MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno FILA A

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1 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli. 1. Eseguire i seguenti calcoli (motivando brevemente la risposta): e log x2 =...; log e x2 = Risolvere la seguente disequazione 2x 2 + 4x 6 x Si calcoli il valore che deve assumere a affinché la retta di equazione y = a 1 x+a sia parallela alla retta di equazione y = 3x e si disegni il grafico delle due rette nello stesso piano cartesiano. 1

2 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 15 punti) La funzione costo totale per stampare foto digitali è C(x) = x + 0.2x 2, con 0 < x 100, dove x è il numero di foto digitali stampate. (a) Si calcoli la funzione costo medio unitario C(x) = C(x) x ; (b) Si determini il punto di minimo della funzione costo medio (arrotondando il risultato all unità) e il costo medio minimo; (c) Si disegni il grafico della funzione costo medio. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (d) Supponendo che una data matrice A sia invertibile, mostrare (in dettaglio) i passaggi che consentono di esplicitare il vettore X nell equazione matriciale AX + B = C. Specificare anche quale dimensione devono avere la matrice A e i vettori X, B e C affinché le operazioni descritte nei suddetti passaggi siano definite. (e) Data la funzione di due variabili f(x, y) = e 2x+3y. prime, le derivate parziali seconde pure e miste. Calcolare le derivate parziali (f) Dare la definizione di antiderivata (o primitiva) di una funzione e argomentare la seguente affermazione: se una funzione ammette un antiderivata ne ammette infinite. Infine, enunciare la formula d integrazione per parti. 2

3 SVOLGIMENTO 1. Nel primo caso si ottiene e log x2 = x 2 per x 0, poiché il logaritmo è definito solo per numeri positivi ed il logaritmo e la funzione esponenziale sono l una l inversa dell altra. Nel secondo caso si ha log e x2 = x 2 per ogni x reale, poiché il logaritmo e la funzione esponenziale sono l una l inversa dell altra. 2. Il numeratore può essere fattorizzato come 2(x 1)(x + 3). Per la regola dei segni si ha: S = [ 3, 0[ [1, + ). 3. Affinché le due rette siano parallele, deve essere a 1 = 3. Risolvendo questa equazione, si ottiene a = 10 e quindi la retta corrispondente è y = 3x Problema (a) La funzione costo medio è C(x) = 90 x x, con 0 < x 100. (b) Per trovare il punto di minimo di C, calcolo C (x) = 90 x Si ha: C (x) = 0 se x = 450 = (x = 450 eventuale punto di minimo relativo). Inoltre, poiché C (x) > 0 (costo medio crescente) se 450 < x < 100 e C (x) < 0 (costo medio decrescente) se 0 < x < 450, si ha che x = è punto di minimo del costo medio. Il minimo costo medio vale C(21) = euro. (c) Agli estremi del dominio il costo medio vale lim x 0 + C(x) = + e C(100) = Il grafico è il seguente: Quesiti (d) Passaggi: AX + B = C AX = C B A 1 AX = A 1 (C B) IX = A 1 (C B) X = A 1 (C B); A deve avere dimensione n n e B e C devono avere dimensione n 1. Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par (e) Derivate parziali prime: f x(x, y) = 2e 2x+3y, f y(x, y) = 3e 2x+3y. Derivate parziali seconde pure: f xx(x, y) = 4e 2x+3y, f yy(x, y) = 9e 2x+3y. Derivate parziali seconde miste: f xy(x, y) = f yx(x, y) = 6e 2x+3y. (f) Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par. 9.1 e

4 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno FILA B Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli. 1. Eseguire i seguenti calcoli (motivando brevemente la risposta): e log x =...; log e x = Risolvere la seguente disequazione x 2 + 2x 3 x Si calcoli il valore che deve assumere a affinché la retta di equazione y = 1 a 2 x + a sia parallela alla retta di equazione y = x e si disegni il grafico delle due rette nello stesso piano cartesiano. 4

5 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 15 punti) La funzione costo totale per stampare foto digitali è C(x) = x + 0.1x 2, con 0 < x 100, dove x è il numero di foto digitali stampate. (a) Si calcoli la funzione costo medio unitario C(x) = C(x) x ; (b) Si determini il punto di minimo della funzione costo medio (arrotondando il risultato all unità) e il costo medio minimo; (c) Si disegni il grafico della funzione costo medio. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (d) Supponendo che una data matrice A sia invertibile, mostrare (in dettaglio) i passaggi che consentono di esplicitare il vettore X nell equazione matriciale AX + B = C. Specificare anche quale dimensione devono avere la matrice A e i vettori X, B e C affinché le operazioni descritte nei suddetti passaggi siano definite. (e) Data la funzione di due variabili f(x, y) = e 3x+2y. prime, le derivate parziali seconde pure e miste. Calcolare le derivate parziali (f) Dare la definizione di antiderivata (o primitiva) di una funzione e argomentare la seguente affermazione: se una funzione ammette un antiderivata ne ammette infinite. Infine, enunciare la formula d integrazione per parti. 5

6 SVOLGIMENTO 1. Nel primo caso si ottiene e log x = x per x > 0, poiché il logaritmo è definito solo per numeri positivi ed il logaritmo e la funzione esponenziale sono l una l inversa dell altra. Nel secondo caso si ha log e x = x per ogni x 0, poiché il logaritmo e la funzione esponenziale sono l una l inversa dell altra. 2. Il numeratore può essere fattorizzato come (x 1)(x + 3). Per la regola dei segni si ha: S =], 3] ]0, 1] Affinché le due rette siano parallele, deve essere a 2 = 1. Risolvendo questa equazione, si ottiene a = 3 e quindi la retta corrispondente è y = x + 3. Problema (a) La funzione costo medio è C(x) = 100 x x, con 0 < x 100. (b) Per trovare il punto di minimo di C, calcolo C (x) = 100 x Si ha: C (x) = 0 se x = 1000 = (x = 1000 eventuale punto di minimo relativo). Inoltre, poiché C (x) > 0 (costo medio crescente) se 1000 < x < 100 e C (x) < 0 (costo medio decrescente) se 0 < x < 1000, si ha che x = è punto di minimo del costo medio. Il minimo costo medio vale C(32) = euro. (c) Agli estremi del dominio il costo medio vale lim x 0 + grafico è il seguente: C(x) = + e C(100) = 61. Il Quesiti (d) Passaggi: AX + B = C AX = C B A 1 AX = A 1 (C B) IX = A 1 (C B) X = A 1 (C B); A deve avere dimensione n n e B e C devono avere dimensione n 1. Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par (e) Derivate parziali prime: f x(x, y) = 3e 3x+2y, f y(x, y) = 2e 3x+2y. Derivate parziali seconde pure: f xx(x, y) = 9e 3x+2y, f yy(x, y) = 4e 3x+2y. Derivate parziali seconde miste: f xy(x, y) = f yx(x, y) = 6e 3x+2y. (f) Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par. 9.1 e