Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.

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Bernadetta Salvi
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2 1. Dominio 2. Limiti => eventuali asintoti 3. Studio del segno (opzionale) Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.

3 Se x x0 f(x) = ± x = x 0 asintoto verticale Se f(x) = l x ± Se x + y = l asintoto orizzontale f(x) = ± potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione y = mx + q). Quindi se f(x) x + x = m R e (f x x + y = mx + q è asintoto obliquo Se x mx) = q R f(x) = ± potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione y = mx + q). Quindi se f(x) x x = m R e (f x x y = mx + q è asintoto obliquo mx) = q R

4 Es. f x = x2 +2 x x x x = D =, 0 (0, + ) Possibile asintoto obliquo x x 0 x x x 0 + x = = + x = 0 asintoto verticale x = 0 asintoto verticale x x + x = + Possibile asintoto obliquo

5 Si cerca l eventuale asintoto obliquo perché f x = x L asintoto obliquo di equazione y = mx + q esiste se f(x) x x = m R e (f x x ± x x x 2 = 1 R m = 1 x x x x 2 1 x = x x mx) = q R = x 2 x = 0 q = 0 x Per x la funzione tende asintoticamente alla retta y = x. Esiste l asintoto obliquo anche quando x +?

6 Studiare l andamento agli estremi del dominio e rappresentare queste informazioni nel grafico. f x = e 2 1 x f x = 1 1 x 1 + log x, x > 1 f x = x 2, x 1

7 1. Dominio 2. Limiti => eventuali asintoti 3. Studio del segno (opzionale) 4. Intervalli di crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi. Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.

8 Sia f(x) una funzione definita in I R e si consideri il passaggio da x 0 I a x 0 + h I. La retta secante nei punti (x 0, f(x 0 )) e (x 0 + h, f x 0 + h ) ha equazione: y f x 0 = m(x x 0 ), Δf Δx m = f x 0+h f(x 0 ) h con Δx = x 0 + h x 0. = Δf Δx si chiama rapporto incrementale

9 Data una funzione f(x) continua in x 0, la derivata è il ite f x 0 + h f(x 0 ) h 0 se tale ite esiste ed è finito. La derivata di f(x) in x 0 si indica con f x 0, d dx f(x 0) oppure Df(x 0 ). La derivata di una funzione in un punto x 0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto(x 0, f(x 0 )). h

10 Definizione equivalente: Posto x = x 0 + h, si dice derivata di f x in x 0 il ite f f x f(x 0 ) x 0 = x x0 x x 0 se tale ite esiste ed è finito. Equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto (x 0, f(x 0 )): y = f x 0 + f (x 0 )(x x 0 )

11 f x = b (funzione costante) f x f(x) = x (funzione lineare) f x + h f(x) = h 0 h f x (x + h) x = h 0 h f(x) = x 2 (funzione quadratica) x + h 2 x 2 f x = h 0 h f x = h 0 b b h h = h 0 h = 1 2xh + h 2 = h 0 h = x β (generalizzando: funzione potenza) f (x) = βx β 1 = 0 = 2x

12 Esercizi: f x = x 3 ; f x = x 5 4 ; f x = x 3 ; f x = 1 x 2 Esempio: f x = x = x 1 2 f x = 1 2 x1 2 1 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x È possibile calcolare f 0? No perché il risultato del ite è h 0 1 = h 0 + h h 0 h = +

13 Derivata della somma: Derivata del prodotto: f x + g x = f x + g (x) f x g x = f x g x + f x g (x) Derivata del prodotto per una costante: c f x = c f (x) Derivata del rapporto: f x g x = f x g x f x g (x) g x 2 Derivata della funzione composta: f g x = f g x g (x)

14 x α = αx α 1 e x = e x a x = a x ln a sin x = cos x cos x = sin x (ln x) = 1 x log a x = 1 x ln a

15 d dx f g x = f g x Es: d dx f x α = f x α α 1 = α f x f (x) d dx ef x = e f x = e f x f (x) d dx cos f x = cos f x = sin f x f (x) d dx sin f x = sin f x = cos f x f (x) d dx ln f x = ln f x = 1 f(x) f (x) = f (g(x)) g (x)

16 f x = e x2 f x = e x2 2x f x = e x3 +1 f x = e x3 +1 (3x 2 ) f x = x 3 2x = x 3 2x 1 2 f x = 1 2 x3 2x (3x 2 2) f x = cos (x 3 2x) f x = sin x 3 2x 3x 2 2

17 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: f x = x2 +3x 1 x 4 +2 f x = ln 1 x f x = 10 x 4 +2 f x = x2 +1 x+2 f x f x = cos x ln(x 2 + 1) = e5x x 2 3x f x = x5 2 x e x2 f x = 10( x 4 + 2) f x = cos 1 x

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