e 2x2 1 (x 2 + 2x 2) ln x

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1 Corso di laurea in Ingegneria delle Costruzioni A.A Analisi Matematica - Esercitazione del Ripasso di alcuni argomenti in programma Gli esercizi sono divisi in più pagine, per separare gli argomenti generali. Se non capite qualche domanda, o se non sapete rispondere, prima di tutto consultate il libro. Se avrete consultato il libro senza aver trovato aiuto, consultate me. Esercizio 1. Rappresentiamo un arbitrario numero complesso z, diverso da 0, sul piano complesso. In termini di questa rappresentazione, (1) cosa sono il modulo e l argomento di z? (2) cos è z? (3) come si ottiene la potenza n-esima di z, per qualunque intero n strettamente positivo? (4) cosa sono le (due!) radici quadrate di z? (5) se z = ρ e i θ, cosa sono ρ e θ? (6) che differenza c è tra la scrittura ρ e i θ e la scrittura ρ(cos θ + i sen θ)? (7) se z è il numero complesso non nullo ρ e i θ, come si calcola il prodotto z z, in forma trigonometrica? E qual è la sua rappresentazione sul piano complesso?

2 Esercizio 2. Spiegare perché il seguente ite non esiste: x 1 e 2x2 1 (x 2 + 2x 2) ln x Esercizio 3. (1) Dare la definizione corretta di la funzione f(x) ha ordine di infinito superiore, rispetto alla funzione g(x), per x tendente ad a. (2) Enunciare il teorema della gerarchia degli infiniti per funzioni potenza, esponenziali e logaritmo, per x +, e spiegare come si usa per calcolare x 3x x x 3x ln x + 3 x. (3) Dare la definizione corretta di la funzione f(x) ha ordine di infinitesimo superiore, rispetto alla funzione g(x), per x tendente ad a. (4) Quale tra le funzioni e x e 1, con n intero strettamente positivo, ha ordine di infinitesimo xn superiore, per x? (5) Calcolare (scrivendo tutti i calcoli e i teoremi usati) x ln x; ln x 1 ; ln x + 1 ; x 0 + x 0 + x x 0 + x x + x3 e x ; x ex x 3. Esercizio 4. Utilizzando i iti notevoli studiati, calcolare i seguenti iti ln(1 + x) x 0 1 e ; ln(1 x) x x 0 sen x ; (1 + x) 1 ln(1 + x)(cos x 1) x ;. x 0 x 0 x tg 2 x Esercizio 5. (1) Enunciare le regole di de L Hôpital per il calcolo dei iti. (2) Risolvere i seguenti iti, trasformando le eventuali forme indeterminate in forme indeterminate trattabili con le regole di de L Hôpital: x 0 + x e 1 x ; x e 1 x ; x 0 x + x2 ln x; x + x2 log 1 x; x2 ln x. 2 x 0 + Esercizio 6. Calcolare tutti gli asintoti delle seguenti funzioni: x 2 3 2x x 3 ; 2x x 3 x 2 3 ; xe x3 ; ln(4 x 2 ); x ln x; e 1 1 x ; xe x.

3 Esercizio 7. (1) Dare la definizione di immagine di una funzione. Precisare la differenza tra codominio e immagine. (2) Completare la seguente affermazione: l immagine di una funzione reale di una variabile è la proiezione del suo grafico su ; invece, il suo dominio è la proiezione del suo grafico su ; Esercizio 8. Dare la definizione di funzione iniettiva e completare le seguenti affermazioni: una curva del piano è il grafico di una funzione reale di una variabile se e solo se ogni retta la interseca in al massimo un punto. una funzione reale di una variabile è iniettiva se e solo se ogni retta interseca il suo grafico in al massimo un punto. Esercizio 9. Dare le definizioni di: funzione monotona; funzione strettamente monotona (dare anche le definizioni specifiche dei due casi crescente e decrescente). (1) È vero che una funzione strettamente monotona è anche iniettiva? (2) È vero che una funzione iniettiva è strettamente monotona? (3) Sotto opportune ipotesi, una funzione reale di una variabile, se è iniettiva è anche strettamente monotona. Fornire delle ipotesi sufficienti. Esercizio 10. Enunciare il teorema degli zeri e dei valori intermedi per funzioni continue su un intervallo. Esercizio 11. Fare uno studio qualitativo delle seguenti funzioni, determinando per ciascuna di esse: - l insieme di definizione, - il segno, - i iti agli estremi dei massimi intervalli di definizione, - gli intervalli di monotonia, - gli estremi superiore e inferiore, specificando se sono o no anche il massimo e il minimo assoluti, - l immagine, - un grafico approssimativo. 2 1 x 2 ; 5 log2 x; 6 log2 x; 1 3x x2 ; 1 x 2 4x + 1 ; ex3 ; e x4. Esercizio 12. Stabilire quali delle funzioni dell esercizio precedente sono iniettive. Per quelle iniettive determinare l inversa, specificandone dominio e immagine. Per quelle non iniettive, determinare le massime restrizioni iniettive. Esercizio 13. Usando i risultati dell esercizio 9, disegnare un grafico approssimativo delle funzioni 5 log 2 (x + 2); log 2 (x + 2) ; log2 ( x); log2 x 3 ; e (x+1)4 2.

4 Esercizio 14. (1) Enunciare il teorema di Weierstrass sulle funzioni continue su un compatto. (2) Enunciare il teorema di Fermat sui punti di estremo locale di una funzione derivabile. (3) Spiegare perché una funzione derivabile su un intervallo chiuso ha sicuramente massimo e minimo assoluti su tale intervallo, e perché questi massimo e minimo sono raggiunti o in punti estremi dell intervallo, o in punti interni critici (cioè in cui si annulla la derivata). Esercizio 15. Enunciare il teorema sulla relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Esercizio 16. (1) Determinare gli estremi relativi e assoluti della funzione f(x) = (1 2x)e x2 +x sull intervallo [ 1, 2]. 2 (2) Determinare gli estremi relativi e gli estremi superiore e inferiore, della stessa funzione, sull intervallo (, 0]. Specificare se gli estremi superiore e inferiore sono o non sono anche massimo e minimo assoluti. Esercizio 17. (1) Scrivere l equazione della retta passante per due punti del piano dati (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ). Scrivere, in particolare, il coefficiente angolare di tale retta. (2) Dare la definizione di derivata di una funzione in un punto e spiegarne il significato geometrico. (3) Enunciare i teoremi di Rolle e di Lagrange sulle funzioni derivabili su un intervallo itato, spiegarne il significato geometrico e illustrarlo con un disegno. Esercizio 18. Scrivere l equazione della retta tangente alla funzione nel punto di coordinate (0, f(0)). f(x) = (1 2x)e x2 +x + 2 x 2 + 1

5 Esercizio 19. (1) Dare la definizione di funzione convessa su un intervallo. (2) Sotto opportune ipotesi, una funzione convessa su un intervallo è anche continua. Fornire delle ipotesi sufficienti. (3) Se la funzione f(x) è convessa e derivabile sull intervallo I, cosa possiamo dire sulle tangenti al grafico di f(x) (sul dominio I)? (4) Se la funzione f(x) è convessa e derivabile sull intervallo I, cosa possiamo dire sull andamento della sua derivata (sul dominio I)? (5) Enunciare il teorema che esprime la relazione tra il segno della derivata seconda e la convessità di una funzione. (6) Dare la definizione di punto di flesso. Esercizio 20. Studiare completamente le seguenti funzioni: ( ) 1 x x 2 4x 5 ; x 2 + 4x 5 x + 1 ; (2 x 2 )e x ; ln ; x x e x e x 1. Esercizio 21. Scrivere esplicitamente le seguenti sommatorie e, nei casi in cui in esse non compaiono indeterminate, calcolarle: 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 n!(n 2) 2 ; 2 n ; x n n n n=0 n=1 n=1 Esercizio 22. Definire il polinomio di Taylor di ordine n di una funzione reale di una variabile e enunciare le sue proprietà principali. Esercizio 23. Scrivere il polinomio di Mc Laurin di ordine 4 delle funzioni e x e ln(1 + x).

6 Esercizio 24. (1) Dare la definizione di serie geometrica. (2) Enunciare i principali risultati sul comportamento e sul valore del ite, quando esiste, delle serie geometriche. (3) Fornire un esempio di ognuna delle situazioni possibili. Esercizio 25. (1) Dare la definizione di serie armonica e serie armonica generalizzata. (2) Enunciare i principali risultati sul comportamento delle serie armoniche (generalizzate). Esercizio 26. Uno dei risultati di base sulle serie è il seguente: se la serie a n è convergente, n=n 0 allora la successione a n è infinitesima. Inoltre, è ben noto che il viceversa non vale, cioè: può accadere che a n non converga, n=n 0 anche se a n = 0. Fornire un esempio di questa situazione. n Esercizio 27. (1) Dare la definizione di serie assolutamente convergente. (2) Dire quali sono le implicazioni reciproche tra la convergenza assoluta e la convergenza di una serie. Esercizio 28. (1) Enunciare il Teorema di Leibniz sulla convergenza di una serie a segni alterni. (2) Fornire un esempio di una serie che, per il Teorema di Leibniz, è convergente. Esercizio 29. (1) Enunciare i criteri del confronto asintotico, della radice e del rapporto per lo studio del comportamento di una serie a termini positivi. (2) Per ognuno di questi criteri, fornire un esempio di utilizzo. NB: Fornire un esempio, vuol dire scrivere una serie numerica, scelta da voi, corrispondente alle richieste.