Esercizi sullo studio completo di una funzione

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1 Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a. ( ) i. Dominio: D: R Visto che è un polinomio ii. Simmetrie e Periodicità f f funzione iii. Positività 0 0 dispari < 0 < 0 ± iv. Intersezioni assi ± v. Asintoti verticali : non ci sono poiché il dominio è R; vi. Asintoti orizzontali : lim ± solo a per ragioni di simmetria vii. Asintoti obliqui non ci sono, infatti: lim viii. Monotonia, massimi e minimi 5 : La funzione è pari, ovvero simmetrica rispetto all asse delle ordinate se f ( ) f f f, mentre è dispari se. e la funzione è simmetrica rispetto all origine, mentre è periodica di periodo T se f f ( T ) Per trovare gli asintoti verticali dovremo calcolare il limite della funzione agli estremi del dominio in cui la funzione lim f, se il risultato non è definita. Supponendo che nel punto c la funzione non sia definita dovremo calcolare: è infinito allora la retta c sarà l asintoto verticale. E utile calcolare esattamente come la funzione arriva allinfinito calcolando sia il limite destro che il limite sinistro per trovare il segno dellinfinito, magari col teorema della permanenza del segno. Per trovare gli asintoti orizzontali si calcola il limite all infinito della funzione, e se si trova un valore finito: l lim f allora l sarà l asintoto orizzontale. Naturalmente per calcolare la posizione della funzione rispetto allasintoto, si fa l intersezione tra funzione e retta. Si procede al calcolo degli asintoti obliqui se f m lim f lim. L asintoto è una retta del tipo: m q dove è una quantità finita non nulla, e q [ f m ] lim una quantità finita. 5 Chiameremo punti angolosi quei punti di funzioni continue in cui la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra: cioè la tangente da destra è diversa dalla tangente da sinistra. Tra i punti angolosi distinguiamo le cuspidi ove le tangenti destre e sinistre hanno coefficiente angolare una più e laltra meno infinito. Per il calcolo della retta tangente, si utilizza la seguente regola: f ( 0 ) f ( 0 )( 0 ) c

2 ( )( 5 ) i. Concavità e flessi 6 : ( 5 ). Grafico della funzione b. i. Dominio: D: R { } Visto che è una funzione fratta ii. Simmetrie e Periodicità La funzione non ha particolari simmetrie, e non è periodica iii. Positività > 0 < > < 0 < < iv. Intersezioni assi 0 0 v. Asintoti verticali: lim m quindi - è asintoto verticale ± vi. Asintoti orizzontali: lim quindi è asintoto orizzontale ± vii. Asintoti obliqui non ci sono poiché ci sono quelli orizzontali 6 Il flesso è un punto dove la curva cambia di concavità. Possiamo distinguere fra flessi ascendenti (dove la funzione è crescente) e flessi discendenti (con funzione decrescente). Diremo che un flesso è orizzontale quando la tangente di flesso è orizzontale.

3 viii. Monotonia, massimi e minimi: ( ) i. Concavità e flessi: ( ). Grafico della funzione c. ( ) ( ) d. ( ) ( )

4 e. i. Dominio: D: R { ±} Visto che è una funzione fratta ii. Simmetrie e Periodicità f ( ) f la funzione é dispari iii. Positività > 0 < < 0 > < 0 < 0 < < iv. Intersezioni assi v. Asintoti verticali: lim quindi ± sono asintoti verticali ± ± vi. Asintoti orizzontali non ci sono lim poiché il grado del numeratore è maggiore del denominatore ± vii. Asintoti obliqui: m lim ± è l asintoto obliquo q lim 0 ± viii. Monotonia, massimi e minimi: ( )

5 i. Concavità e flessi: ( ) ( ). Grafico della funzione f. ( ) ( ) g. ( ) ( ) ( ) 5

6 6 h. 6 i. 5 6

7 7 j. 6 k. sin sin cos

8 l. e e e ( ) m. e sin ( 0) e ( cos sin ) e cos n. e e e ( ) ( ) 8

9 o. ln D: > 0 perché c è un logaritmo ed una fratta ln 6ln 5 p. ( ) 5 9