Matematica II prof. C.Mascia

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1 Corso di laurea in CHIMICA INDUSTRIALE Sapienza, Università di Roma Matematica II prof CMascia alcuni esercizi, parte, 7 marzo 25 Indice Testi degli esercizi 2 Svolgimento degli esercizi 4 Testi degli esercizi Dimostrare che la serie numerica è convergente e calcolarne la somma + 2) 2 Dimostrare che la serie 2 = è convergente e calcolarne la somma 3 Dimostrare la validità della formula 2 + )2 + 3) = 2 4 Calcolare la somma della serie 5 Studiare la convergenza della serie = 6 Calcolare la somma delle seguenti serie π, = ) , ) Dimostrare che, per ogni x, ), si ha x x +) = x, = utilizzando il fatto che la serie è telescopica 8 Dimostrare che, per ogni x, ), si ha x x +) = x, = utilizzando la formula per la somma della serie geometrica e la proprietà di linearità

2 2 9 Stabilire se la serie /2 è convergente e, in caso affermativo, calcolarne la somma 5 Calcolare il valore di =2 2 Dimostrare che, per ogni N N, vale la formula x = xn x 2 Dimostrare che le serie + 3, non sono convergenti = =N π e, = cos x < ), = e /2 3 Tra le serie numeriche ) +, = 2 + ), individuare quelle che verificano la condizione necessaria di convergenza = + arctan 2 ) 2 + arctan, 4 Dimostrare che le seguenti serie non sono convergenti ) + ) 4 2, arctan, ln , =3 5 Dimostrare la convergenza delle seguenti serie ) sin 2, sin = 6 Dimostrare che le serie , = = = ) e /, = ), = ! + + )! verificano la condizione necessaria di convergenza, ma sono divergenti Utilizzare il criterio di confronto per stabilire la convergenza, o la divergenza, delle seguenti serie + )!, , { )} + sin 8 Dopo aver dimostrato la validità della stima arctan x x per ogni x R, verificare la convergenza della serie arctan/ α ) per ogni α > = 9 Fornire una stima dall alto ed una dal basso della somma della serie = =

3 3 2 Dimostrare che, se f : [, +) [, +) è una funzione derivabile con derivata continua e tale che f) =, la serie f/2 ) è convergente 2 Dimostrare la convergenza delle seguenti serie , ) sin 3 + = 22 Dimostrare la divergenza delle seguenti serie 2 + ), = = = = + π Stabilire quale delle seguenti serie è divergente e quale è convergente , Usare il criterio del confronto asintotico per mostrare la convergenza delle serie e /, = = = = 25 Applicare il criterio del confronto asintotico alla serie ) 2 + sin per stabilire se si tratta di una serie convergente o di una serie divergente 26 Usare il criterio del rapporto per studiare la convergenza delle seguenti serie 2 2, 2! 27 Usare il criterio della radice per studiare la convergenza delle seguenti serie ln ), 3 /2 4 + = 28 Dato α >, studiare la convergenza della serie nα + n α ) n= 29 Calcolare le serie di Taylor delle funzioni seguenti centrate nel punto x = fx) = sin x + cos x, gx) = sin x + cos x) 2, hx) = 5 + x x 3 Calcolare le serie di Taylor delle funzioni seguenti centrate nel punto x = fx) = e +x2, gx) = sinx 2 ), hx) = x 9 x 2 3 Calcolare la serie di Taylor della funzione 3/ x) + 2x) centrata nel punto x = 32 Calcolare le serie di Taylor della funzione /x 2 + 3x + 2) centrata nel punto x = 4

4 4 33 Sia f C R) una funzione che verifica le condizioni f x) = fx) + e x x R e f) = Scrivere la serie di Taylor della funzione f in x = 34 Individuare il raggio di convergenza della serie di potenze! x 3) 35 Determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze seguenti x 2, x, x + 3) = = 36 Determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze: + = x, x, + = x Applicando la derivazione termine a termine, trovare le somme delle serie x, ) + x ) x 2+, 2 + = = 38 Applicando l integrazione termine a termine, trovare le somme delle serie + ) x, ) 2 + ) x 2, + ) + 2)x [Soluzione dell Esercizio ] A e B tali che L uguaglianza equivale a = 2 Svolgimento degli esercizi Ispirandosi al caso della serie di termine generico /+), cerchiamo + 2) = A + B + 2 A + 2) + B A + B) + 2A = = + 2) + 2) + 2) che è verificata se A + B) + 2A = per ogni, cioè se A = /2 e B = /2 Pertanto la serie in questione si riscrive come + 2) = 2 ) + 2 = Le somme parziali sono s = ) 2 3 s 2 = ) = 4 2 s n = 2 = ) n ) = 3 n n + ) n + 2

5 5 Dato che s 3 n = n + n n + ) = ) 3 n = 3 4, la serie è convergente e la sua somma è 3/4 [Soluzione dell Esercizio 2] L uguaglianza equivale a Dato che 2 = ) + ), cerchiamo A e B tali che 2 = A + B + A + ) + B ) A + B) + A B 2 = 2 = 2 che è verificata se A = /2 e B = /2 Pertanto la serie in questione si riscrive come 2 = 2 ) + Le somme parziali sono s n = n ) = n + 2 Dato che 3 2 n ) n + s 3 n = n + n n ) = ) 3 n = 3 4, la serie è convergente e la sua somma è 3/4 [Soluzione dell Esercizio 3] L identità equivale alla richiesta Prima di tutto, cerchiamo A e B tali che 2 + )2 + 3) = A B A2 + 3) + B2 + ) = = 2 + )2 + 3) 2 + )2 + 3) che risulta essere soddisfatta se e solo se 2A + B) + 3A + B, 2 + )2 + 3) A + B =, 3A + B = A = 2, B = 2 Di conseguenza, la successione delle somme parziali è data da n s n := 2 + )2 + 3) = n ) { = n } { n = n = ) 2 2n + 3 Passando al ite per n +, si ottiene la formula richiesta n+ 2 + = } 2 +

6 6 [Soluzione dell Esercizio 4] L identità equivale alla richiesta Dato che = + ) + 2), cerchiamo A e B tali che + ) + 2) = A + + B + 2 A + 2) + B + ) = = + ) + 2) + ) + 2) che risulta essere soddisfatta se e solo se A + B) + 2A + B, + ) + 2) A + B =, 2A + B = A =, B = Di conseguenza, la successione delle somme parziali è data da n n s n := = + ) + 2 = n n+ + + = n + 2 = Passando al ite per n +, si ottiene = [Soluzione dell Esercizio 5] Dato che si tratta di una serie telescopica, si hanno s = 2 4, e s 2 = 2 ) ) = e, in generale Quindi, si ha s n = 2 ) ) n ) 2 n+ = 2 2 n+ s n = n + n + La serie è convergente e la sua somma vale /2 2 2 n+ ) = 2 [Soluzione dell Esercizio 6] Si tratta di tre variazioni della usuale serie geometrica Per la prima serie si ha π = /π) = /π = π Per la seconda = = = = 3 ) / /3 = = 8 ) 2 3 [Soluzione dell Esercizio 7] Si tratta di una serie telescopica per cui si ha n s n = x x +) = x x 2 ) + x 2 x 3 ) + x 3 x 4 ) + + x n x n+ ) = x x n+ =

7 7 Passando al ite si trova x x +) = s n = x x n+ ) = x n + n + = dato che x n+ per n + [Soluzione dell Esercizio 8] La serie di termine generico x x + è convergente in quanto differenza di serie convergenti Inoltre, si ha x = x = x = x x, Perciò = = x + = x = x + x) = + x) x) + x) = = x2 x x x = x x +) = x x + = x x x2 x = x x2 x = x = [Soluzione dell Esercizio 9] Il termine generico della serie si riscrive nella forma /2 5 = /2 5 = /2 ) ) ) = = Le serie di termine generico 2/5) e 3/5) sono convergenti, quindi, per linearità, anche la serie in esame è convergente La somma è { /2 ) ) } = ) 2 ) 3 2 = 2 + = 5 5 2/5 + 3/5 = = 35 6 [Soluzione dell Esercizio ] Si tratta di una piccola modifica alla somma delle serie geometria usuale il cui indice parte da ) Infatti, scelto n 2, n n 2 s n = 2 = 2 +2 = n =2 Passando al ite per n +, si trova =3 2 = s n = n 2 n n + 2 = = 2 2 /2 = 2 = 248 [Soluzione dell Esercizio ] p > N e scelto j = N, Basta effettuare un cambio di indice nella sommatoria Infatti, fissato p x = =N p N j= p N x N+j = x N j= x j

8 8 Passando al ite p +, x = =N p + xn p N j= x j = x N j= x j = xn x [Soluzione dell Esercizio 2] Il termine generico di ciascuna delle quattro serie non verifica la condizione necessaria di convergenza cioè non è infinitesimo per +) Infatti ricordando che e < π, cos = e = ), =, π ) = +, + e cos =, + + e /2 = Di conseguenza, nessuna delle serie è convergente [Soluzione dell Esercizio 3] Per la prima serie si ha + = + ) = Dunque la condizione necessaria è soddisfatta, infatti ) + Per la seconda serie, vale + = = 2 + ) = In questo caso, la condizione necessaria non vale: 2 ) + = = = + + = = / 2 + / + = + Infine, la terza serie verifica la condizione necessaria, infatti, dato che la funzione arctan è itata, si hanno arctan 2 ) arctan + 2 = + 2 =, e, di conseguenza, + arctan 2 ) arctan = / + arctan 2 )/ 2 =, + + arctan / [Soluzione dell Esercizio 4] Nessuna delle serie verifica la condizione necessaria di convergenza Infatti, = = 4, ) ) + + arctan = arctan = arctan = π 4, ) ) ln = ln + = ln = = + 2

9 [Soluzione dell Esercizio 5] Per le prime due serie, ci si può avvalere della stima sin x x Nel primo caso, vale la disuguaglianza ) sin 2 2 ; per la seconda, vale la stima ) 2 sin = 2 2 In entrambi i casi, la convergenza è garantita dal principio di confronto e dal fatto che la serie armonica generalizzata di esponente α = 2 è convergente Infine, per la terza serie, basta osservare che = ) 2 3 e dedurre la convergenza dal confronto con la serie geometrica di ragione 2/3 [Soluzione dell Esercizio 6] La condizione necessaria è soddisfatta, dato che = = + 2 =, 2 e / ) = e =, ) )! +! + )! = + + )! + = + )! = + )! La divergenza delle tre serie segue dalle disuguaglianze = 2, e/,! + + )! = )! + e dal fatto che la serie armonica / è divergente 9 [Soluzione dell Esercizio 7] Per mostrare che la prima serie è convergente, basta notare che Di conseguenza, dato che + )! = = 2 + )! 2 e la serie è convergente Per la seconda serie, si può osservare che 2 < +, = 2 Dato che la serie armonica generalizzata di esponente 2 è convergente, anche la serie assegnata lo è Infine, dato che sin x per ogni x [, ], per la terza serie, vale la stima dal basso { )} + sin { + } = Dato che la serie armonica è divergente, anche la serie in questione lo è

10 [Soluzione dell Esercizio 8] Ne segue che Sia x Per il Teorema di Lagrange, esiste ξ [, x] tale che arctan x = arctan x arctan = x + ξ 2 arctan x x per ogni x Dato che arctan è non-negativa in [, +), la disuguaglianza proposta è valida per x Per x <, dato che la funzione arctan è dispari, vale arctan x = arctan x = arctan x) x = x, quindi la disuguaglianza è valida anche in questo caso Per la convergenza della serie, dato che questa è a termini positivi, è possibile applicare il principio di confronto osservando che, per α >, ) arctan α α La serie assegnata, di conseguenza, è convergente [Soluzione dell Esercizio 9] e = α < + Per la stima dall alto, basta utilizzare la disuguaglianza , da cui segue, grazie alla formula per la serie geometrica con indice iniziale pari a ) = = 2 ) = /2 /2 = Per la stima dal basso, occorre dimostrare preinarmente che Procediamo per induzione La disuguaglianza è vera per = Inoltre, assumendo che sia valida per, si deduce + ) 2 = = = 2 +2, che completa la dimostrazione della disuguaglianza Ne segue la stima = ) + = = = = La somma della serie è quindi compresa tra /4 e ) = 2 2 /4 /2 = 4 [Soluzione dell Esercizio 2] Il valore /2 è compreso tra e, quindi basta studiare la funzione f in tale intervallo Il Teorema di Weierstrass garantisce l esistenza del massimo M della funzione continua) f nell intervallo [, ] Quindi, applicando il Teorema di Lagrange, si ha fx) = fx) = fx) f) = f ξ) x M x = M x x [, ] Da tale disuguaglianza, ne segue f/2 M ) 2 < +

11 e, applicando il criterio di confronto, si deduce che la serie assegnata è convergente [Soluzione dell Esercizio 2] a termini positivi Per la prima serie, basta avvalersi del principio di confronto per serie ) 2 Dato che la serie geometrica di ragione /2 è convergente, anche la serie in esame lo è Anche per la seconda serie basta utilizzare il principio di confronto ) sin Il termine finale nella catena di disuguaglianze è il termine generico della serie armonica generalizzata con esponente α = 2, pertanto è sufficiente a garantire la convergenza [Soluzione dell Esercizio 22] In entrambi i casi è possibile usare il criterio del confronto asintotico Per la prima serie, dato che 2 + = 2 + ) ) = = , è ragionevole confrontare con la serie armonica 2 + = + / + Pertanto la serie è divergente Per la seconda serie, quando è grande si ha = + + π = 3 Confrontando con la serie armonica, si trova + /2 + = 2 + π)/ ) 2 + π = + / = + π = 3 Di conseguenza, anche la seconda serie è divergente La prima serie è divergente perché si comporta come la serie geome- [Soluzione dell Esercizio 23] trica di ragione 3/ )/2 + 3 ) /2) = = La seconda serie è convergente, perché si comporta come la serie armonica generalizzata di esponente α = 3/2 / 2 + = + / 3/ = = [Soluzione dell Esercizio 24] Per la prima serie, è ragionevole confrontare con la serie armonica generalizzata di esponente α = 2, infatti e / )/ e / + / 2 = = + /

12 2 Pertanto la serie è convergente Per la seconda serie, è naturale confrontare con la serie armonica generalizzata di esponente α = 3, infatti / / 3 = + che garantisce la convergenza = + 4 =, + 6 [Soluzione dell Esercizio 25] Dato che sin x/x per x, dal confronto seguente sin // 2 + ) ) 2 sin/) + / 2 = + 2 =, + / si deduce la convergenza della serie ricordando che la serie armonica generalizzata di esponente α = 2 è convergente) [Soluzione dell Esercizio 26] e dunque la serie è convergente Per la seconda, si ha a + = + a + Pertanto la serie è convergente [Soluzione dell Esercizio 27] Per la prima serie si ha a + + ) 2 2 = + a = )! + ) + 2! = + Per la prima serie si ha pertanto la serie è convergente Per la seconda + + a/ = =, + ln ) /2 3 / + a/ = ) = 3 / 4, e dunque, anche in questo caso, la serie è convergente [Soluzione dell Esercizio 28] Si ha ) 2 = 2 < 2 + ) = 2 + ) = 2 + e < nα + n α = nα + + n α nα + + n α n α + n α ) = nα + ) n α ) nα + + n α = 2 nα + + n α Quindi, confrontando con la serie di termine generico /n α/2, si trova nα + n α = n + /n α/2 n + = n + 2n α/2 nα + + n α Pertanto la serie è convergente se α > 2 e divergente altrimenti 2 + n α/2 + n α/2 =

13 3 [Soluzione dell Esercizio 29] Ricordando le serie di Taylor per le funzioni sin e cos, si deduce ) ) fx) = sin x + cos x = 2)! x )! x2+ Sviluppando il quadrato si trova Pertanto gx) = sin x + cos x) 2 = sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = + sin2x) Infine, per la funzione h, dato che si ha [Soluzione dell Esercizio 3] gx) = sin x + cos x) 2 = + hx) = 5 + x x 5 + x x = + 6 x, = ) 2 2+ x )! x = Ricordando gli sviluppi elementari, si deducono e fx) = e +x2 =! x2 gx) = sinx 2 ) = hx) = x 9 x 2 = avendo usato nell ultima funzione la decomposizione hx) = x 9 ) 2 + )! x4+2 x/3) x+ [Soluzione dell Esercizio 3] Cerchiamo valori A e B tali che 3 x) + 2x) = A x + B + 2x Si trovano le relazioni A + B = 3 e 2A B =, che forniscono i valori A = e B = 2 Pertanto, la serie richiesta è x + 2x) = + 2) ) x [Soluzione dell Esercizio 32] Posto y = x + 4, si ha x 2 + 3x + 2 = y 2 5y + 6 = y 2)y 3) Cerchiamo valori A e B tali che x 2 + 3x + 2 = A 2 y + B 3 y

14 4 Si trovano le relazioni A + B = e 3A + 2B =, che forniscono i valori A = e B = Pertanto x 2 + 3x + 2 = 2 y 3 y = 2 Di conseguenza, la serie richiesta è 2 2 y 3 3 y = y/2) ) 3 + y = ovvero, in termine della variabile originaria x, x + 4) y/3) y [Soluzione dell Esercizio 33] Derivando volte la relazione f = f + e x, si trova f +) x) = f ) x) + e x Pertanto, calcolando in x =, valgono le relazioni f) =, f ) = f) +, f ) = f ) +, f +) ) = f ) ) + Di conseguenza, si ha f ) ) = per ogni N La serie di Taylor della funzione è + )! x = [Soluzione dell Esercizio 34] Per il calcolo del raggio di convergenza R, basta utilizzare il criterio del rapporto applicato ai coefficienti a :=!/3) R = a + + )! 3) = + a ) + = + ) =! + 3 3e Il raggio di convergenza è 3e [Soluzione dell Esercizio 35] R = R = Utilizzando il criterio del rapporto, si trova a + /2 + + ) = + a + /2 = + a + / + ) + = + a + / = + R = a + + ) + = + a + = + Quindi i raggi di convergenza sono, rispettivamente, 2, + e + + ) = 2 + = + ) + ) = + [Soluzione dell Esercizio 36] Per la prime due serie è possibile applicare il criterio del rapporto, trovando R = a + + ) 3 = + a + + ) /) 3 / 3 + / 2 = + / 3 + /) 2 + / 2 =

15 R = a ) 2 = + a ) ) 2 /2 + 3 /3 = / ) 3 /3 = 2 3, quindi i raggi di convergenza sono, rispettivamente, e 3/2 Per la terza serie, si può, inizialmente porre y = x 2 e studiare la serie di potenze + = y 2 In questo caso, il raggio di convergenza è dato dal criterio del rapporto R = a + = + a ) 2 = + + /) 2 = In termini di x, la condizione y < si traduce in x <, quindi il raggio di convergenza è R = [Soluzione dell Esercizio 37] Sia = fx) := Derivando termine a termine, si trova f x x) := = x = x = x Dato che f) =, la funzione f si ottiene per integrazione di / x) Analogamente, sia fx) = f) + = = f t) dt = gx) := = x ) = = dt = ln x) t Derivando termine a termine, si trova g ) x) := x = ) x = x) = + x Dato che g) =, la funzione g si ottiene per integrazione di / + x) Infine, posto gx) = g) + hx) := g t) dt = x ) 2 + x2+ dt = ln + x) + t Derivando termine a termine, si trova h ) 2 + ) x) := x 2 = x 2 ) = x 2 Dato che h) =, la funzione h si ottiene per integrazione di / + x 2 ) hx) = h) + h t) dt = dt = arctan x + t2 5

16 6 [Soluzione dell Esercizio 38] si ha Perciò, si deduce ft) dt = Analogamente, per si ha gt) dt = = x x Posto fx) := + ) x { } + ) x dx = + ) x+ + = x + = fx) = d ) x = dx x x) 2 gx) := ) 2 + ) x 2 = { } ) 2 + ) x 2 dx = ) x 2+ = x x 2 ) = x + x 2 Perciò, si ha gx) = d ) x dx + x 2 = x2 + x 2 ) 2 Infine, integrando in [, x] la funzione hx) := + ) + 2)x, si trovano Pertanto Hx) := ht) dt = hx) = H x) = d dx = + 2)x + e = Hx) = d x 3 dx x 3x 2 2x 3 ) x) 2 = =3 x Ht) dt = x +2 = x = x3 x ) = 3x2 x) + x 3 x) 2 = 3x2 2x 3 x) 2 = 6x x)3 + 23x 2 2x 3 ) x) x) 4 = 2x + x x2 ) x) 3