Esercitazione 9 - Funzioni

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1 Esercitazione 9 - Funzioni DEFINIZIONI DI BASE Dati due insiemi X e Y, si dice funzione f : X Y una legge che associa ad ogni elemento X uno ed un solo elemento = f() Y. L insieme X è il dominio della funzione: X = Dom(f). L elemento = f() Y viene detto immagine di tramite f. L insieme delle immagini f() di tutti gli elementi X viene detto immagine dell insieme X tramite f o semplicemente immagine della funzione f: f(x) = Im(f) = { Y : = f(), X}. L immagine di f è un sottoinsieme di Y : Im(f) Y. FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Consideriamo innanzitutto funzioni di una variabile reale: f : Dom(f) R R. La funzione f fa quindi corrispondere ad ogni numero reale Dom(f) uno ed un solo numero reale = f(). Chiamiamo variabile indipendente la e variabile dipendente la. Salvo diversa indicazione, consideriamo come Dom(f) l insieme di tutti i valori in R per i quali f() abbia senso come numero reale. Chiamiamo grafico di una funzione reale l insieme dei punti (, = f()) del piano cartesiano, con Dom(f). Nota : Ogni retta verticale = a, con a Dom(f), incontra il grafico in un solo punto. Nota : Im(f) viene ottenuta graficamente proiettando ortogonalmente i punti del grafico sull asse. Nota : Dom(f) viene ottenuto graficamente proiettando ortogonalmente i punti del grafico sull asse. Appunti scritti da Giuliano Benenti, giuliano.benenti@uninsubria.it, webpage:

2 GRAFICI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Funzioni potenza f() = n, con n intero positivo dispari (n =,, 5,...). Im(f) = (, + ) n= n= n= Si noti che queste funzioni sono dispari. - Naturalmente as- In generale, diciamo che una funzione è dispari se f() = f( ) per ogni Dom(f). sumiamo che, se Dom(f), allora anche Dom(f). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine. Funzioni potenza f() = n, con n intero positivo pari (n =,, 6,...). Im(f) = [, + ) n= n= n=6 Si noti che queste funzioni sono pari. - - Naturalmente assumi- In generale, diciamo che una funzione è pari se f() = f( ) per ogni Dom(f). amo che, se Dom(f), allora anche Dom(f). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse.

3 Funzioni potenza f() = α, con α = n, n intero positivo. Dom(f) = [, + ) Im(f) = [, + ) α=/ α=/ α=/6 5 Si noti come il dominio sia ristretto agli in quanto in questo esempio f() non ha senso come numero reale per <. Funzioni potenza f() = α, con α = Im(f) = (, + ) n+, n intero positivo. α=/ α=/5 α=/ Si noti come le funzioni di questo esempio siano dispari. -

4 Funzioni potenza f() = α, con α intero negativo dispari (α =,, 5,...). Dom(f) = (, ) (, + ) Im(f) = (, ) (, + ) α= α= α= Si noti come = non appartenga al dominio della funzione. Si noti inoltre come le funzioni di questo esempio siano dispari. - Funzioni potenza f() = α, con α intero negativo pari (α =,, 6,...). Dom(f) = (, ) (, + ) Im(f) = (, + ) α= α= α= Si noti come = non appartenga al dominio della funzione. Si noti inoltre come le funzioni di questo esempio siano pari.

5 Rette nel piano cartesiano, f() = m + q Im(f) = (, + ) m=-, q= m=, q= m=, q= La retta = m + q intercetta l asse nel punto (, q) e, per m, l asse nel punto ( q/m, ). Per m = la retta è parallela all asse. - Funzione valore assoluto (o funzione modulo) f() = = Im(f) = [, + ) {,,, <

6 Funzione segno f() = sgn() = = { + >,, <. Dom(f) = (, ) (, + ) Im(f) = {, } Funzioni esponenziale f() = a, a >, Im(f) = (, + ) a= a=e= a=

7 Funzioni esponenziale f() = a, < a <, Im(f) = (, + ) a=/ a=/e a=/ Funzioni logaritmiche f() = log a, a > Dom(f) = (, + ) Im(f) = (, + ) a= a=e a= Notiamo che = log a se e solo se = a, per cui deve essere >.

8 Funzioni logaritmiche f() = log a, < a < Dom(f) = (, + ) Im(f) = (, + ) a=/ a=/e a=/ Funzioni trigonometriche. Consideriamo f() = sin e f() = cos. Im(f) = [, ] f()=sin f()=cos Si noti come tali funzioni siano periodiche di periodo π. In generale diciamo che una funzione f() è periodica di periodo T se f( + T) = f() per ogni Dom(f) (si assume quindi che anche + T Dom(f)).

9 ESERCIZI. Una retta parallela all asse delle è una funzione?. Dire se le funzioni f() = e f() = sgn() sono pari o dispari.. Dire se le funzioni f() = sin() e f() = cos() sono pari o dispari.. Quale e il dominio della funzione f() = tan = sin cos? Soluzione: f() = tan non è definita per quegli per cui cos =, cioé quando = π + kπ, con k intero. 5. Trovare il dominio di f() = +. Soluzione: il dominio coincide con l insieme dei punti per i quali +, cioé Dom(f) = [, + ). 6. Trovare il dominio di f() = Trovare il dominio di f() =. 8. Trovare il dominio di f() = + + log e. 9. Disegnare il grafico della funzione f() = sin(). Quale è l immagine di tale funzione? DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI UNA VARIABILE Consideriamo il rapporto incrementale = f( + h) f( ) = f( + h) f( ). ( + h) h Tale rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti A = (, f( )) e B = ( + h, f( + h)). Tale retta ha infatti equazione f( ) = ( ). f() f( +h) f( ) A B +h Si dice che la funzione f è derivabile in se il limite per h che tende a del rapporto incrementale esiste ed è finito. Tale limite è indicato come f ( ) e viene detto derivata di f in. In tale limite il punto B tende ad A e la secante per i punti A e B tende a disporsi tangente alla curva -grafico di f()- nel punto A. La derivata di una funzione in un suo punto è allora uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto. L equazione della retta tangente alla curva in è infatti data da f( ) = f ( )( ).

10 La funzione f (), avente come dominio l insieme dei valori in cui f è definita e derivabile e il cui valore in è uguale a f (), viene detta derivata di f. Si noti che Dom(f ) Dom(f). Esempio: data la funzione f() =, il rapporto incrementale in è dato da f( + h) f( ) h = ( + h) h = h + h h = + h. Per h che tende a otteniamo f ( ) = Notazione: si usa anche scrivere d d f() invece di f (). TABELLA DELLE DERIVATE FONDAMENTALI f() f () c α α α sin cos cos sin e e a a log e a log e / log a /( log e a) REGOLE DI DERIVAZIONE (f + g) = f + g Esempio: f() = sin, g() = cos, (f + g) () = cos sin. (fg) = f g + fg Esempio: f() = e, g() =, (fg) () = e + e ( ). Esempio: f() = +, g() = sin, ( ) f = f g fg g g ( ) f = sin ( + )cos g (sin ) (g(f)) = g (f)f Esempio: g(f) = log e f, f() = sin, (g(f))() = g(f()) = log e (sin ), (g(f)) () = sin cos

11 ESERCIZI. Scrivere l equazione della retta tangente alla curva f() = in =. Soluzione: La retta cercata è f( ) = f ( )( ), con =, f( ) = = e f ( ) = = coefficiente angolare della retta tangente.. Calcolare la retta tangente alla curva f() = cos in = π.. Calcolare la derivata di. Il dominio della funzione derivata è uguale a quello della funzione oppure no?. Calcolare la derivata di f() = Calcolare la derivata di f() = sin( ). 6. Calcolare la derivata di f() = (sin()). 7. Calcolare la derivata di f() = e cos. 8. Se un punto percorre una traiettoria con la legge del moto s = f(t), con s spazio percorso e t tempo, che cosa rappresenta il rapporto incrementale f(t + h) f(t )? E la derivata f (t )? h Risposta: Il rapporto incrementale rappresenta la velocità media tra t e t + h, la derivata f (t ) la velocità istantanea del punto all istante t. 9. Se un punto percorre una traiettoria con la legge del moto s = f(t) e v = g(t) esprime la sua velocità in funzione del tempo, che cosa rappresenta il rapporto incrementale g(t + h) g(t )? E la derivata g (t ) = f (t )? h