Matematica - Prova d esame (25/06/2004)

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1 Matematica - Prova d esame (/6/4) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /4. (a) Disegnare sul piano di Gauss i numeri z = i e w = i, e scriverne la forma trigonometrica. Calcolare z + iw z + e z. Risolvere l equazione z z + =. (b ) Calcolare le radici quadrate e le radici quarte di w.. (a) Risolvere il seguente sistema lineare al variare di λ R, usando i metodi appresi a lezione (se non si sa trattare il caso generale, si consideri almeno il caso λ = ): { x + y z = x + y + λz =. (b) Nel piano cartesiano si considerino i due punti A(, ) e B(, ). Calcolare le forme parametriche e cartesiane della retta r passante per A e B, e della retta s passante per C(, ) e perpendicolare a r.. Tra tutte le scatole senza coperchio a forma di parallelepipedo a base quadrata di dato volume V, trovare il lato di base di quella che ha l area totale esterna minima. 4. Studiare la funzione f(x) = ex, tracciandone il grafico. x. (a) Calcolare gli integrali π (e cos x sin x + 4 x) dx e (x + ) log x dx. (b) Disegnare S = {(x, y) : x, x x+ y e x } sul piano cartesiano, e calcolarne l area. 6. Sia f(x, y) = x x y. Calcolare e disegnare il dominio di f, e le derivate parziali f e f y. Calcolare il differenziale di f e l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f nel punto A(, ). 7. (a) Si consideri l equazione differenziale (y )y x(y y+) =. Dire in quali zone del piano le soluzioni saranno crescenti. Determinare la soluzione y(x) con y() =. (b) Risolvere l equazione differenziale y + xy = x con condizione iniziale y() =.

2 Matematica - Prova d esame del /6/4 - Soluzioni. Vale z = i = ( i) = (cos 7π 4 + i sin 7π 4 ) e w = i = 4( i) = 4(cos 4π + i sin 4π z+iw ). Si ha poi z+ = +i i+ i = ( + i) +i = +i+4 + i i+ = +4 +( +)i e z = ( ) (cos π π 4 + i sin 4 ) = (cos π 4 + i sin π 4 ) = ( i. L equazione z z+ = ha soluzioni complesse coniugate z = ± 9 i) = = ± i. Dalla forma trigonometrica di w si ricava che le due radici quadrate sono ±(cos π + i sin π ) = ±( + i) e le quattro radici quarte sono w k = (cos( π + k π 4 ) + i sin( π + k π 4 )) (con k =,,, ).. (a) Il sistema si scrive nella forma A x = b con A = λ, x x y z A e b = la matrice completa è A b = che, ridotta col metodo di Gauss-Jordan, diventa λ λ. Si vede dunque che per ogni λ si ha rg A λ b = rg A =, ed il sistema sarà j x + y + λz = risolubile con un solo parametro libero: dal sistema semplificato si ricava y (λ + )z = infatti y = (λ + )z e x = y λz = + (λ + )z, da cui le soluzioni {( + (λ + )α, (λ + )α, α) : α R} = {(,, ) + α(λ +, (λ + ), ) : α R}. (b) Poiché r passa per A a = (, ) e B b = (, ), un vettore parallelo ad r è v = a b = (, ): dunque la forma parametrica di r è r = {(x, y) = (, ) + α(, ) : α R} = {(( + α, α) : α R}. Da x = + α si ha α = x x, e dunque y = α = : l equazione cartesiana di r è x + y =. La retta s passa per C c = (, ) ed un vettore parallelo ad s è w = (, ) (perpendicolare a r): procedendo come prima ricaviamo dunque l equazione parametrica s = {(x, y) = (, ) + α(, ) : α R} = {(( + α, + α) : α R} e cartesiana x y 7 =.. Sia x il lato di base: allora l altezza h deve soddisfare x h = V, da cui h = V x, e l area totale esterna è A(x) = x + 4hx = x + 4 V x. Si ha A (x) = x 4 V x, da cui A (x) per x V : pertanto A(x) decresce prima di x = V e cresce dopo. Dunque la scatola cercata ha il lato di base lungo V. 4. L andamento della funzione f(x) = ex x è mostrato nella figura qui a fianco. La funzione non è periodica, non ha parità, ed ha come dominio R \ {}; si ha lim x f(x) =, lim x f(x) = e lim x + f(x) = +. Si ha f(x) per ogni x, e f(x) > se e solo se x >. La funzione è di classe C nel suo dominio, ed è priva di asintoti lineari. La derivata risulta f (x) = x e x. Si ha f (x) = se e solo se x =, e f (x) > se e solo (x ) se x > : pertanto x = è un punto di minimo locale, con f() = e 7, 4. Derivando ulteriormente, a conti fatti si ottiene f (x) = x 4x+e x : (x ) il numeratore è sempre strettamente positivo, perciò la funzione è priva di flessi, strettamente concava per x < e strettamente convessa per x >.. (a) Posto t = cos t, vale (e cos x sin x + 4 x) dx = e cos x sin x dx + 4 x dx = e t dt + 4 x dx = e cos x + 8 x x + k, da cui π (ecos x sin x + 4 x) dx = [ e cos x + 8 x x] π = ( e + 8 π π) ( e) = e e + 8 π π 7,. Si ha poi (integrando per parti) (x + ) log x dx = [(x + x) log x] x +x x dx = 6 log x (x + ) dx = 6 log [ + x] = 6 log, 66. (b) S è la zona del piano cartesiano formata dai punti (x, y) della striscia verticale x :

3 che sono compresi tra il limite inferiore del grafico della funzione quadratica f(x) = x x+ (la parabola passante per (, ), (, ) e (, )), ed il limite superiore del grafico dell esponenziale g(x) = e x. Essendo g(x) f(x) se e solo se x, l area di S vale ex dx + [e x ] [ x x + x] = e ( ) = e 4, 8. x x+ dx = 6. Il dominio di f(x, y) = x x y è {(x, y) R : x x y }: sul piano cartesiano, si tratta dei punti che stanno sotto la parabola (compresa) y = x x. Le derivate parziali sono f = x e f x x y y =. Il punto A(, ) sta nel dominio di f, e vale x x y df (, ) (x, y) = f (, ) x + f y (, ) y = ( )x + ( )y = cartesiana del piano tangente al grafico di f in A è z = f(, )+ f ( )) = + ( )x + ( )(y + ) = (x + y), mentre l equazione (, ) (x )+ f y (x + y ), ovvero x + y + z =. (, ) (y 7. (a) Da y = x(y y+), le soluzioni dell equazione saranno strettamente crescenti per x(y )(y ) y y >, ovvero per < y < oppure y > (se x > ) e per y < oppure < y < (se x < ). Si noti che per x = si ha y () =, dunque da quanto appena detto ci si attende che x = sia un punto di massimo (se y() <, come nel nostro caso, oppure < y() < ) o di minimo (se < y() < oppure y() > ). cui y(x) = ± +8e x Separando le variabili si ha y y+ y = x; integrando tenendo conto della con- y y y+ dy = x t dt, da cui si ottiene [log y y + dizione iniziale, si ha y(x) y ] y(x) = [t ] x, ovvero log y y + log = x, da cui y y + = e x +log = e x, che dà (essendo y() y() + = > ) y y + = e x, da ; essendo y() =, la soluzione cercata è y(x) = +8e x. L andamento della soluzione è mostrato nella figura qui a fianco. (b) Si tratta di un equazione lineare del primo ordine in forma normale, che in generale si scrive y + p(x)y = q(x): se P (x) è una primitiva di p(x), la soluzione generale si scrive come y(x) = e P (x) ( e P (x) q(x) dx + k) per k R. Qui si ha p(x) = x (da cui P (x) = x ) e q(x) = x. Col cambio x = t si ha e P (x) q(x) dx = xe x dx = e t dt = ex, da cui y(x) = e x ( ex + k) = + ke x ; imponendo y() = si ottiene + k =, ovvero k =, da cui la soluzione cercata y(x) = ( + e x ).

4 Matematica - Prova d esame (/7/4) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /4. Disegnare sul piano di Gauss il numero z = + i, scriverne la forma trigonometrica, calcolare z e le radici quadrate di z. Calcolare il numero w tale che w i(w ) = i. Risolvere infine l equazione x x + x =.. (a) Risolvere il seguente sistema lineare al variare di λ R, usando i metodi appresi a lezione (se non si sa trattare il caso generale, si consideri almeno il caso λ = ): { x y + z = (λ + )x + y z = λ +. (b) Determinare la forma parametrica e cartesiana della retta r del piano cartesiano passante per il punto A(, ) e parallela al vettore v(, ). Calcolare la distanza del punto B(, ) da r.. Data la funzione g(x) = log( x + ), determinarne il dominio D ed i punti di D in cui il grafico di g ha pendenza Studiare la funzione f(x) = e x x x+, tracciandone il grafico (si può tralasciare lo studio della derivata seconda).. (a) Calcolare gli integrali (x x)e x dx e π (sin x)(log cos x) dx. (b) Disegnare S = {(x, y) : x 4, y, x 4x y e x } sul piano cartesiano, e calcolarne l area. 6. Sia f(x, y) = log(y x) x + y. Calcolare e disegnare il dominio di f, e le derivate parziali f e f y. Calcolare il differenziale di f e l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f nel punto A(, ). 7. (a) Si consideri l equazione differenziale x y e y (x ) =. Dire in quali zone del piano le soluzioni saranno crescenti. Determinare la soluzione y(x) con y() =. (b) Risolvere l equazione differenziale y y + y = e x con condizioni iniziali y() = e y () =. 4

5 Matematica - Prova d esame del /7/4 - Soluzioni. Si ha z = + 9 = da cui z = ( + i) = (cos π + i sin π ), da cui z = ( ) (cos π +i sin π ) = 4 e le radici quadrate ± (cos π +i sin π ). Se w = x+iy con x, y R, si ha w i(w ) = x+iy i(x iy) = x+iy ix+i y = (x y)+i(y x+), che è uguale a i se e solo se x y = e y x + =, ovvero x = y =, ovvero w =. Infine, da x x + x = x(x x + ) = si ricavano le soluzioni x = e x = ± = ± i.. (a) Il sistema si scrive nella forma A x = x b con A =, x y A e λ + z b = : la matrice completa è A λ + b = che, ridotta col metodo di λ + λ + Gauss-Jordan, diventa. Se λ = l ultima riga è nulla, da cui λ + 4 λ 4 λ rg A b = rg A =, ed il sistema sarà risolubile con = parametri liberi: infatti si ha la sola equazione x y +z =, da cui x = y z +, ovvero le soluzioni {(α β +, α, β) : α, β R}. Se invece λ si ha rg A b = rg A =, ed il sistema sarà ancora risolubile ma con solo = j x y + z = parametro libero: dal sistema semplificato si ricava infatti y = z y z = e x = y z + = z z + =, da cui le soluzioni {(, α, α) : α R}. (b) La forma parametrica di r è r = {(x, y) = (, ) + α(, ) : α R} = {(( + α, + α) : α R}. Da x = + α si ha α = x, e dunque y = + α = + x = x, da cui l equazione cartesiana x y =. La distanza di B(, ) da r è allora ( ) () = 7 () +( ).. Il dominio D di g è dato dal sistema formato dalle condizioni x (ovvero x ) e x + > (sempre vera se la radice esiste): dunque D = [, + [. La funzione è derivabile per ogni x >, dunque per l ultima domanda basta porne la derivata uguale a 4 : si ottiene insomma g (x) = x + x = 4. Posto t = x >, si ha t+ t = 4, ovvero t(t+) =, ovvero t + t =, da cui t = (impossibile) o t =. Abbiamo allora x =, da cui x =. (Volendo determinare l equazione della tangente al grafico di g in x =, essendo g() = log e g () = 4, si ha y log = 4 (x ), ovvero y = 4 x + log.) 4. L andamento della funzione f(x) = e x x x+ è mostrato nella figura qui a fianco. La funzione non è periodica, non ha parità, ed ha come dominio R\{ }; si ha lim x f(x) = + =, lim x f(x) = + =, lim x + f(x) = (+ )+ = e lim x + f(x) = (+ ) =. Si ha f(x) = se e solo se e x x x+ =, ovvero se e solo se x x x+ =, ovvero x = oppure x = ; e f(x) > se e solo se e x x x+ <, ovvero se e solo se x x x+ <, ovvero x <, oppure < x <. La funzione è di classe C nel suo dominio, ha un asintoto verticale destro in x =, ed un asintoto orizzontale sinistro (dal basso) in y = ; non ha asintoti obliqui e x x a destra. La derivata risulta f (x) = x +x (x+) x+ : si ha f (x) = se e solo se x +x =, ovvero x =, 4 e x = +, 4, e f (x) > se e solo se x + x <, ovvero per x < x < x (ma x ): ne ricaviamo che x = x (risp. x = x ) è un punto di minimo (risp. massimo) locale.. (a) Integrando due volte per parti si ha (x x)e x dx = (x x) ex (x ) ex dx =

6 [(x x)e x (x )e x dx] = [(x x)e x (x ) ex + ex dx] = [(x x)e x (x ) ex + ex ] + c = 4 ex (x 6x x + + ) + c = (x 4x + )e x + c, e dunque (x x)e x dx = [ (x 4x+)e x ] = ( 4+)e = e 4, 6. Quanto all altro integrale, posto t = cos x si ottiene π (sin x)(log cos x) dx = π (sin x cos x)(log cos x) dx = t log t( dt) = t log t dt = [( t log t) = 4 log ( 4 ) = 4 log 8 = 8 ( t ) t t dt] = (t log t) ( log ),. t dt = (t log t) (b) S è la zona del piano cartesiano formata dai punti (x, y) del rettangolo [, 4] [, ] compresi tra i grafici di α(x) = x 4x (parabola con concavità rivolta verso l alto) al di sotto e di β(x) = e x (esponenziale decrescente) al di sopra. Per x 4 la parabola giace sotto l asse x, e l esponenziale, ovviamente, sopra; inoltre la parabola sta sopra la retta y = per x < oppure per x >. L area di S vale allora 4 e x dx + 4 (x 4x) dx + ( ) dx = [ e x ] 4 x +[ x ] 4 +[ x] = (e e )+(9 8) ( 64 ) ( ) = + 7, 8. e e 6. Il dominio di f(x, y) = log(y x) x + y è {(x, y) R : y > x, y x}: sul piano cartesiano, si tratta dei punti che stanno sopra entrambe le rette y = x e y = x, esclusi quelli di y = x. Le derivate parziali sono f = y x x+y e f = y x. Il punto A(, ) x+y sta nel dominio di f, e vale df (,) (x, y) = f f (, ) x + y (, ) y = ( 9 4 )x + ( 4 )y = 4 ( x + y), mentre l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f in A è z = f(, ) + f (, ) (x )+ f y (, ) (y ) = +( 9 4 )(x )+( 4 )(y ) = 9 4 x+ 4y, ovvero 9x y +4z +8 =. 7. (a) Se x, da y = x e y, le soluzioni y(x) dell equazione soddisferanno y (x) = se e x solo se x = ±, e saranno strettamente crescenti (risp. strettamente decrescenti) per y (x) >, ovvero per x < oppure x > (risp. per y (x) <, ovvero per < x < oppure < x < ). Ne possiamo già dedurre che, per la soluzione che stiamo cercando (quella con y() = ) il punto x = sarà di minimo locale stretto. ], + Separando le variabili si ha e y y = ; integrando si ottiene e y = x+ x x +c, e tenendo conto della condizione iniziale y() = si ha = + + c da cui c =. Si ha allora e y = x + x, da cui e y = x x = x x ( ) x, ovvero e y x = x x, da cui y = log x, soluzione definita nell intorno x x [ di x =. L andamento della soluzione è mostrato nella figura qui a fianco. (b) Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L equazione caratteristica à α α + =, da cui α = ± i: pertanto, la soluzione generale dell equazione omogenea associata y y + y = è data da y(x) = Ae x cos x + Be x sin x = e x (A cos x + B sin x) per A, B R. Poiché non risolve l equazione caratteristica, una soluzione particolare dell equazione differenziale completa avrà la forma ỹ(x) = γe x per un opportuno γ R: essendo ỹ(x) = ỹ (x) = ỹ (x) = γe x, si ottiene dunque γe x γe x + γe x = e x per ogni x, da cui 4γ =, ovvero γ = 4. Dunque la soluzione generale dell equazione completa è y(x) = ex (A cos x + B sin x) + 4 ex = e x (A cos x + B sin x + 4 ) con A, B R da determinare. Derivando, si ha allora y (x) = e x (A cos x + B sin x + 4 A sin x + B cos x) = ex ((A + B) cos x + (B A) sin x + 4 ); imponendo le condizioni iniziali, si ha y() = A + 4 = e y () = A + B + 4 =, ovvero A = 4 e B =. La soluzione cercata è pertanto y(x) = e x ( 4 cos x sin x+ 4 ) = 4 ex ( cos x 4 sin x+). 6