Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Ingegneria Canale SE-Z Prof.ssa Teresa D Aprile Analisi Matematica I Prova scritta del 19/07/2017

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Aureliano Fumagalli
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1 Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Ingegneria Canale SE-Z Profssa Teresa D Aprile Analisi Matematica I Prova scritta del 9/07/207 Cognome (in STAMPATELLO): Nome (in STAMPATELLO): Esercizio [5 punti] Calcolare lo sviluppo di McLaurin dell ordine n per la seguente funzione: + 2x arctan 2 x Svolgimento: Usiamo i seguenti sviluppi di Talor per 0: Si ha: Pertanto o( 2 ), arctan + o( ) + 2x + x 2 x2 + o(x 2 ), (arctan x) 2 x 2 2 x + o(x ) + 2x arctan 2 x x 2 2 x + x x 2 + o(x ) x 2 + x 7 6 x + o(x )

2 2 Esercizio 2 [6 punti] Stabilire per quali valori del parametro reale α la seguente funzione log( + x sin x) tan x x α se x (0, ) f(x) 0 se x 0 x α + e x se x < 0 è derivabile in (, ) Svolgimento: f è continua e derivabile in (, 0) e in (0, ) Poiché log( + ) + o(), sin + o(), tan + o() per 0, risulta Pertanto: lim 0 log(+) lim 0 tan log( + x sin x) tan x x + o(x ) per x 0 lim 0 sin si ha log( + x sin x) tan x x ( + o()) lim f(x) lim x 0 + x 0 + x α lim x 0 + x α lim x 0 + D altra parte ( ) lim f(x) lim ( x) α + e x lim x 0 x 0 x 0 xα + { + o() + se α > x α 0 se α 0 se α > 0 se α 0 + se α < 0 Pertanto f è continua in 0 se e solo se 0 < α Passiamo ora a calcolare la derivata destra e sinistra in 0 per 0 < α f(x) lim x 0 + x lim x { ( + o()) x 0 + x α+ lim + o() + se α > 2 x 0 + x α 2 0 se α 2 f(x) lim x 0 x lim ( x) α + e 0 se α > x lim x 0 x x 0 xα se α se α < Concludiamo che f è derivabile in 0 se e solo se < α 2

3 Esercizio [8 punti] Tracciare il grafico della funzione f (x) sin x 2 + cos x specificando: dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, intervalli di concavita /convessita, eventuali punti di massimo/minimo relativo, eventuali punti di non derivabilita, eventuali flessi Svolgimento: Dominio: R f e 2-periodica Essendo f (x) f ( x), f risulta pari Pertanto e sufficiente studiarne l andamento per x [0, ] f (x) 0 x [0, ], Per x (0, 2 ): f 0 (x) parita, f 0 (0) cos x(2+cos x)+sin2 x (2+cos x)2 f (0) f () 0 2 cos x+, (2+cos x)2 quindi f e crescente Inoltre f 0 ( 2 ), f+0 (0) 2 cos x, (2 cos x)2 quindi f e decrescente Inoltre f+0 ( 2 ), f 0 () e, per x 0 punto angoloso di minimo relativo cos x(2 cos x) sin2 x (2 cos x)2 f 0 () Per x ( 2, ): f 0 (x) e, per periodicita, x 2 punto angoloso di massimo relativo x punto angoloso di minimo relativo cos x Per x [0, 2 ): f 00 (x) 2 sin x (2+cos, quindi f e concava x) cos x Per x ( 2, ]: f 00 (x) 2 sin x (2 cos, quindi f e concava x)

4 Esercizio [6 punti] Determinare per quali valori del parametro α R il seguente integrale improprio esiste finito: + ( ) sin dx 0 + x α + Svolgimento: Se α 0 risulta f sin + per x +, pertanto, poiché x o( ) per x +, f non è integrabile Analizziamo il caso α > 0 Risulta f sin + per x 0+ Quindi, poiché o( x ɛ ) per x 0 + per ogni ɛ > 0, f è integrabile su (0, ) per ogni α > 0 f x α + x α 2 per x + quindi (ricordando che è integrabile in (2, + ) se e solo se β > oppure β, γ > ) si deduce che f x β log γ x è integrabile su (, + ) per α > 2 Pertanto f è integrabile su (0, + ) per α > 2

5 Scegliamo A(x) una primitiva di a(x) x 2 A(x) x 5 Esercizio 5 [6 punti] Risolvere il seguente problema di Cauch: x 2 e x x 2 + 2x + (0) Svolgimento: L equazione differenziale è lineare del primo ordine non omogenea della forma generale + a(x) g(x) Calcoliamo ora le primitive di b(x) g(x)e A(x) x 2 +2x+ x 2 + 2x + dx x 2 + x 2 + dx Scegliamo una primitiva B(x) di b(x) 6 arctan x c B(x) arctan x + (x + )2 + dx 6 Allora l insieme di tutte le soluzioni dell equazione differenziale è dato dalla famiglia ce x + e x arctan x + Imponendo la condizione iniziale (0) di Cauch è, si ottiene la costante c 6 Pertanto la soluzione del problema e x( arctan x + + ) 6

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