Università di Trento Dip. di Ingegneria e Scienza dell Informazione

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1 Cognome Nome Matricola Non scrivere qui A Università di Trento Dip. di Ingegneria e Scienza dell Informazione CdL in Informatica - CdL in Ingegneria dell informazione e delle comunicazioni CdL in Ingegneria dell informazione e organizzazione d impresa Seconda prova intermedia di Analisi Matematica 1 A.A Trento, 19 Dicembre 15 Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matricola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è di DUE ORE E MEZZA. IL SUPERAMENTO DEI PRIMI 1 ESERCIZI È CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÈ LA SECONDA PARTE DEL COMPITO VENGA VALUTATA. È OBBLIGATORIO RIPORTARE LE RISPOSTE DEI PRIMI 1 ESERCIZI SUL FOGLIO PRESTAMPATO. È obbligatorio consegnare sia il testo, sia tutti i fogli ricevuti; al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Non usate il colore rosso. a1) Calcolate, dove esiste, la derivata (prima) di f(x) = (e x + log(1 + x)) sin x. a) Dite per quali valori di α, β R risulta continua e derivabile in tutto R la seguente funzione f : R R definita da { sin x + β(x + 1) se x < f(x) = αx + 3 se x. a3) Sia f : R R la funzione definita da f(x) = x cos x. Determinate (f 1 ) (π + 1). a4) Determinate il dominio di f(x) = xe 1 1 x.

2 a5) Scrivete il polinomio di Taylor di ordine, centrato in x =, della funzione f(x) = sin x log(1 + x). e x cos x a6) Calcolate il limite lim. x + 3x a7) Dite per quali valori di β R risulta convergente la serie n β+3. a8) Determinate l equazione della retta tangente al grafico di F (x) = punto di coordinata x =. x ( + t )e t dt nel a9) Determinate (e x 1 x + ) dx. a1) Dite per quali valori di α R è convergente l integrale sin x dx. (x 1) α

3 b1) i) Studiate (dominio, segno, comportamento agli estremi del dominio, asintoti, continuità, derivabilità/punti di non derivabilità, punti critici e loro natura) della funzione f(x) = x x x + 1. Tracciate un grafico qualitativo della funzione f. ii) (facoltativo) Studiate poi brevemente (sfruttando il punto i)) la funzione g(x) = log(f(x)) e tracciatene un grafico qualitativo. b) Determinate il seguente limite: (e x 1) + log(1 + x 4 x ) arctan x 3 lim x + x 4. b3) Determinate l insieme di convergenza della seguente serie n 3 n π n (x 1) n. b4) Sia f(x) = xe x + 1 x + 4. i) Determinate la primitiva F di f su ], + [ passante per l origine. ii) Calcolate f(x) dx. b5) Determinate per quali α R converge l integrale improprio + x x 3 1 x α arctan x dx. b6) i) Sia f : R R e x R. f si dice derivabile in x se... ii) Scrivete l enunciato e la dimostrazione del Teorema di Rolle.

4 Cognome Nome Matricola Non scrivere qui B Università di Trento Dip. di Ingegneria e Scienza dell Informazione CdL in Informatica - CdL in Ingegneria dell informazione e delle comunicazioni CdL in Ingegneria dell informazione e organizzazione d impresa Seconda prova intermedia di Analisi Matematica 1 A.A Trento, 19 Dicembre 15 Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matricola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è di DUE ORE E MEZZA. IL SUPERAMENTO DEI PRIMI 1 ESERCIZI È CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÈ LA SECONDA PARTE DEL COMPITO VENGA VALUTATA. È OBBLIGATORIO RIPORTARE LE RISPOSTE DEI PRIMI 1 ESERCIZI SUL FOGLIO PRESTAMPATO. È obbligatorio consegnare sia il testo, sia tutti i fogli ricevuti; al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Non usate il colore rosso. a1) Calcolate, dove esiste, la derivata (prima) di f(x) = (cos x + arctan x) log(1 + 3x). a) Dite per quali valori di α, β R risulta continua e derivabile in tutto R la seguente funzione f : R R definita da { αx + 3 se x f(x) = cos x β(x + ) se x >. a3) Sia f : R R la funzione definita da f(x) = x sin x. Determinate (f 1 ) ( π 1). a4) Determinate il dominio della funzione f(x) = x log(1 x ).

5 a5) Scrivete il polinomio di Taylor di ordine, centrato in x =, della funzione f(x) = sin 3x e x. log(1 + 3x) xe x a6) Calcolate il limite lim. x + x a7) Dite per quali valori di α R risulta convergente la serie π n 4α+. a8) Determinate l equazione della retta tangente al grafico di F (x) = punto di coordinata x =. x (3 t )e t dt nel a9) Determinate (cos(x + 1) x 1 + x ) dx. a1) Dite per quali valori di α R è convergente l integrale 6 + cos x dx. (x ) 3α

6 b1) i) Studiate (dominio, segno, comportamento agli estremi del dominio, asintoti, continuità, derivabilità/punti di non derivabilità, punti critici e loro natura) della funzione f(x) = x + x x + 1. Tracciate un grafico qualitativo della funzione f. ii) (facoltativo) Studiate poi brevemente (sfruttando il punto i)) la funzione g(x) = log(f(x)) e tracciatene un grafico qualitativo. b) Determinate il seguente limite: (e x 1) log(1 + x lim x4 ) sin x 3 x + x 4. b3) Determinate l insieme di convergenza della seguente serie n 1 n e n (x 3 1) n. b4) Sia f(x) = x sin x + 1 x + 1. i) Determinate la primitiva F di f su ] 1, + [ passante per l origine. ii) Calcolate π f(x) dx. b5) Determinate per quali β R converge l integrale improprio + x 1 x 1 x β arctan x dx. b6) i) Sia f : R R e x R. f si dice continua in x se... ii) Scrivete l enunciato e la dimostrazione del Teorema della media integrale.