri m-2 e così via. Le possibili scelte sono quindi m(m-1)(m-2)..(m-n+1) Si può anche affermare che le funzioni iniettive da a a B sono tante quante le disposizioni di classe m di n elementi 2. Tra tutti i settori circolari che hanno un perimetro di 100 metri, si determini quello di area massima. Indicata con r la misura in metri del raggio e con α l ampiezza dell angolo (in radianti) Perimetro = 100 = 2r + r α Area=S= ( ) ( ) S(r) è una funzione quadratica che rappresenta una parabola con la concavità verso il basso. Il valore massimo corrisponde al vertice le cui coordinate sono ( 25;625) { 3. Sia R la regione del piano racchiusa tra il grafico di, la retta x= 10 e l asse x Si trovi il volume del solido generato da R nella rotazione attorno alla retta y=-1 ( ( ) ) ) ( ) ) ( ) [ ( ) ]

4 Si può anche usare il metodo dei gusci cilindrici ( )( ) [ ] 4. Si determini l equazione della normale alla curva nel suo punto di ascissa Le coordinate del punto sono ( ; ) Il valore della derivata, nel punto, è ( ) Il coefficiente angolare della normale è uguale a ( ) L equazione della normale è ( ( ) 5. Fra tutti i parallelepipedi a base quadrata con diagonale di misura d, si determini quello di volume massimo sia x la misura del lato della base e y la misura dell altezza del parallelepipedo ( ) con 0<y<d Poiché ( ) i l v o l u m e c r e s c e n e l l i n t e r v a l l o ] ; [ e

5 d e c r e s c e n e l l i n t e r v a l l o ] [ Il volume massimo corrisponde a (CUBO) 6. Si calcoli: R i c o r d a n d o c h e = D i v i d e n d o i l n u m e r a t o r e e i l d e n o m i n a t o r e p e r k x s i o t t i e n e 7. Sia AB un segmento di lunghezza 20dm. Si determini il luogo dei punti C dello spazio tali che sia retto e misuri 60. Il segmento BC deve appartenere al piano α perpendicolare in B alla retta AB e deve distare da B dm. Il luogo del punto C è la circonferenza di centro B e raggio dm., giacente su α 8. Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono: 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0? Avendo fissato due cifre uguali a 1 e due cifre uguali a 2, la terza coppia di cifre va scelta tra le 7 cifre rimanenti. I numeri aventi anche le altre due cifre uguali tra loro sono =630 I numeri aventi le altre due cifre disuguali sono Totale 4410