P[x; f(x)] y = f(x) le coordinate del punto P possono essere scritte anche come DERIVATA DI UNA FUNZIONE RAPPORTO INCREMENTALE

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1 DERIVATA DI UNA FUNZIONE RAPPORTO INCREMENTALE Consideriamo una funzione reale y=f(x), definita in un intervallo [a, b] di numeri reali che appartiene al dominio D della funzione ( [a, b] è contenuto in D). Consideriamo un punto P qualunque della funzione, P(x;y); poiché y = f(x) le coordinate del punto P possono essere scritte anche come P[x; f(x)] l unica condizione da rispettare nella scelta del punto P è che x sia un numero che appartiene (interno) all intervallo ]a, b[ cioè a< x < b. 1

2 Consideriamo, ora, un valore h e il punto Q della funzione f(x) che ha come coordinate x + h e f(x+h); Q[x + h; f(x+h)]; l unica condizione che il valore di h deve rispettare è che x+h appartenga all intervallo [a, b] (a< x+h < b); diciamo che abbiamo dato alla variabile x l incremento h. Graficamente si ha: 2

3 y f(x + h) Q RETTA SECANTE f(x) P O h a x x + h b x Figura 1 3

4 Si chiama rapporto incrementale della funzione y=f(x) relativo al punto di ascissa x e all incremento h la quantità: E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se h > 0, mentre si dice rapporto incrementale sinistro se h < 0. 4

5 SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE Il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque della retta, cioè e prendendo in considerazione i due punti P(x; f(x)) e Q(x+h; f(x+h)), punti d intersezione della curva con la retta secante s (vedi figura 1), risulta che:. 5

6 Quindi: il rapporto incrementale di una funzione nell intorno di un suo punto è il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata. 6

7 DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN SUO PUNTO Si chiama derivata della funzione nel suo punto di ascissa il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell incremento h della variabile, La derivata della funzione nel punto di ascissa si indica con una qualunque delle seguenti notazioni:, oppure. 7

8 La derivata (prima) della funzione è quindi definita dalla seguente relazione:. Può darsi che, pur non esistendo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale, esista e sia finito tuttavia il limite a destra o il limite a sinistra, questi si chiameranno allora, rispettivamente, derivata destra e derivata sinistra della funzione y f(x) in x 0, e si rappresenteranno con i simboli e, 8

9 per definizione: e. 9

10 SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA Partendo dal significato geometrico del rapporto incrementale e osservando che al tendere di h a zero, il punto Q tende a P e la retta secante, passante per i punti P e Q, tende a disporsi tangente alla curva nel punto P, si può affermare che: la derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto. 10

11 Graficamente si ha: RETTA TANGENTE 11

12 TEOREMA DI ROLLE Il teorema di Rolle afferma che se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso [a, b], derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto ]a, b[ e assume valori uguali negli estremi dell'intervallo, f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto x = c interno ad ]a, b[ in cui la derivata si annulla, cioè f (c) = 0 (punto critico o stazionario). LINK 12