Esame di Matematica ed Elementi di Statistica A.A. 2017/18 - prof. L. Pisani. Appello dell 8 febbraio 2018

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1 C.d.L. in Biotecnologie I.A.A. Esame di Matematica ed Elementi di Statistica A.A. 207/8 - prof. L. Pisani L esame si svolge in forma scritta. Struttura della prova d esame 3 o 4 esercizi (tratti dall elenco pubblicato) 3 o 4 domande di teoria 2 o 3 domande di statistica per un totale di 9 o 0 domande. Appello dell 8 febbraio 208. Enunciare il Teorema di de L Hospital e calcolare il seguente limite 2 x 2 2 cos x lim x!0 x 4 : 2. Calcolare gli intervalli in cui la funzione f(x) = log( + x 2 ) è convessa e i suoi eventuali punti di esso. 3. Calcolare il seguente integrale x 2 2 x3 + dx: 4. Studiare la convergenza della seguente serie numerica e calcolarne la somma. n(n + 2) 5. De nizione di successione convergente e Teorema di confronto. 6. De nizione di punto di minimo (assoluto e relativo). Teorema di Fermat. (5 punti) 7. De nizione di media integrale e relativo Teorema.

2 f6:89; :73; :86; 6:73; :23; :7; 8:29; :80; 5:60; 7:56; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8g calcolare la mediana e il 9 decile (ossia il 90 percentile). 9. Cosa vuol dire che la mediana è un indicatore più robusto della media? (2 punti) Appello del 22 febbraio 208. Enunciare il Teorema di de L Hospital e calcolare il seguente limite lim x! arccos x x : 2. Assegnata funzione f(x) = x 2 arctan x determinare punti di estremo e stabilire se si tratta di estremi assoluti o relativi. 3. Calcolare i seguenti integrali x log 2 x dx; 0 x log 2 x dx: 4. Studiare la convergenza della seguente serie numerica n=2 e calcolarne la somma. (2:5 ) 2n 5. De nizione di funzione continua e teorema di Weierstrass. 6. Teorema di Lagrange e sua interpretazione gra ca. (5 punti) 7. Formula fondamentale del Calcolo Integrale. (5 punti) f6:89; 4:73; 2:86; 4:73; :23; 3:7; 5:29; :80; 5:60; 7:56; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8g calcolare la distanza interquartile e stabilire se ci sono outlier. 9. De nizione e formula abbreviata per la deviazione standard. De nizione di campione normale

3 Appello del 9 marzo 208. Individuare gli intervalli in cui la funzione f(x) = log x2 x è convessa e i suoi eventuali punti di esso 2. Scrivere la linearizzazione della funzione p x nel punto x 0 = 49 e applicare la linearizzazione per il calcolo approssimato di p Calcolare i seguenti integrali x e x2 dx; + x e x2 dx: 4. Studiare la convergenza della seguente serie numerica e calcolarne la somma. (2 punti) n=2 ( 5) n 8 2n 5. De nizione di successione divergente. Di erenza con le successioni non limitate. 6. De nizione di funzione derivabile e Lemma di Rolle. 7. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. (5 punti) f6:89; 4:73; 2:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8g calcolare la media e la varianza. 9. Spiegare come si interpreta il seguente diagramma Appello del 27 aprile 208

4 . Calcolare il seguente limite (2 punti) lim x(2 arctan x ) x!+ 2. Dire se esistono massimi e minimi, relativi e/o assoluti, della funzione f(x) = x2 x : 3. Calcolare l area della regione delimitata dalle curve y = 4x x 2 +3 e y = (4 punti) 4. Studiare il comportamento della seguente serie numerica e calcolarne la somma n 2 n+2 5. De nizione di funzione continua e teorema degli zeri. (5 punti) 6. Teorema di Fermat. 7. De nizione di funzione integrabile secondo Riemann. f6:89; 4:73; 4:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06g calcolare la mediana e stabilire se ci sono outlier. 9. De nizione di campione normale Appello del 27 giugno 208. Calcolare il seguente limite (2 punti) lim x!+ x sin x 2. Studiare monotonia e convessità della funzione f(x) = (log x) 2 :

5 3. Calcolare il seguente integrale ds p 4 5s 4. Studiare il comportamento della seguente serie numerica e calcolarne la somma. n(n + 2) 5. De nizione di successione convergente e teorema di permanenza del segno. (5 punti) 6. Teorema di Fermat. 7. Formula fondamentale del Calcolo Integrale. f6:89; 4:73; 24:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06g calcolare la mediana e stabilire se ci sono outlier. 9. De nizione di deviazione standard Appello del 5 luglio 208. Studiare la funzione (dominio, positività, asintoti, monotonia, convessità) (6 punti) f(x) = x2 4 x + : 2. Calcolare il seguente integrale dx x Studiare il comportamento della seguente serie numerica e calcolarne la somma. k= 2 k+3 e k 3

6 4. De nizione di funzione continua e Teorema di Weierstrass. 5. De nizione e qualche proprietà della retta tangente. 6. De nizione (in breve) di integrale secondo Riemann e de nizione di media integrale. 7. Assegnata la seguente serie di dati f6:89; 4:73; 24:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 7:6; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06; 9:2; 2:9g calcolare la media e la deviazione standard 8. Che vuol dire che la mediana è più robusta della media? si può fare un esempio, modi cando un solo valore nella lista dell esercizio precedente? Appello del 9 luglio 208. Studiare la funzione (dominio, asintoti, monotonia, convessità, gra co approssimativo) f(x) = x3 3x 2 + x 3 : [NON è richiesto lo studio della positività] (6 punti) 2. Calcolare il seguente integrale e dx x p ln x 3. Studiare il comportamento della seguente serie numerica e calcolarne la somma. (3n 2)(3n + ) 4. De nizione di funzione continua e Teorema degli zeri. (5 punti) 5. De nizione dei polinomi di Taylor, di ordine, di ordine 2 e di un generico ordine n 6. Formula fondamentale del calcolo integrale. 7. Assegnata la seguente serie di dati f6:89; 4:73; 42:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 7:6; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06; 9:2; 2:9g calcolare la mediana, la di erenza interquartile e stabilire se ci sono outlier

7 8. Cosa vuol dire che un campione è normale? (2 punti) Appello del 6 settembre 208. Studiare la funzione (dominio, asintoti, monotonia, convessità, gra co approssimativo) f(x) = x 2 e x : (6 punti) 2. Calcolare il seguente integrale e dx x p ln x 3. Studiare il comportamento della seguente serie numerica (2 punti) 2 n + 4. De nizione di funzione continua ed esempio di funzione non continua (3 punti) 5. Teorema di Lagrange e sua interpretazione gra ca (5 punti) 6. Formula fondamentale del calcolo integrale. 7. Assegnata la seguente serie di dati f6:89; 4:73; 42:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 7:6; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06; 9:2; 2:9g calcolare la mediana, la di erenza interquartile e stabilire se ci sono outlier 8. Abbiamo una popolazione di 000 persone, 400 uomini e 600 donne; il 5% della popolazione totale non beve ca è, il 65% da a 2 ca è, la rimanenza più di 2 ca è al giorno. Supponendo che le due variabili (sesso e consumo di ca è) siano indipendenti, come si rappresentano queste informazioni in una tabella? (2 punti) Appello del 20 settembre 208

8 . Individuare gli intervalli di convessità/concavità della funzione f(x) = log( + x 2 ): 2. Scrivere la linearizzazione (ossia la retta tangente al gra co) della funzione =(x 2 + ) nel punto x = 2. (2 punti) 3. Calcolare il seguente integrale x (4x 2 + ) 5 4. Studiare il comportamento della seguente serie numerica n (n + 2) 5. De nizione di successione convergente e Teorema di confronto. 6. De nizione di funzione derivabile e Teorema di Rolle 7. De nizione di media integrale e relativo Teorema. f6:89; 4:73; 42:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 7:6; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06; 9:2; 2:9g calcolare la mediana, la media e la deviazione standard 9. Abbiamo una popolazione di 000 persone, 600 uomini e 400 donne; il 30% della popolazione totale ha la licenza media, il 50% ha un diploma di scuola superiore, la rimanenza è costituita da laureati. Supponendo che le due variabili, sesso e titolo di studio, siano indipendenti, come si rappresentano queste informazioni in una tabella? (tabella dei dati attesi, o previsti) (2 punti) A.A. 207/8 - Appello del 0 dicembre 208. Determinare punti di estremo relativo della funzione f(x) = x 3 3x + 2: e dire se si tratta di estremi assoluti.

9 2. Scrivere la linearizzazione (ossia la retta tangente al gra co) della funzione p x nel punto x 0 = 49 e applicare la linearizzazione per il calcolo approssimato di p Calcolare il seguente integrale dx x 3 + 9x 4. Studiare il comportamento della seguente serie numerica e calcolarne la somma. (2 punti) n=2 ( 5) n 8 2n 5. De nizione di successione divergente e Teorema di divergenza obbligata. 6. Teorema di Lagrange 7. Formula fondamentale del Calcolo integrale. f6:89; 4:73; 2:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 7:6; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06; 9:2; 2:9g calcolare la mediana, la media e la deviazione standard 9. Ripetere gli stessi calcoli dell esercizio precedente con la seguente serie di dati (identica alla precedente, tranne che per l ultimo valore) f6:89; 4:73; 2:86; 7:73; 9:23; :80; 5:60; 7:56; 6:56; 7:6; 8:40; 8:06; 0:4; 8:46; 7:23; 6:8; 7:93; 5:06; 9:2; 52:9g Cosa possiamo dedurre confrontando i risultati?