matematica per le quinte

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1 istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico

2 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun- ni dell Istituto professionale Versari-Macrelli di Cesena. Ringrazio innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per l Istituto professionale Versari-Macrelli Copright c 2015 [email protected] Il frontespizio riproduce la litografia Mano con sfera riflettente di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

3 I N D I C E 1 introduzione all analisi Classificazione Dominio Intersezioni con gli assi Segno Simmetrie Esercizi 23 2 iti Concetto di ite Calcolo dei iti Limiti di alcune funzioni elementari Algebra dei iti Forme di indecisione di funzioni algebriche Continuità Asintoti Grafico probabile di una funzione Esercizi 57 3 derivate Concetto di derivata Problema della retta tangente Derivata in un punto Continuità e derivabilità Funzione derivata Derivata seconda Derivate delle funzioni elementari Algebra delle derivate Linearità della derivata Derivata del prodotto di due funzioni Derivata del quoziente di due funzioni Derivata della potenza di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni convesse e concave. Flessi Esercizi 92 4 studio di funzione Esercizi 111

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5 1 I N T R O D U Z I O N E A L L A N A L I S I Definizione 1. Si chiama funzione reale di variabile reale una funzione f: A B in cui A e B sono sottoinsiemi dell insieme R. D ora in poi ci occuperemo solo di funzioni reali di variabile reale e intenderemo con funzione sempre una funzione reale di variabile reale. Durante il corso di matematica hai già incontrato alcune funzioni: le funzioni lineari = m + q le funzioni quadratiche = a 2 + b + c le funzioni potenza = n, con n intero 1 le funzioni esponenziali = a e logaritmiche = log a, con a > 0 e a classificazione Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono nell espressione f(). Definizione 2. Una funzione si dice algebrica se contiene soltanto (un numero finito di) operazioni di somma, sottrazione, prodotto, divisione ed estrazione di radice. Altrimenti si dice trascendente. Per esempio, sono funzioni algebriche: = = = 4 2 Sono funzioni trascendenti: = 2 = log = ln

6 2 introduzione all analisi Definizione 3. Tra le funzioni algebriche = f() si distinguono: le funzioni intere (o polinomiali), in cui f() è un polinomio le funzioni fratte, in cui f() è il quoziente di due polinomi le funzioni irrazionali, in cui la compare sotto il segno di radice Per esempio: = è una funzione intera = è una funzione fratta = 4 2 è una funzione irrazionale 1.2 dominio Quando si assegna l equazione che definisce una funzione reale di variabile reale senza specificarne il dominio, si sottintende che esso sia quello naturale. Definizione 4. Il dominio naturale (o insieme di definizione) di una funzione = f() è l insieme costituito dai valori reali di per cui tutte le operazioni che compaiono nell espressione f() hanno significato. Per determinare il dominio basta allora tener presenti le seguenti indicazioni: le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, mentre l operazione di divisione è definita purché il divisore sia diverso da zero una radice di indice pari è definita solo se il radicando è positivo o nullo, mentre una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando il logaritmo è definito se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1 l esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista l esponente

7 1.2 dominio 3 (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = 2 1 (f) = Figura 1: Dominio di alcune funzioni algebriche intere e fratte

8 4 introduzione all analisi Esercizio 1. Determina il dominio delle funzioni: = = 3 3 = Soluzione. Sono tre funzioni intere: il loro dominio è R (figure 1a, 1b e 1c). Esercizio 2. Determina il dominio della funzione = Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 1d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 3. Determina il dominio della funzione = 2 1. Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 1e. dom f = R \ { 1 } Esercizio 4. Determina il dominio della funzione = Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: da cui 1 1

9 1.2 dominio 5 Il dominio delle due funzioni è perciò Vedi la figura 1f. dom f = R \ { 1, 1 } Esercizio 5. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la funzione data è definita se e solo se: Risolviamo l equazione associata: da cui, uguagliando a zero i fattori: = 0 = ( 1)( 3) = 0 = 1 = 3 La parabola associata ha la concavità verso l alto (perché il coefficiente di 2 è positivo) e interseca l asse nei punti corrispondenti alle soluzioni dell equazione associata. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 1 3 In conclusione, il dominio della funzione è l insieme: Vedi la figura 2a. dom f = { 1 3 }

10 6 introduzione all analisi (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = log( + 2) (f) = log 2 4 Figura 2: Dominio di alcune funzioni irrazionali e trascendenti

11 1.2 dominio 7 Esercizio 6. Determina il dominio della funzione = 4 2. Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la funzione data è definita se e solo se: È una disequazione di secondo grado. Risolviamo l equazione associata: 4 2 = 0 = 2 = 4 = = ±2 La parabola associata volge la concavità verso il basso (perché il coefficiente di 2 nella disequazione è negativo) ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 2 2 In conclusione, il dominio della funzione è: Vedi la figura 2b. dom f = { 2 2 } Esercizio 7. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando, la funzione data è definita per ogni per cui ha senso l espressione 2 +, ovvero per ogni reale. Quindi: dom f = R Vedi la figura 2c. Esercizio 8. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché l esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista l esponente, la funzione è definita se e solo se è definita la frazione, il che accade se e solo se il suo denominatore è diverso da 0: = 1

12 8 introduzione all analisi Quindi il dominio della funzione è Vedi la figura 2d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 9. Determina il dominio della funzione = log( + 2). Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se + 2 > 0 = > 2 2 Quindi il dominio della funzione è Vedi la figura 2e. dom f = { > 2 } Esercizio 10. Determina il dominio della funzione = log 2 4. Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se 2 4 > 0 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Denominatore: 2 0 = = 4 4

13 1.3 intersezioni con gli assi 9 Costruiamo la tabella dei segni. N D F dom f + La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+). Quindi il dominio della funzione è l insieme: dom f = { 2 < < 4 } Vedi la figura 2f. 1.3 intersezioni con gli assi Dopo aver determinato il dominio di una funzione = f(), la seconda fase di uno studio elementare della funzione consiste nel determinare i suoi eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani. Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l asse si ottengono risolvendo l equazione f() = 0; le soluzioni di questa equazione si dicono zeri della funzione. L ordinata dell eventuale punto di intersezione con l asse si ottiene semplicemente calcolando f(0), ovvero ponendo = 0 nell espressione che definisce la funzione. Esercizio 11. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = ( 1)( 3) = 0 da cui = 1 = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti (1, 0) e (3, 0).

14 10 introduzione all analisi Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 3). Vedi la figura 3a. Esercizio 12. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 3 3. Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : 3 3 = 0 = ( 2 3) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: = = 0 da cui = 0 = ± 3 per cui il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 3, 0) (0, 0) ( 3, 0) Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 3b. Esercizio 13. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = 2 ( 2 2) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: 2 = = 0 da cui = 0 = ± 2 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 2, 0) (0, 0) ( 2, 0)

15 1.3 intersezioni con gli assi (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = 2 1 (f) = Figura 3: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni algebriche

16 12 introduzione all analisi Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 3c. Esercizio 14. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 2). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, = = 0 = = 2 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Ciò significa che il grafico della funzione interseca l asse nel punto (2, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 3d. Esercizio 15. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, 2 1 = 0 2 = 0 = = 0 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0).

17 1.4 segno 13 Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 3e. Esercizio 16. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 4). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, = = 0 = 2 = 4 = = ±2 valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: Troviamo le intersezioni con l asse. ( 2, 0) (2, 0) f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 3f. 1.4 segno Lo studio del segno di una funzione consiste nello stabilire per quali valori di risulta f() > 0, f() = 0 e f() < 0. Si conviene di risolvere la disequazione f() 0, che individua gli intervalli dove la funzione è positiva o nulla, ossia dove il suo grafico sta sopra l asse o lo interseca; la funzione sarà negativa ovunque essa non è positiva o nulla, nell ambito del suo dominio.

18 14 introduzione all analisi Esercizio 17. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (1, 0), (3, 0) e (0, 3) (vedi l esercizio 11). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Le soluzioni dell equazione associata = 0 sono = 1 e = 3 (vedi l esercizio 11). Disegniamo la parabola associata. 1 3 Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 3 è nulla se = 1 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 4a. Esercizio 18. Studia il segno della funzione = 3 3. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 3, 0), (0, 0) e ( 3, 0) (vedi l esercizio 12). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno di ciascun fattore = ( 2 3) 0 Primo fattore: 0 0

19 1.4 segno (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = 2 1 (f) = Figura 4: Segno di alcune funzioni algebriche

20 16 introduzione all analisi Secondo fattore: Le soluzioni dell equazione associata 2 3 = 0 sono = ± 3. Disegniamo la parabola associata. 3 3 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. F 1 F f + + Quindi la funzione: è positiva se 3 < < 0 > 3 è nulla se = 3 = 0 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 4b. Esercizio 19. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 2, 0), (0, 0) e ( 2, 0) (vedi l esercizio 13). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno di ciascun fattore = 2 ( 2 2) 0

21 1.4 segno 17 Primo fattore: 2 0 L unica soluzione dell equazione associata 2 = 0 è = 0. Disegniamo la parabola associata. 0 Secondo fattore: L equazione associata = 0 ha per soluzioni = ± 2. Disegniamo la parabola associata. 2 2 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. F 1 F f + + Quindi la funzione: è positiva se < 2 > 2 è nulla se = 2 = 0 = 2 è negativa altrimenti Vedi la figura 4c.

22 18 introduzione all analisi Esercizio 20. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 2) e il suo grafico interseca gli assi cartesiani nei punti (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 14). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: = 2 2 Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 2 è nulla se = 2 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 4d.

23 1.4 segno 19 Esercizio 21. Studia il segno della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l esercizio 15). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 2 0 L unica soluzione dell equazione associata 2 = 0 è = 0. 0 Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + Quindi la funzione: è positiva se > 1 è nulla se = 0 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 4e.

24 20 introduzione all analisi Esercizio 22. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 4) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 2, 0), (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 16). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = 2 = 4 = = ±2 Disegniamo la parabola associata. 2 2 Denominatore: Risolviamo l equazione associata: 2 1 = 0 = 2 = 1 = = ±1 Disegniamo la parabola associata. 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + +

25 1.5 simmetrie 21 Quindi la funzione: è positiva se < 2 1 < < 1 > 2 è nulla se = 2 = 2 non è definita se = 1 = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 4f. 1.5 simmetrie Il grafico di una funzione può presentare alcune particolari simmetrie: queste caratteristiche vengono formalizzate dalle definizioni di funzioni pari e dispari. Definizione 5. Una funzione si dice pari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Una funzione si dice dispari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine: vedi la figura 5. Esercizio 23. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 2 4( ) + 3 = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 4a e 30a. P P P P (a) Una funzione pari. (b) Una funzione dispari. Figura 5: Funzioni pari e dispari

26 22 introduzione all analisi Esercizio 24. Stabilisci se la funzione = 3 3 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(). f( ) = ( ) 3 3( ) = = ( 3 3) = f() La funzione è dispari. Vedi le figure 4b e 30b. Esercizio 25. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 2( ) 2 = = f() La funzione è pari. Vedi le figure 4c e 30c. Esercizio 26. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = 2( ) 4 1 = = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 4d e 30d. Esercizio 27. Stabilisci se la funzione = 2 è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( )2 1 = 2 1 = Perciò la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 4e e 30e.

27 1.6 esercizi 23 Esercizio 28. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( )2 4 ( ) 2 1 = = f() La funzione è pari. Vedi le figure 4f e 30f. 1.6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche: 1 = = [ { R \ ± 5 }] 2 [R \ { 3, 2, 3 }] 3 = [R \ { 0 }] 4 = 25 2 [ 5 5] [ { }] = 4 2 R \ = [R] 7 = [ 2 5] = [ < 5 2] = [0 5 3] = [ < 12 ] > 1 11 = [R \ { 7, 1 }] 12 = 10 2 [0 10] 13 = [R \ { 1, 0 }] 1 14 = [R \ { 0 }] = 3 2 [R \ { 2, 0 }] = [ 3 < 2 2] = [2 5] 18 log(3 + 4) [ > 4 ] 3 19 ln( ) [ < 2 > 3] 20 Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 6a (il tratteggio indica che il grafico prosegue indefinitamente).

28 24 introduzione all analisi 2 (a) (b) Figura 6: Lettura di un dominio sul grafico Soluzione. Il dominio è l insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Per individuare il dominio per via geometrica possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull asse (figura 6b). Così facendo otteniamo la semiretta costituita dai punti dell asse di ascissa minore o uguale a 2, compresa l origine della semiretta che ha coordinate (2, 0). Perciò il dominio della funzione è l insieme dom f = { 2 } = (, 2] 21 Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura 7 osservando il loro grafico. Determina il dominio, eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno delle seguenti funzioni: 22 = 5 3 dom f = R intersezioni con gli assi: (0, 0), (±1, 0) è positiva per 1 < < 0 > 1 23 = dom f = R intersezioni con gli assi: ( 11, 0), (0, 0), (1, 0) è positiva per 11 < < 0 > 1 24 = dom f = R intersezioni con gli assi: (±1, 0), (±2, 0), (0, 4) è positiva per < 2 1 < < 1 > 2 25 dom f = R \ { 5, 1 } = 2 intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per 5 < < 0 > 1 26 = dom f = R \ { ±2 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 4 è positiva per < 2 1 < < 2 > 3

29 1.6 esercizi 25 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 7: Lettura di domini sul grafico (f) 27 = = = = 4 dom f = R \ { 2 } intersezioni con gli assi: ( 3, 0), (1, 0), (0, 3 2 ) è positiva per 3 < < 1 > 2 dom f = { 0 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0) positiva per < 1 > 0 dom f = { 1 1 < 2 > 2 } intersezioni con gli assi: (±1, 0) positiva per < 1 > 2 dom f = { 0 < 4 } passa per l origine è positiva per ogni 0 31 Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari: a. = c. = e. = g. = 1 2 b. = 8 5 d. = 8 6 f. = 5 3 h. = [Tre funzioni pari, tre dispari, due né pari né dispari]

30 26 introduzione all analisi (a) (b) (c) (d) (e) Figura 8: Funzioni pari e dispari (f) 32 Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura 8 sono pari o dispari. 33 In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 9, rispondi alle seguenti domande. Qual è il dominio di f? Quanto vale f( 4)? E f(4)? Per quali valori f si annulla? In quali punti f interseca gli assi? f(2) è positivo o negativo? E f( 2)? La funzione è pari? È dispari? 34 Indica la risposta corretta. Figura 9: Una funzione

31 1.6 esercizi 27 a. La funzione = è definita: A R B R, 2 C D per nessun valore reale di per ogni valore di, tranne = 2 b. Data la funzione = si può affermare che: A la variabile indipendente è C = ( 2 + 1) 2 B la funzione è intera di sesto grado D la funzione è sempre definita c. La funzione = è definita: A per tutti i valori di diversi da ±1 C R, 0 B R D solo per > 1 d. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f( 2) = 3 e f(3) = 2? A = + 1 B = + 5 C = 5 D = 2 1 e. La funzione = + 2 è definita per: log( 1) A 1 < 2 B > 1 con 2 C 1 con 2 D > 1 f. Data la funzione f() = 1 il suo dominio è: A 0 1 B 0 1 C 0 < 1 D 0 g. Data la funzione f( + 1) = 2 f() e f(1) = 2 quanto vale f(2)? A 0 B 1 C 2 D 3 h. Il dominio di f() = ln(e 1) è: A > 2 B < 0 > 2 C > 2 e 3 D > 3 i. Data la funzione = 2 2 si può affermare che: + 1

32 28 introduzione all analisi A per = 1 non è definita C per = 5 è definita B per = 0 non è definita D è definita solo per = ±1 j. Indica fra le seguenti l affermazione errata: A B la funzione = log( 2 + 1) è definita R la funzione = 2 3 è definita ovunque C la funzione = non è definita per = 8 7 D la funzione = 4 2 non è definita per = 3 35 Indica la risposta corretta. [Una risposta A, tre B, quattro C e due D] a. Data la funzione = indica quale affermazione è vera: A è definita per 5 3 C è definita solo per 3 B è definita per 5 3 D nessuna delle precedenti b. Data la funzione = log( ) indica l affermazione falsa: A per = 4 non è definita C per = 3 non è definita B per = 4 non è definita D per = 5 è definita c. Data la funzione = log A il suo dominio è > indica quale affermazione è vera: + 1 C il suo dominio è R B il suo dominio è 0 D per = 0 vale = 0 d. La funzione f() = 2 ln è positiva nell intervallo A (0, e 2 ) B (, 2) C (0, + ) D (e 2, + ) e. Data la funzione f() = , il suo dominio è: A R \ { 0 } C { < 1 > 3 } B R D R \ { 1 } f. Per trovare il dominio di quale tra le seguenti funzioni si risolve la disequazione A() 0?

33 1.6 esercizi 29 A = 1 A() B 3 A() C = ln A() D = A() g. Il dominio della funzione = 9 2 è: A ( 3, 3) B [ 3, 3] C R \ { ±1 } D (, 3] h. Il dominio della funzione = è: A R C > 0 B < 5 > 0 D 5 0 i. La funzione f() = interseca l asse delle ascisse nel punto: + 4 A (0, 3) B (2, 0) C (3, 0) D ( 3, 0) j. Il dominio della funzione = è: A R C R \ { 2, 3 } B { < 2 > 3 } D { 2 < < 3 } [Cinque risposte A, tre B, una C e una D]

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35 2 L I M I T I Questo capitolo introduce un concetto fondamentale dell analisi matematica, quello di ite. Cominceremo ad analizzare questo concetto attraverso alcuni esempi, in cui ci familiarizzeremo con la nozione di ite a livello intuitivo. 2.1 concetto di ite Esempi introduttivi Limite finito quando tende a un valore finito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 3. analisi numerica Osserviamo che la funzione non è definita per = 3, tuttavia possiamo calcolare i valori di per valori di vicini a 3. Attribuendo per esempio a i valori indicati in tabella, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati. 2,9 2,99 2, ,001 3,01 3,1 5,9 5,99 5,999 non definita 6,001 6,01 6,1 6 Vediamo che quando la variabile assume valori sempre più prossimi a 3, i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 6. Per esprimere questo comportamento della funzione in prossimità del valore = 3 (si dice anche «in un intorno di 3») scriviamo 3 f() = 6 che si legge «il ite di f() per che tende a 3 è 6». interpretazione grafica Si può avere conferma di questo comportamento della funzione per vicino a 3 anche tracciando il suo grafico, perché f() = = ( 3)( + 3) 3 = + 3 per 3

36 32 iti 6 f() = f() = (a) Limite finito quando tende a un valore finito (b) Limite finito quando tende a infinito 0 f() = + + f() = + (c) Limite infinito quando tende a un valore finito (d) Limite infinito quando tende a infinito Figura 10: Esempi di iti Il grafico della funzione è una retta, privata del punto di ascissa 3 (figura 10a). Limite finito quando tende a infinito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi. analisi numerica Attribuendo a i valori indicati nella tabella seguente, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati ,980 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 1

37 2.1 concetto di ite 33 Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi sempre più grandi (si dice «tendenti a più infinito»), i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 1. Per esprimere questo comportamento della funzione scriviamo f() = 1 + che si legge «il ite della funzione f() per che tende a più infinito è 1». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = presenta la retta = 1 come asintoto orizzontale (vedi la figura 10b e il paragrafo 2.4). Limite infinito quando tende a un valore finito Data la funzione = f() = 1 2 studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 0. analisi numerica La funzione non è definita per = 0, tuttavia possiamo calcolare i valori di quando si avvicina a 0. Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati. 0,1 0,01 0, ,001 0,01 0, non definita i valori di diventano sempre più grandi Vediamo così che quando assume valori sempre più vicini a 0, i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi, ovvero «tendono a più infinito». Scriveremo f() = + 0 che si legge «il ite di f() per che tende a 0 è più infinito». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = 1 l asse come asintoto verticale (vedi la figura 10c e il paragrafo 2.4). 2 presenta Limite infinito quando tende a infinito Data la funzione = f() = 2 studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi.

38 34 iti 1 f() = f() = Figura 11: Limite destro e ite sinistro analisi numerica Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati i valori di diventano (rapidamente) sempre più grandi Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi via via più grandi («tendenti a più infinito»), anche i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi (ovvero tendono anch essi a più infinito). Scriveremo allora f() = + + che si legge «il ite di f() per che tende a più infinito è più infinito». interpretazione grafica La funzione esaminata è una funzione esponenziale che, com è noto, al crescere di assume valori che tendono rapidamente a + (figura 10d). Limite destro e ite sinistro Per poter dire che il ite di una funzione per a, con a R, è l, è necessario controllare che f() tenda a l sia quando si avvicina ad a per valori maggiori di a (ossia da destra rispetto ad a) sia quando si avvicina ad a per valori minori di a (ossia da sinistra rispetto ad a). avvicinamento da sinistra a avvicinamento da destra

39 2.2 calcolo dei iti 35 In alcuni casi può accadere che il comportamento della funzione a destra di a sia diverso dal comportamento a sinistra di a. Per indagare queste situazioni si parla di ite destro e di ite sinistro e si scrive: f() per indicare il ite destro a + f() per indicare il ite sinistro a Per esempio, consideriamo la seguente funzione (chiamata anche segno di ): { 1 se > 0 f() = 1 se < 0 La funzione non è definita per = 0. La figura 11 mostra il grafico della funzione: per > 0 abbiamo che f() = 1, quindi per < 0 abbiamo che f() = 1, quindi f() = f() = 1 0 Si noti che non esiste invece il ite dalla funzione per 0, perché i due iti destro e sinistro sono diversi tra loro. Come si può intuire da quest ultimo esempio, il ite di una funzione per a, con a R, esiste se e solo se i due iti, destro e sinistro, esistono e sono uguali. Definizione di ite Dagli esempi precedenti dovrebbe emergere in modo sufficientemente chiaro il concetto di ite, di cui diamo la seguente definizione intuitiva. Definizione 6. Data una funzione f(), supponiamo che a e l rappresentino due numeri reali, oppure + o. Diremo che il ite della funzione f() per che tende ad a è l, e scriveremo f() = l a se la funzione f() assume valori vicini quanto si vuole a l tutte le volte che i valori di sono sufficientemente vicini ad a (con eventuale esclusione del punto = a, dove la funzione può non essere definita). 2.2 calcolo dei iti Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto e definito il concetto di ite. Il problema che ci poniamo adesso è invece quello del calcolo dei iti.

40 36 iti Limiti di alcune funzioni elementari In base alla definizione di ite, è possibile dimostrare che valgono i iti riassunti nella tabella 1. Tabella 1: Limiti di alcune funzioni elementari (a rappresenta un numero reale) a n = a n = a a a 3 = 3 a a 2 = 2 a a log = log a per ogni n intero Risultati analoghi valgono per le radici di indice (intero positivo) qualsiasi, e per le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche di base qualsiasi (purché > 0 e 1). Nel caso delle funzioni elementari il calcolo del ite per a, con a R appartenente al dominio della funzione, si riduce quindi a effettuare una semplice sostituzione. Per esempio: 3 2 = 3 2 = 9 Le figure 12 e 13 mostrano i iti di alcune importanti funzioni elementari agli estremi del loro dominio. Per esempio: 3 = e + 3 = + 4 = + e + 4 = Algebra dei iti Ci chiediamo ora: a partire dai iti mostrati nella tabella 1, è possibile determinare i iti di funzioni più complicate, costruite a partire dalle funzioni elementari mediante operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione? Per esempio, sappiamo che 3 = 8 e che 2 = 4; possiamo dire 2 2 che ( ) = 12 è la loro somma? 2 In altre parole, vogliamo studiare il comportamento dell operazione di ite rispetto alle operazioni tra funzioni. Cominciamo dal caso più semplice, in cui i iti delle funzioni in gioco sono finiti.

41 2.2 calcolo dei iti 37 = c, c R = (a) c = c c = c + (b) = = + + = n, n naturale pari = n, n naturale dispari 3 (c) n = + + n = + (d) n = + n = + Figura 12: Limiti della funzione costante e delle funzioni potenza agli estremi del dominio Regole di calcolo nel caso in cui i due iti sono finiti Se due funzioni f e g hanno iti finiti per a, l operazione di ite si comporta bene rispetto alle ordinarie operazioni, come espresso dalla seguente proposizione. Proposizione 1. Supponiamo che le due funzioni f e g siano entrambe definite in un intorno di a (numero reale o ± ), eccetto al più a, e che sia f() = l 1 e g() = l 2 a a dove l 1, l 2 sono numeri reali. Allora risulta:

42 38 iti = = 3 (a) = = + + (b) 3 = 3 = + + = 2 = (1/2) 1 1 (c) 2 = = + (d) ( 1 2 ) = + + ( ) 1 = 0 2 = log 2 = log (e) log = log + 2 = + (f) log = + log + 1 = 2 Figura 13: Limiti di alcune funzioni elementari agli estremi del dominio

43 2.2 calcolo dei iti 39 a [f() ± g()] = l 1 ± l 2 a [f() g()] = l 1 l 2 f() a g() = l 1, se l 2 0 l 2 a [ c f() ] = c l1, per ogni c R Esercizio 29. Calcola il ite 2 ( ). Soluzione. 2 (3 + 2 ) = = = Esercizio 30. Calcola il ite 3 2. Soluzione. 2 = 2 = 2 3 = Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due iti è infinito Vediamo ora che cosa accade nei casi esclusi dalla proposizione precedente, ossia quando almeno uno dei due iti l 1 o l 2 è infinito oppure in un quoziente il cui denominatore tende a 0. A proposito di questi casi, si possono dimostrare i risultati seguenti (dove a rappresenta un numero reale o ± ). Se a f() è Tabella 2: Regole per la somma e a g() l R + + l R allora a [f() + g()] è Se a f() è Tabella 3: Regole per il prodotto e a g() allora a [f() g()] è l R con l 0 ± ± secondo la regola dei segni ± ± ± secondo la regola dei segni

44 40 iti Se a f() è Tabella 4: Regole per il quoziente e a g() f() allora a g() è l R ± 0 l R con l 0 0 ± secondo la regola dei segni ± l R ± secondo la regola dei segni È importante fare alcune osservazioni. Le tabelle non danno informazioni nel caso in cui il ite si presenti in una delle seguenti forme, dette forme di indecisione (o forme indeterminate): + 0 / 0/0 dove il simbolo 0 è un modo abbreviato per indicare le forme di indecisione del tipo 0 +, 0, + 0, 0 e analogamente il simbolo / è un modo abbreviato per indicare le forme + / +, + /, / +, /. Ciò non significa che in questi casi il ite sia indeterminato o non si possa calcolare, ma solo che non esiste alcun modo di stabilirne a priori il valore: occorre analizzare la situazione caso per caso. Vedremo i metodi più comuni per risolvere le forme di indecisione nel prossimo paragrafo. I risultati espressi nella tabelle 2, 3 e 4 si possono riassumere nelle uguaglianze della tabella 5. Esse possono interpretarsi come regole di calcolo algebrico per svolgere operazioni che coinvolgono i simboli di ± e prendono quindi il nome di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito ( parziale perché le regole di calcolo così definite soddisfano solo parzialmente le ordinarie proprietà delle operazioni aritmetiche). Tabella 5: Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito + + = + = (± ) (± ) = (± ) l ± = ± per ogni l R l = ± per ogni l R, con l 0 l = ± 0 per ogni l R, con l 0 l = 0 ± per ogni l R ± = ± l per ogni l R

45 2.2 calcolo dei iti 41 f() = 0 f() = 0+ + Figura 14: f() = 0+ + In tutte le scritture della tabella 5 il segno dell infinito va determinato in base all ordinaria regola dei segni, tenendo conto che in questo contesto si attribuisce un segno anche a 0: lo 0 viene considerato positivo, e indicato con 0 +, se una funzione tende a 0 per eccesso, cioè assumendo valori positivi, mentre viene considerato negativo, e indicato con 0, se una funzione tende a 0 per difetto, cioè assumendo valori negativi (figura 14). Avremo, per esempio: = = 0 = + Esercizio 31. Calcola Soluzione = 1 + = 0 Esercizio 32. Calcola ( + 1 ) Soluzione. Tenendo conto che quando 1 + si ha che si ha: ( + 1 ) = = 1 + = Forme di indecisione di funzioni algebriche Questo paragrafo presenta le più comuni forme di indecisione che si presentano quando si lavora con funzioni algebriche intere e fratte.

46 42 iti Limiti di di funzioni intere Le funzioni intere sono definite in tutto R, quindi si può incorrere in forme di indecisione solo nel calcolo dei iti per ±. In questo caso, ci si può imbattere in una forma di indecisione del tipo +. Per esempio, ciò accade se si vuole calcolare: ± ( ) La risoluzione di queste forme di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliendo 3 si ha che: ( [ ± )] 3 Tutti i termini dopo 1 dentro le parentesi tonde tendono a 0 per ±, quindi il fattore tra parentesi tende a 1. Ne segue che ± ( ) = ± 3 = ± Questo ragionamento può ripetersi similmente per qualsiasi polinomio; possiamo quindi concludere che: per calcolare il ite di un polinomio per ± basta calcolare il ite del suo termine di grado massimo. Esercizio 33. Calcola + (2 4). Soluzione. + (2 4) = + 2 = + Esercizio 34. Calcola + ( ). Soluzione. + ( ) = + 23 = Esercizio 35. Calcola ( ). Soluzione. ( ) = 4 = +

47 2.2 calcolo dei iti 43 Funzioni fratte Consideriamo ora una funzione fratta, cioè una funzione del tipo dove P() e Q() sono polinomi. f() = P() Q() Le funzioni fratte hanno come dominio l insieme R privato degli eventuali valori di che annullano il denominatore. Nel calcolo dei iti di queste funzioni si può incorrere in due tipi di forme di indecisione: / nel calcolo dei iti per ± oppure 0/0 nel calcolo dei iti per a, dove a R è un punto in cui la funzione non è definita. Analizziamo separatamente i due casi. forme di indecisione del tipo / Per esempio, consideriamo il ite Sia il numeratore che il denominatore tendono a + per +, quindi il ite si presenta nella forma di indecisione + / +. La risoluzione della forma di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliamo anzitutto al numeratore e al denominatore i termini di grado massimo: ( = 2 1 ( ) 2 Tutti gli addendi dopo 1, sia all interno delle parentesi al numeratore che all interno delle parentesi al denominatore, tendono a 0 per +, quindi i due fattori tra parentesi tonde tendono entrambi a 1. Ne segue che: = + 2 = = + + Un ragionamento simile può ripetersi nel caso di tutti i iti di funzioni fratte che si presentano nella forma /. Possiamo quindi concludere che per calcolare il ite del rapporto tra due polinomi per ± basta calcolare il ite del rapporto dei loro termini di grado massimo. )

48 44 iti Esercizio 36. Calcola Soluzione = = 2 = + + Esercizio 37. Calcola Soluzione = = = 0 Esercizio 38. Calcola Soluzione = = 1 2 I tre esempi precedenti mostrano i tre diversi casi che possono presentarsi nel P() calcolo del ite, dove P() e Q() sono polinomi di gradi rispettivamente n ed ± Q() m: se n > m (vedi l esempio 36), allora se n < m (vedi l esempio 37), allora se n = m (vedi l esempio 38), allora ± ± P() Q() = ± P() Q() = 0 P() ± Q() = rapporto tra il coefficiente di n e il coefficiente di m

49 2.3 continuità 45 forme di indecisione del tipo 0/0 Se il ite del rapporto di due polinomi P() e Q() si presenta nella forma indeterminata 0/0 per a R, deve essere P(a) = Q(a) = 0, quindi i due polinomi P() e Q() devono essere divisibili per ( a). L indeterminazione si rimuove scomponendo P() e Q() in fattori e semplificando la frazione P()/Q(). Il ite della funzione ottenuta dopo la semplificazione del fattore ( a) coincide con quello della funzione originaria: infatti le due funzioni sono uguali se = a e, ai fini del calcolo del ite, è ininfluente il valore della funzione in a. Esercizio 39. Calcola Soluzione. Osserviamo che 1 ( ) = 0 e 1 (2 1) = 0 quindi il ite si presenta nella forma 0 0. Per risolvere la forma di indecisione scomponiamo il numeratore e il denominatore e semplifichiamo il fattore in comune: ( 1)( + 4) = 1 ( 1)( + 1) = = continuità Intuitivamente, una funzione è continua se per tracciare il suo grafico non si stacca mai la penna dal foglio. Il concetto di ite permette di definire questa nozione in modo preciso. Continuità in un punto Definizione 7. Sia f una funzione definita in un intorno di a R. f() = f(a), la funzione f si dice continua in a. a Se È importante fare alcune osservazioni. Mentre l operazione di ite per a R riguarda il comportamento di una funzione in un intorno di a, disinteressandosi di ciò che accade nel punto a, la definizione di continuità richiede invece l analisi del comportamento della funzione sia in un intorno di a sia nel punto a, e impone che i due comportamenti non siano difformi.

50 46 iti f(b) f(b) f(a) f(a) a b a b (a) La funzione f() è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta di poco da f(a) (b) La funzione f() non è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta in modo significativo da f(a) Figura 15: Funzioni continue e discontinue Intuitivamente, la condizione a f() = f(a) si può interpretare dicendo che «se è vicino ad a, allora f() è vicino a f(a)» (figura 15a). Osserva che questa condizione non è verificata se f non è continua in a (figura 15b) Funzioni continue Definizione 8. Se una funzione f di dominio D è continua in tutti i punti di un insieme A D, diremo che f è continua in A. Se f è continua in tutti i punti del suo dominio, diremo semplicemente che f è una funzione continua. Per esempio: le funzioni potenza = n con n N sono continue in R la funzione = 1 è continua in R \ { 0 } la funzione esponenziale = 2 è continua in R la funzione logaritmica = log è continua in (0, + ) Punti di discontinuità e loro classificazione Sia f una funzione definita in un intorno di a R. La condizione di continuità della funzione in a equivale alla seguente: f() = f() = f(a) a + a

51 2.3 continuità (a) Discontinuità di tipo salto (o di prima specie) (b) Discontinuità di seconda specie 3 (c) Discontinuità einabile (o di terza specie) Figura 16: Punti di discontinuità quindi richiede che siano verificate tre condizioni: 1. i due iti f() e f() devono esistere finiti a + a 2. devono essere uguali tra loro 3. devono essere uguali a f(a) Se almeno una di queste tre condizioni non è soddisfatta, diremo che a è un punto di discontinuità della funzione. Si possono allora avere tre tipi diversi di punti di discontinuità, a seconda di quale di queste tre condizioni viene a cadere. Analizziamo singolarmente ciascuno di questi casi. Punti di salto (o discontinuità di prima specie) Il primo tipo di discontinuità che analizziamo è relativo al caso in cui cade la condizione 2, cioè se i iti f() e f() esistono finiti ma sono diversi a + a tra loro. Definizione 9. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è un punto di salto (o di discontinuità di prima specie) se i iti di f per a + e a esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso il valore assoluto della differenza a f() f() si dice salto di f in = a. + a Esercizio 40. Studia i punti di discontinuità della funzione { 1 se > 0 f() = 1 se < 0

52 48 iti Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 16a). È immediato verificare che f() = 1 e f() = Perciò i iti dalla destra e dalla sinistra di f per 0 esistono e sono finiti ma sono diversi tra loro. La funzione presenta in = 0 un punto di salto; precisamente, il salto vale 2. 0 Discontinuità di seconda specie Un altro tipo di discontinuità si presenta se cade la condizione 1, cioè quello in cui almeno uno dei due iti f() e f() non esiste o è infinito. a + a Definizione 10. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è di seconda specie se almeno uno dei due iti f() e f() non a + a esiste o è infinito. Esercizio 41. Studia i punti di discontinuità della funzione 1. Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 16c). Osserviamo che i iti della funzione per 0 + e 0 sono infiniti; precisamente 0 f() = + e f() = + 0 quindi = 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. Osserva che la retta = 0 (cioè l asse ) è un asintoto verticale per la funzione. Discontinuità einabili (o discontinuità di terza specie) L ultimo caso che ci resta da esaminare è quello in cui si verificano le condizioni 1 e 2, ma cade la 3, cioè quando esiste finito il ite f(), ma questo non è uguale a a f(a). Definizione 11. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è einabile in ciascuno di questi due casi: se esiste finito a f() ma f non è definita in a se esiste finito a f() ma il valore del ite è diverso da f(a)

53 2.4 asintoti 49 a l = m + q (a) Grafico di una funzione che ha la retta = a come asintoto verticale (b) Grafico di una funzione che ha la retta = l come asintoto orizzontale Figura 17: Asintoti (c) Grafico di una funzione che ha la retta = m + q come asintoto obliquo Esercizio 42. Studia i punti di discontinuità della funzione { + 3 se 3 f() = 0 se = 3. Soluzione. La funzione è definita in tutto R ed è continua per 3 (figura 16c). Analizziamo il comportamento della funzione in un intorno di 3: f() = 6 3 Quindi il ite della funzione per 3 esiste ma è diverso da f(3) = 0. Osserva che non è difficile modificare la definizione della funzione precedente nel punto 3 in modo da ottenere una nuova funzione continua anche in 3; precisamente, la funzione { + 3 se 3 g() = 6 se = 3 (che coincide con f eccetto che per = 3) è continua in 3 perché 3 g() = g(3). 2.4 asintoti Consideriamo i grafici di funzione rappresentati nella figura 17: ciascuno di essi, per opportuni valori di, si avvicina sempre di più alle rette tratteggiate.

54 50 iti Definizione 12. Una retta è un asintoto per il grafico di una funzione se tale grafico si avvicina sempre di più alla retta per certi valori di. In particolare, parleremo di asintoto verticale quando la retta è parallela all asse delle ordinate (figura 17a), di asintoto orizzontale quando la retta è parallela all asse delle ascisse (figura 17b) e di asintoto obliquo negli altri casi (figura 17c). In pratica, per cercare gli eventuali asintoti del grafico di una funzione bisogna analizzarne il comportamento agli estremi del dominio: al finito per gli asintoti verticali e all infinito per gli altri. Asintoti verticali Proposizione 2. Una retta di equazione = a, con a R, è un asintoto verticale per una funzione se almeno uno dei iti della funzione per a + o per a è + o. Esercizio 43. Trova gli asintoti verticali della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 2). Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i iti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio = = e = 2 0 = + quindi = 1 è un asintoto verticale (figura 18d). Asintoti orizzontali Proposizione 3. Una retta di equazione = l, con l R, è un asintoto orizzontale per una funzione se il ite della funzione per + o per è l.

55 2.4 asintoti 51 Esercizio 44. Trova gli asintoti orizzontali della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 2). Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i iti della funzione per ±. 2 4 ± 1 = 2 ± = 2 quindi = 2 è un asintoto orizzontale (figura 18d). Asintoti obliqui Proposizione 4. La retta di equazione = m + q è un asintoto obliquo per la funzione = f() se e solo se: f() ± = m [f() m] = q ± dove m, q R, con m 0. In pratica, la proposizione precedente si usa così: se il dominio della funzione è ilitato superiormente, si verifica la presenza di un eventuale asintoto orizzontale per + : in caso positivo, è esclusa la presenza di un asintoto obliquo per + f() in caso negativo, si calcola il : se questo ite non esiste finito, è + esclusa la presenza di un asintoto obliquo per + altrimenti si assegna a m il suo valore e si calcola il + [f() m]: se questo ite non esiste finito, è esclusa la presenza di un asintoto obliquo per + altrimenti si assegna a q il suo valore e la retta di equazione = m + q è un asintoto obliquo per il grafico della funzione se il dominio della funzione è ilitato inferiormente, si segue la stessa procedura per

56 52 iti Esercizio 45. Trova gli asintoti obliqui della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3), quindi, essendo inferiormente e superiormente ilitato, ha senso indagare sul comportamento della funzione sia per sia per +. Abbiamo che: ± 2 1 = 2 ± = = ± ± quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui. Abbiamo: f() ± = ± 2 ( 1) = ± 1 = Poiché tale ite è finito, ha senso continuare: [f() m] = ± ± = ± [f() 1 ] ( 2 ) 1 2 ( 1) = ± = ± 1 = ± = ± ± = 1 = m = 1 1 = 1 = q = 1 Quindi c è un asintoto obliquo di equazione = + 1 (figure 18e e 33). In generale, si può provare che: le funzioni intere, ovvero le funzioni di equazione = P(), dove P() è un polinomio, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P() è 1 (ovvero se e solo se il grafico della funzione è una retta); le funzioni fratte, ovvero le funzioni di equazione P()/Q(), dove P() e Q() sono due polinomi, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P() supera di 1 quello di Q().

57 2.5 grafico probabile di una funzione grafico probabile di una funzione Alla luce delle nuove conoscenze che abbiamo acquisito circa gli asintoti, riprendiamo il problema di tracciare il grafico di una funzione. Data una funzione, fino a questo punto eravamo in grado (almeno nei casi più semplici) di: 1. determinarne il dominio 2. riconoscerne eventuali simmetrie (rispetto all asse o all origine) 3. determinare gli eventuali punti di intersezione del suo grafico con gli assi 4. studiarne il segno Ora possiamo arricchire la nostra analisi con un quinto punto: 5. calcolare i iti agli estremi degli intervalli dove la funzione è definita Tutto ciò consente di studiare eventuali punti di discontinuità della funzione e di scoprire l esistenza di eventuali asintoti verticali e orizzontali; se non esistono asintoti orizzontali, siamo inoltre in grado di ricercare eventuali asintoti obliqui. L insieme delle informazioni ricavate nei cinque punti indicati consente in molti casi di tracciare il grafico di una funzione con buona approssimazione, come mostriamo nei prossimi esempi. Parleremo di grafico probabile perché alcuni elementi rimangono ancora incerti (per esempio la determinazione degli eventuali punti di minimo o di massimo). Esercizio 46. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1). La figura 4a riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 11 e 17). Calcoliamo i iti agli estremi del dominio e troviamo gli eventuali asintoti. Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i iti della funzione per ±. ± ( ) = ± 2 = + Poiché tali iti sono infiniti, non ci sono asintoti orizzontali. Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo: f() ± = = ± ± = = ± ± Poiché tali iti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui. La figura 18a mostra le nuove informazioni raccolte.

58 54 iti Esercizio 47. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = 3 3. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1). La figura 4b riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 12 e 18). Calcoliamo i iti agli estremi del dominio e troviamo gli eventuali asintoti. Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i iti della funzione per ±. ± (3 3) = ± 3 = ± Poiché tali iti sono infiniti, non ci sono asintoti orizzontali. Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo: f() ± = 3 3 = ± ± (2 3) = ± 2 = + Poiché tale ite è infinito, non ci sono asintoti obliqui. La figura 18b mostra le nuove informazioni raccolte. Esercizio 48. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1). La figura 4c riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 13 e 19). Calcoliamo i iti agli estremi del dominio e troviamo gli eventuali asintoti. Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i iti della funzione per ±. ± (4 2 2 ) = ± 4 = + Poiché tali iti sono infiniti, non ci sono asintoti orizzontali. Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo: f() ± = ± = ± (3 2) = ± 3 = ± Poiché tali iti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui. La figura 18c mostra le nuove informazioni raccolte.

59 2.5 grafico probabile di una funzione (a) = (b) = (c) = (d) = = (e) = 2 1 (f) = Figura 18: Limiti di alcune funzioni algebriche

60 56 iti Esercizio 49. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. La retta = 0 è un asintoto verticale (vedi l esercizio 43) e la retta = 0 è un asintoto orizzontale (vedi l esercizio 44). Poiché c è un asintoto orizzontale per ±, non ci sono asintoti obliqui. La figura 18d mostra le nuove informazioni raccolte. Esercizio 50. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3). La figura 4e riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 15 e 21). Calcoliamo i iti agli estremi del dominio e troviamo gli eventuali asintoti. Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i iti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i iti per = 1 = + e 0 + quindi = 1 è un asintoto verticale = 1 0 = La funzione non ha asintoti orizzontali, mentre ha un asintoto obliquo di equazione = + 1 (vedi l esercizio 45). La figura 18e mostra le nuove informazioni raccolte. Esercizio 51. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l esercizio 4). La figura 4f riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 16 e 22). Calcoliamo i iti agli estremi del dominio e troviamo gli eventuali asintoti.

61 2.6 esercizi 57 Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i iti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i iti per 1 e per 1. e = = e = 3 0 = = = + e = = quindi = 1 e = 1 sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i iti della funzione per ±. 2 4 ± 2 1 = 2 ± 2 = 1 quindi = 1 è un asintoto orizzontale. Poiché c è un asintoto orizzontale per ±, non ci sono asintoti obliqui. La figura 18f mostra le nuove informazioni raccolte. 2.6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Deduci dal grafico 19a il valore dei seguenti iti: a. f() c. 0 f() e. 1 + f() g. 3 f() b. 3 f() d. 1 f() f. 2 f() h. + f() 2 Deduci dal grafico 19b il valore dei seguenti iti: a. f() b. 3 f() c. 3 + f() d. 0 f() e. 3 f() f. 3 + f() g. + f()

62 58 iti (a) (b) (c) (d) (e) Figura 19: Approccio grafico al concetto di ite (f) 3 Deduci dal grafico 19c il valore dei seguenti iti: a. f() c. 2 f() e. 2 f() g. 5 f() b. 3 f() d. 0 f() f. 2 + f() h. + f() 4 Deduci dal grafico 19d il valore dei seguenti iti: a. f() b. f() c. f() d. f() Deduci dal grafico 19e il valore dei seguenti iti: a. f() b. f() c. f() d. f() Deduci dal grafico 19f il valore dei seguenti iti: a. f() b. f() c. f() d. f() 0 2 +

63 2.6 esercizi 59 7 Indica la risposta corretta. a. Quanto vale 2 3? A 2 B 8 C D + b. Quanto vale + 3? A 0 B 1 C D + c. Quanto vale 3? A 0 B 1 C D + d. Quanto vale + 4? A 0 B 1 C D + e. Quanto vale 4? A 0 B 1 C D + f. Quanto vale + 10? A 0 B 1 C D + g. Quanto vale + 10? A 0 B 1 C D + ( ) 1 h. Quanto vale? + 2 A 0 B 1 C D + ( ) 1 i. Quanto vale? 2 A 0 B 1 C D + j. Quanto vale 0 + log 5? A 0 B 1 C D + k. Quanto vale log 0 + 1? 5 A 0 B 1 C D + l. Quanto vale 25 log 5? A 0 B 2 C D + [Due risposte A, due B, due C e sei D] 8 Vero o falso? ( ) 1 a. = 0 V F + 4 ( ) 1 b. = V F 4 c. = + V F + d. log + 1 = + V F 2 e. non ha senso V F f = 0 V F g = + V F h. 10 = + V F i = + V F j. 1 log = 0 V F [7 uguaglianze vere e 3 false] Calcola i seguenti iti che non presentano forme di indecisione (2 + 3 ) [+ ] [+ ] ( ) ( ) [+ ] [3]

64 60 iti [ ] [ ] 1 2 ( ) [0] [0] Calcola i iti delle seguenti funzioni polinomiali ( ) 18 (3 5 1) [+ ] [ ] 19 + ( ) 20 + ( ) [+ ] [ ] Calcola i seguenti iti che si presentano sotto forme di indecisione / [+ ] [2] [+ ] [0] [ ] [1] [ ] [2] ( + 1) [+ ] [ ] 3 2 [0] [+ ] [0] [ 5 ] 2 [+ ] Calcola i seguenti iti che si presentano sotto forme di indecisione 0/ [2] [ 8] [ ] [ 2] [ ] [18] [4] [ ] 3 2 [ ] 5 4 [50] [0] [1]

65 2.6 esercizi [16] [ ] [0] Indica la risposta corretta. [ ] [2] [ ] 2 3 [ ] 5 3 [ 1] a. Quanto vale ? A 1 B 3 C + D b. Quanto vale ? A 1 B 3 C + D c. Quanto vale + ( )? A 0 B 1 C + D d. Quanto vale + 6? A 0 B 1 C + D e. Quanto vale + + 6? A 0 B 1 C + D Calcola i seguenti iti ( ( ) [ ] [0] [ ] 1 3 [0] ) [0] 2 25 f. Quanto vale ? A 1 B 10 C g. Quanto vale 6? D A 0 B 1 C + D h. Quanto vale 0 6? A 0 B 1 C + D i. Quanto vale + 6? A 0 B 1 C + D + 6 j. Quanto vale ? A 0 B 1 C + D [Quattro risposte A, due B, due C e due D] ( ) 1 62 [+ ] 5 2 [ ] [0] [ ] 2 9 [+ ]

66 62 iti (22 1) [ ] 2 5 [+ ] [ ] [ 1 ] 2 [ ] 72 Vero o falso? a. Se una funzione ha una discontinuità nel punto = 0, allora f() è 0 diverso da f(). V F 0 + b. Una funzione che ha una discontinuità nel punto = a può sempre essere ridefinita in = a, in modo da renderla continua in = a. V F c. Se la retta di equazione = a è un asintoto per la funzione f, allora il punto a è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. V F d. Sapendo che f(0) = 0 e 0 f() = 1, si può affermare che per = 0 la funzione f presenta un punto di discontinuità einabile. V F e. Sapendo che f() = 1 e che 0 f() = 1, si può affermare che 0 + per = 0 la funzione f presenta un punto di salto. V F [2 affermazioni vere e 3 false]

67 3 D E R I V AT E 3.1 concetto di derivata Nei capitoli precedenti, con l introduzione del concetto di ite, abbiamo posto le basi necessarie per presentare una delle nozioni più importanti dell analisi: quella di derivata. Avviciniamoci al concetto di derivata prendendo le mosse da un problema che, anche storicamente, condusse alla sua nascita Problema della retta tangente Nello studio della geometria la retta tangente a una circonferenza in un suo punto è l unica retta passante per quel punto che non interseca la circonferenza in altri punti. Ma che cos è la retta tangente a una curva in un suo punto P? Come primo tentativo, potremmo essere portati a rispondere: è l unica retta passante per P che non interseca la curva in altri punti. Tuttavia è facile rendersi conto che questa definizione non si adatta, per esempio, alle curve disegnate nelle figure 20a e 20b. P O (a) La retta tangente alla curva in P interseca la curva in un altro punto (b) Ci sono infinite rette passanti per O che intersecano la curva in un solo punto, ma intuitivamente tali rette non sono tangenti alla curva Figura 20: Retta tangente a una curva in un punto Abbandonata la speranza di poter definire il concetto di retta tangente in base al numero dei punti d intersezione con la curva, ci rendiamo conto che, per risolvere il problema, dobbiamo introdurre qualche idea nuova. L elemento chiave per fare

68 64 derivate = f() rette secanti f(a + h) Q f(a + h) f(a) retta tangente f(a) P a h a + h Figura 21: Retta tangente al grafico di una funzione in un punto emergere queste nuove idee è guardare il problema della retta tangente da un punto di vista dinamico. Data la funzione = f() e un punto P(a, f(a)) appartenente al suo grafico, per definire la retta tangente al grafico di f in P consideriamo innanzitutto una retta passante per P e secante la curva in un ulteriore punto Q, di ascissa a + h, vicino a P (figura 21). Sappiamo che il coefficiente angolare della retta PQ è espresso dalla formula: m PQ = Q P f(a + h) f(a) f(a + h) f(a) = = Q P (a + h) a h Immaginiamo ora che h tenda a 0. Il punto Q si muove sul grafico di f e si avvicina a P, fino a sovrapporsi a esso quando h = 0. Contestualmente, la retta secante ruota intorno a P, fino ad avvicinarsi a una posizione ite che intuitivamente possiamo identificare con quella della retta tangente. Consideriamo allora il ite cui tende il coefficiente angolare della retta PQ quando h tende a 0: m f(a + h) f(a) PQ = h 0 h 0 h Se questo ite tende a un valore finito, possiamo definire la retta tangente come la retta passante per P e avente questo coefficiente angolare. Grazie al concetto di ite, siamo così finalmente riusciti a trovare una buona definizione di retta tangente a una curva.

69 3.1 concetto di derivata 65 = 2 9 P 3 = 6 9 Figura 22: Il coefficiente angolare della tangente alla funzione f() = 2 in = 3 è f (2) = Derivata in un punto Nel problema precedente abbiamo considerato il rapporto f(a + h) f(a) h tra l incremento subito dalla funzione f() quando la variabile indipendente passa dal valore a al valore a + h e l incremento h. Questo rapporto è detto rapporto incrementale della funzione nel punto a, relativo all incremento h. Siamo stati indotti a considerare il ite di tale rapporto quando h 0: la derivata è precisamente questo ite. Definizione 13. Una funzione = f() si dice derivabile in un punto a appartenente al suo dominio se f(a + h) f(a) h 0 h (1) esiste ed è finito. Questo ite prende il nome di derivata prima (o semplicemente derivata) di f in a e si indica con il simbolo f (a). Come abbiamo visto nel paragrafo precedente analizzando il problema della retta tangente, il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare di una retta secante, mentre la derivata della funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto. Esercizio 52. Calcola la derivata della funzione f() = 2 nel punto a = 3 con la definizione. Soluzione. Dobbiamo calcolare il ite 1 con a = 3 e f() = 2. Abbiamo: f(3 + h) f(3) (3 + h) = h 0 h h 0 h 9 + h 2 + 6h 9 = = (h + 6) = 6 h 0 h h 0

70 66 derivate O Figura 23: Non esiste alcuna retta tangente al grafico della funzione f() = nell origine Dunque la funzione è derivabile in a = 3 e risulta f (3) = 6. Ne possiamo dare l interpretazione grafica riportata nella figura Continuità e derivabilità Un risultato importante è che la derivabilità implica la continuità, come espresso dalla seguente proposizione. Proposizione 5. Se f è una funzione derivabile in a, allora f è continua in a. La proposizione precedente non è invertibile: non è vero cioè che se una funzione è continua in a allora è ivi derivabile. Esercizio 53. Prova che la funzione f() = è continua ma non derivabile in = 0. Soluzione. La funzione f() = è continua in tutto R, quindi in particolare in = 0. Tuttavia non è derivabile in 0; infatti: f(0 + h) f(0) h 0 h = = h 0 h h 0 h h 0 h e quest ultimo ite non esiste perché h h 0 + h = Vedi la figura 23. h h = 1 mentre h 0 + h h 0 h = h h 0 h = 1 In generale, se una funzione è derivabile in un punto, allora esiste la retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

71 3.1 concetto di derivata 67 f() = c f() = (a) La derivata di una funzione costante f() = c è f () = 0 (b) La derivata della funzione f() = è f () = 1 Figura 24: Retta tangente a una curva in un punto Funzione derivata Definizione 14. Data una funzione f, possiamo definire una nuova funzione f, indicata anche con Df, detta funzione derivata (prima) di f, che associa a ogni punto in cui f è derivabile la sua derivata. Esercizio 54. Calcola la derivata della funzione costante f() = c, con c R, con la definizione. Soluzione. f f( + h) f() c c () = = h 0 h h 0 h = 0 = 0 h 0 Quindi la derivata della funzione costante è 0 per ogni R. Potevamo intuire il risultato precedente dal significato geometrico della derivata: la retta tangente al grafico di una funzione costante coincide in ogni punto con il grafico stesso, quindi ha coefficiente angolare uguale a 0, dunque f () = 0 per ogni R (figura 24a). Esercizio 55. Calcola la derivata della funzione f() = con la definizione. Soluzione. f f( + h) f() ( + h) h () = = = h 0 h h 0 h h 0 h = 1 = 1 h 0 Quindi la derivata della funzione f() = è 1 per ogni R.

72 68 derivate Anche questa volta potevamo intuire il risultato precedente dal significato geometrico della derivata: la retta tangente al grafico della funzione f() = coincide in ogni punto con il grafico stesso, quindi ha coefficiente angolare uguale a 1, dunque f () = 1 per ogni R (figura 24b). Esercizio 56. Calcola la derivata della funzione f() = 2 con la definizione. Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione f nel generico punto di ascissa R. Abbiamo: f( + h) f() ( + h) 2 2 = h 0 h h 0 h 2 + h 2 + 2h 2 = h 0 h h 2 + 2h = h 0 h = (h + 2) h 0 = 2 Dunque la funzione e derivabile per ogni R e risulta: f () = Derivata seconda Una volta calcolata la funzione f, derivata di una funzione f, possiamo determinare l insieme dove f è a sua volta derivabile e determinare la derivata di f, che si chiama derivata seconda di f e che indicheremo con il simbolo f. Una funzione si dice derivabile due volte in a se f e f sono derivabili in a. 3.2 derivate delle funzioni elementari In pratica, il calcolo delle derivate non viene effettuato tramite la definizione (come ite del rapporto incrementale), perché sarebbe troppo laborioso. Si ricorre invece alla tabella delle derivate delle funzioni elementari e ad alcune regole di derivazione, che saranno oggetto del prossimo paragrafo. La derivata delle funzioni potenza La funzione potenza f() = n è derivabile per ogni R e per ogni n intero. Risulta: f () = n n 1

73 3.3 algebra delle derivate 69 Tabella 6: Derivate di funzioni elementari Funzione (a) Formule generali Derivata c (costante), c R 0 n, n intero 1 2 e ln n n 1 e 1 (b) Alcuni casi particolari Funzione Derivata 1 2 Per esempio: la derivata di f() = 2 è f () = 2 2 1, cioè f () = 2 la derivata di f() = 3 è f () = 3 3 1, cioè f () = 3 2 la derivata di f() = 4 è f () = 4 4 1, cioè f () = 4 3 La tabella 6a riporta le derivate delle funzioni elementari più usate, mentre la tabella 6b mette in evidenza alcuni casi particolari che si usano di frequente. Esercizio 57. Calcola la derivata della funzione f() = 10. Soluzione. f () = = algebra delle derivate In questo paragrafo esaminiamo le relazioni tra l operazione di derivazione e le operazioni algebriche tra funzioni. L obiettivo sarà quello di stabilire delle regole di derivazione che, note le derivate di due funzioni f e g, ci consentano di dedurre le derivate delle funzioni: f f ± g f g g Linearità della derivata L operazione di derivazione si comporta bene rispetto all addizione di due funzioni e alla moltiplicazione per una costante. Valgono infatti le seguenti proposizioni.

74 70 derivate Proposizione 6. Siano f e g due funzioni derivabili in ; allora anche la funzione f + g è derivabile in e vale la formula: D[f() ± g()] = f () ± g () Proposizione 7. Sia f una funzione derivabile in, e sia c una costante; allora anche la funzione c f è derivabile in e risulta: D[c f()] = c f () Ciò si esprime dicendo che l operazione di derivazione è lineare. Esercizio 58. Calcola la derivata di f() = Soluzione. Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proposizione 6. f () = D( ) = D( 2 ) + D( 3 ) = Esercizio 59. Calcola la derivata di f() = 3 2. Soluzione. Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proposizione 7. f () = D(3 2 ) = 3 D( 2 ) = 3 2 = 6 Esercizio 60. Calcola la derivata di f() = Soluzione. Basta ricordare le derivate delle funzioni elementari e applicare la proprietà di linearità della derivata. D( ) = D(2 3 ) + D(3 2 ) = 2 D( 3 ) + 3 D( 2 ) = = Derivata del prodotto di due funzioni Rispetto al prodotto di funzioni l operazione di derivazione non si comporta bene come rispetto alla somma: la derivata del prodotto di due funzioni, infatti, non è il prodotto delle derivate dei due fattori, come ci si può rendere conto

75 3.3 algebra delle derivate 71 considerando le due funzioni f() = g() =. Abbiamo infatti f() g() = 2, quindi D[f() g()] = D( 2 ) = 2 mentre f () g () = 1 1 = 1 Il legame fra la derivata del prodotto e le derivate dei fattori è espresso nella seguente proposizione. Proposizione 8. Siano f e g due funzioni derivabili in ; allora la funzione f g è derivabile in e vale la formula: D[f() g()] = f () g() + f() g () Nella pratica la proposizione precedente si usa secondo il seguente slogan : «la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda, più la prima funzione moltiplicata per la derivata della seconda». Esercizio 61. Calcola la derivata di f() = 3 ln. Soluzione. f () = ( 3 ) ln + 3 (ln ) = (3 2 ) ln + 3 ( 1 ) = 32 ln Derivata del quoziente di due funzioni Anche la derivata del quoziente di due funzioni non è il quoziente delle derivate (sai trovare un controesempio?). Il legame tra le derivate di f e di g e la derivata di f/g è espresso nella prossima proposizione. Proposizione 9. Siano f e g due funzioni derivabili in e sia g() 0; allora la funzione f/g è derivabile in e risulta: [ ] f() D = f () g() f() g () g() [g()] 2 Esercizio 62. Calcola la derivata di f() = 1. Soluzione. f () = () ( 1) ( 1) ( 1) 2 = 1 ( 1) 1 ( 1) 2 = 1 ( 1) 2 = 1 ( 1) 2

76 72 derivate Tabella 7: Riepilogo sulle derivate (a) Derivate fondamentali (b) Principali regole di derivazione Funzione Derivata c (costante), c R 0 n, n intero 1 2 e ln n n 1 e 1 Funzione f() + g() c f() f() g() f() g() [f()] n Derivata f () + g () c f () f () g() + f() g () f () g() f() g () [g()] 2 n [f()] n 1 f () Derivata della potenza di una funzione Consideriamo la funzione: = ( 3 + 1) 4 Le regole di derivazione che abbiamo imparato finora non permettono di calcolarne la derivata in modo semplice. Per calcolare la derivata è utile la seguente formula, che generalizza la regola di derivazione di una potenza nel caso in cui la base è diversa da : D[f()] n = n [f()] n 1 f () La derivata della funzione si calcola dunque nel modo seguente: D[( 3 + 1) 4 ] = 4 ( 3 + 1) 3 } {{ } } {{ } derivata della derivata della potenza potenza di una funzione valutata nella base }{{} 3 2 = 12 2 ( 3 + 1) 3 derivata della base Esercizio 63. Calcola la derivata della funzione f() = ( 2 + 1) 3. Soluzione. D[( 2 + 1) 3 ] = 3 ( 2 + 1) 2 ( 2 + 1) = 3 ( 2 + 1) 2 2 = 6( 2 + 1) 2 Riepilogo Con la regole di derivazione della potenza di una funzione abbiamo concluso la presentazione delle regole di calcolo delle derivate. La tabella 7 riassume tutte le formule e le regole di derivazione che abbiamo incontrato.

77 3.4 funzioni crescenti e decrescenti 73 f(b) f(a) f(a) f(b) a b a b (a) Una funzione crescente: per ogni a < b risulta che f(a) < f(b) (b) Una funzione decrescente: per ogni a < b risulta che f(a) > f(b) Figura 25: Funzioni crescenti e decrescenti 3.4 funzioni crescenti e decrescenti Questo paragrafo mette in luce alcune relazioni che legano le proprietà della derivata prima di una funzione alle caratteristiche del grafico della funzione. Definizione 15. Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione = f(): f si dice crescente in I se a < b implica f(a) < f(b) per ogni a, b I f si dice decrescente in I se a < b implica f(a) > f(b) per ogni a, b I Vedi la figura 25. Cominciamo a evidenziare un legame tra il segno della derivata di una funzione e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Proposizione 10. Sia f una funzione derivabile in un intervallo I: se f () > 0 per ogni I, allora f è crescente in I se f () < 0 per ogni I, allora f è decrescente in I La proposizione precedente è lo strumento comunemente impiegato per individuare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente: basta calcolare la derivata prima e studiarne il segno, risolvendo la disequazione f () 0. Esercizio 64. Data la funzione f() = 3 3 determina gli intervalli in cui è crescente e quelli in cui è decrescente. Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione: f () = 3 2 3

78 74 derivate f(a) ma f() f() f(a) min a a (a) La funzione ha un massimo in a (b) La funzione ha un minimo in a Figura 26: Massimi e minimi Studiamo il segno della derivata: Risolviamo l equazione associata: = 0 = 3 2 = 3 = 2 = 1 = = ±1 Disegniamo la parabola associata. 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata: f f dove abbiamo indicato con una freccia rivolta verso l alto gli intervalli in cui la funzione è crescente e con una freccia rivolta verso il basso l intervallo in cui la funzione è decrescente. Quindi la funzione: cresce se < 1 > 1 decresce se 1 < < 1 Vedi la figura 27b.

79 3.4 funzioni crescenti e decrescenti 75 Definizione 16. Si dice che una funzione ha un massimo in un punto a del proprio dominio se in un intorno I di a si ha che f(a) () per ogni I. Si dice che una funzione ha un minimo in un punto a del proprio dominio se in un intorno I di a si ha che f(a) f() per ogni I. Vedi la figura 27. Dalla proposizione 10 segue un importante criterio per la ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione. Proposizione 11. Sia f una funzione derivabile in un intorno di a: se esistono un intorno sinistro di a in cui f > 0 e un intorno destro in cui f < 0, allora a è un punto di massimo per f se esistono un intorno sinistro di a in cui f < 0 e un intorno destro in cui f > 0, allora a è un punto di minimo per f Esercizio 65. Determina i massimi e i minimi della funzione f() = 3 3. Soluzione. Riprendiamo l esercizio 64 e la tabella dei segni della derivata. Per la proposizione precedente, si ha che 1 è un punto di massimo, mentre 1 è un punto di minimo per la funzione. f f ma min Calcoliamo l ordinata dei punti di massimo e del punto di minimo: f( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) = = 2 f(1) = = 1 3 = 2 La figura 27b riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni. Esercizio 66. Data la funzione f() = determina gli intervalli in cui è crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi.

80 76 derivate 3 ma min min 3 (a) = (b) = ma min 1 min (c) = (d) = min = min ma (e) = 2 1 (f) = Figura 27: Massimi e minimi di alcune funzioni algebriche

81 3.4 funzioni crescenti e decrescenti 77 Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione: f () = 2 4 Studiamo il segno della derivata: = 2 2 Costruiamo la tabella dei segni della derivata. f f 2 + min Quindi la funzione: decresce se < 2 cresce se > 2 ha un minimo in = 2 Calcoliamo l ordinata del punto di minimo: f(2) = = = 1 La figura 27a riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni. Esercizio 67. Data la funzione f() = 3 3 determina gli intervalli in cui è crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi. Soluzione. Vedi gli esercizi 64 e 65, e la figura 27b. Esercizio 68. Data la funzione f() = determina gli intervalli in cui è crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi. Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione: f () = Studiamo il segno della derivata: = 3 0 = ( 1)( + 1) 0 Studiamo il segno di ciascun fattore.

82 78 derivate Primo fattore: 0 0 Secondo fattore: 1 0 = 1 1 Terzo fattore: = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata. F 1 F 2 F f f + + min ma min Quindi la funzione: decresce se < 1 0 < < 1 cresce se 1 < < 0 > 1 ha due minimi, uno in = 1 e l altro in = 1 ha un massimo in = 0 Calcoliamo l ordinata dei punti di minimo e del punto di massimo: f(±1) = (±1) 4 2 (±1) 2 = 1 2 = 1 f(0) = = 0 La figura 27c riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni.

83 3.4 funzioni crescenti e decrescenti 79 Esercizio 69. Data la funzione f() = 2 4 determina gli intervalli in cui 1 è crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi. Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione: f () = 2 ( 1) (2 4) ( 1) 2 = ( 1) 2 = 2 ( 1) 2 Studiamo il segno della derivata: 2 ( 1) 2 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: 2 0 Denominatore: ( 1) Costruiamo la tabella dei segni della derivata. N D f + + f Quindi la funzione: cresce se < 1 > 1 non è definita in = 1 La figura 27d riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni.

84 80 derivate Esercizio 70. Data la funzione f() = determina gli intervalli in cui è 1 crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi. 2 Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione: f () = 2 ( 1) 2 1 ( 1) 2 = ( 1) 2 = 2 2 ( 1) 2 Studiamo il segno della derivata: 2 2 ( 1) 2 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: da cui Disegniamo la parabola associata = 0 = ( 2) = 0 = 0 = Denominatore: ( 1) Costruiamo la tabella dei segni della derivata. N D f f + + ma min

85 3.4 funzioni crescenti e decrescenti 81 Quindi la funzione: cresce se < 0 > 2 decresce se 0 < < 1 1 < < 2 ha un massimo in = 0 ha un minimo in = 2 non è definita in = 1 Calcoliamo l ordinata del punto di massimo e del punto di minimo: f(0) = = 0 f(2) = = 4 La figura 27e riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni. Esercizio 71. Data la funzione f() = determina gli intervalli in cui 1 è crescente e quelli in cui è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi. Soluzione. Calcoliamo la derivata della funzione: f () = 2 (2 1) ( 2 4) 2 ( 2 1) 2 = ( 2 1) 2 = Studiamo il segno della derivata: 6 ( 2 1) 2 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore. 6 ( 2 1) 2 Numeratore: Denominatore: 6 0 = 0 0 ( 2 1) Costruiamo la tabella dei segni della derivata.

86 82 derivate f(b) f(a) f(a) f(b) a b a b (a) Una funzione convessa (b) Una funzione concava Figura 28: Funzioni concave e convesse N D f f + + min Quindi la funzione: decresce se < 1 1 < < 0 cresce se 0 < < 1 > 1 ha un minimo in = 0 non è definita in = ±1 Calcoliamo l ordinata del punto di minimo: f(0) = = 4 La figura 27f riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni. 3.5 funzioni convesse e concave. flessi Nel paragrafo precedente abbiamo visto quali legami sussistono tra il grafico di una funzione e la sua derivata prima. In questo paragrafo mostreremo i legami tra il grafico di una funzione e la sua derivata seconda. Introduciamo innanzitutto le seguenti definizioni.

87 3.5 funzioni convesse e concave. flessi 83 Definizione 17. Una funzione si dice convessa (o con la concavità rivolta verso l alto) in un intervallo I se per ogni coppia di punti a, b I il segmento che congiunge i punti (a, f(a)) e (b, f(b)) è al di sopra del grafico di f. Definizione 18. Una funzione si dice concava (o con la concavità rivolta verso il basso) in un intervallo I se per ogni coppia di punti a, b I il segmento che congiunge i punti (a, f(a)) e (b, f(b)) è al di sotto del grafico di f. Vedi la figura 28. Le definizioni precedenti sono del tutto generali, nel senso che valgono per qualsiasi funzione. Tuttavia sono poco operative. Per ottenere delle regole di calcolo pratiche per stabilire gli intervalli dove una funzione è concava o convessa, dobbiamo itarci a funzioni sufficientemente regolari. Richiedendo che la funzione f sia derivabile due volte, si può dimostrare la validità della seguente proposizione. Proposizione 12. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo I: se f () > 0 per ogni I, allora f è convessa in I se f () < 0 per ogni I, allora f è concava in I Esercizio 72. Data la funzione = 3 3, determina gli intervalli in cui è convessa o concava. Soluzione. La funzione è derivabile infinite volte nell insieme dove è definita, quindi possiamo usare il criterio espresso dalla proposizione precedente. Calcoliamo la derivata seconda: f () = f () = 6 Studiamo il segno della derivata seconda: 6 0 = 0 0 Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda: f 0 +

88 84 derivate fle fle (a) (b) Figura 29: Le funzioni hanno entrambe un flesso nell origine dove abbiamo indicato con una parabola con la concavità rivolta verso l alto l intervallo in cui la funzione è convessa e con una parabola con la concavità rivolta verso il basso l intervallo in cui la funzione è concava. Quindi la funzione: volge la concavità verso il basso se < 0 volge la concavità verso l alto se > 0 Vedi la figura 30b. I concetti di funzione convessa e concava appena introdotti permettono di definire la nozione di flesso. Definizione 19. Si dice che una funzione ha un flesso in un punto a del proprio dominio se esiste un intorno destro di a in cui f è convessa (concava) e un intorno sinistro di a in cui f è concava (convessa). In altre parole, i flessi di una funzione sono i punti in cui il grafico cambia la concavità (figura 30). Dalla proposizione 12 segue un importante criterio per la ricerca dei flessi di una funzione. Proposizione 13. Se a è un punto in cui f cambia segno, allora a è un punto di flesso. In pratica, per trovare i flessi di una funzione si calcola la derivata seconda, si studia il segno di f risolvendo la disequazione f () 0 e si determinano gli intervalli in cui la funzione f è convessa e quelli in cui è concava. Gli eventuali punti di flesso si trovano tra gli zeri di f : se in corrispondenza di uno di questi zeri f cambia segno, allora tale zero è un punto di flesso.

89 3.5 funzioni convesse e concave. flessi 85 3 ma 2 fle min min 3 (a) = (b) = ma 2 1 fle fle 1 2 min 1 min (c) = (d) = min = min ma (e) = 2 1 (f) = Figura 30: Flessi di alcune funzioni algebriche

90 86 derivate Esercizio 73. Determina gli eventuali flessi della funzione f() = 3 3. Soluzione. Riprendiamo l esercizio 72 e la tabella dei segni della derivata seconda. f f 0 + fle Per la proposizione precedente, si ha che 0 è un punto di flesso per la funzione. Calcoliamo l ordinata del flesso: f(0) = = 0 La figura 30b riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni. Esercizio 74. Data la funzione = , determina gli intervalli in cui è convessa o concava, e gli eventuali flessi. Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda: f = 2 4 f = 2 Studiamo il segno della derivata seconda: 2 0 che è sempre verificata. Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda. f + f Quindi la funzione: volge sempre la concavità verso l alto non ha flessi Vedi la figura 30a.

91 3.5 funzioni convesse e concave. flessi 87 Esercizio 75. Data la funzione = 3 3, determina gli intervalli in cui è convessa o concava, e gli eventuali flessi. Soluzione. Vedi gli esercizi 72 e 73, e la figura 30b. Esercizio 76. Data la funzione = 4 2 2, determina gli intervalli in cui è convessa o concava, e gli eventuali flessi. Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda: f = f = Studiamo il segno della derivata seconda: = Risolviamo l equazione associata: = 0 = 2 = = = ± 3 = ± 1 3 = ± 3 3 Disegniamo la parabola associata Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda. f f fle fle Quindi la funzione: 3 3 volge la concavità verso l alto se < 3 > volge la concavità verso il basso se 3 < < 3

92 88 derivate 3 ha due flessi, uno in 3 e l altro in 3 3 Calcoliamo l ordinata dei flessi: ( ) 3 f ± 3 ( = f ± 1 ) ( = ± 1 ) 4 ( 2 ± 1 ) 2 = = 1 6 = La figura 30c riporta il grafico della funzione con le nuove informazioni. Esercizio 77. Data la funzione = 2 4, determina gli intervalli in cui è 1 convessa o concava, e gli eventuali flessi. Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda: f = 2 ( 1) 2 (vedi l esercizio 69) f = 0 ( 1)2 2 2( 1) 4( 1) ( 1) 4 = ( 1) 4 = 4 ( 1) 3 Studiamo il segno della derivata seconda: 4 ( 1) 3 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: 4 0 Denominatore: ( 1) 3 0 = 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda.

93 3.5 funzioni convesse e concave. flessi 89 N D 1 + f + f Quindi la funzione: volge la concavità verso l alto se < 1 volge la concavità verso il basso se > 1 non ha flessi Vedi la figura 30d. Esercizio 78. Data la funzione =, determina gli intervalli in cui è 1 convessa o concava, e gli eventuali flessi. 2 Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda: f = 2 2 ( 1) 2 (vedi l esercizio 70) f = (2 2) ( 1)2 ( 2 [ 2) 2( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( 2 2) ] ( 1) 4 = ( 1) 4 Studiamo il segno della derivata seconda: = 2( 1)( ) 2( 1) ( 1) 4 = ( 1) 4 = 2 ( 1) 3 2 ( 1) 3 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: 2 0

94 90 derivate Denominatore: ( 1) 3 0 = 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda. N D f + f Quindi la funzione: volge la concavità verso il basso se < 1 volge la concavità verso l alto se > 1 non ha flessi Vedi la figura 30e. Esercizio 79. Data la funzione = 2 4 2, determina gli intervalli in cui è 1 convessa o concava, e gli eventuali flessi. Soluzione. Calcoliamo la derivata seconda: f 6 = ( 2 1) 2 (vedi l esercizio 71) f = 6 (2 1) 2 6 2( 2 1)2 ( 2 1) 4 = 6(2 1) ( 2 1) ( 2 1) 4 = (2 1) [6( 2 1) 24 2] ( 2 1) 4 = 6(2 1) 24 2 ( 2 1) 3 = ( 2 1) 3 = ( 2 1) 3 Studiamo il segno della derivata seconda: ( 2 1) 3 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore.

95 3.5 funzioni convesse e concave. flessi 91 Numeratore: = = Disegniamo la parabola associata. Denominatore: ( 2 1) 3 0 = Disegniamo la parabola associata. 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda. N D f + f Quindi la funzione: volge la concavità verso il basso se < 1 > 1 volge la concavità verso l alto se 1 < < 1 non è definita se = ±1 non ha flessi Vedi la figura 30f.

96 92 derivate 3.6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Vero o falso? a. In ogni punto in cui la funzione è definita esiste la derivata. V F b. La derivata di una funzione in un punto non può essere zero. V F c. Se una funzione è continua in a, allora è derivabile in a. V F d. Se una funzione è derivabile in a, allora è continua in a. V F e. La derivata della somma di due funzioni derivabili è la somma delle derivate. V F f. La derivata della differenza di due funzioni derivabili è la differenza delle derivate. V F g. La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è il prodotto delle derivate. V F h. La derivata del quoziente di due funzioni derivabili è il quoziente delle derivate. V F i. La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile è il prodotto della costante per la derivata della funzione. V F j. La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto. V F [5 affermazioni vere e 5 false] 2 Indica la risposta corretta. a. Per calcolare in base alla definizione la derivata della funzione = f() nel punto a = 2, quale dei seguenti iti occorre calcolare? A f(2 + h) f(2) h 0 h C f(2 + h) f(h) h 0 h B f(2 h) f(2) h 0 h D f(2 h) f(h) h 0 h b. Per calcolare in base alla definizione la derivata della funzione = f() nel punto a = 0, quale dei seguenti iti occorre calcolare? A f(h) + f(0) h 0 h B f(h) f(0) h 0 h C f(h) h 0 h D f( h) h 0 h c. Per calcolare in base alla definizione la derivata della funzione = 2 nel punto a = 2, quale dei seguenti iti occorre calcolare?

97 3.6 esercizi 93 A h h 0 h C ( 2 + h) 2 4 h 0 h B ( 2 + h) h 0 h D h 2 4 h 0 h d. Per calcolare in base alla definizione la derivata nel punto = 0 di una funzione = f() tale che f(0) = 0, quale dei seguenti iti occorre calcolare? A f( h) h 0 h B f(h) h 0 h C f(h) h 0 h D f(h) h 0 h [Una risposta A, una B, una C e una D] 3 Ciascuno dei iti riportati nella prima colonna rappresenta la derivata di una funzione f in un punto a indicato. Fai le associazioni corrette. (2 + h) 3 8 a. h 0 h ( 2 + h) b. h 0 h (4 + h) 2 16 c. h 0 h ( 4 + h) 2 16 d. h 0 h A. f() = 2, a = 4 B. f() = 2, a = 4 C. f() = 3, a = 2 D. f() = 3, a = 2 4 Vero o falso? a. La derivata di = 2 è 2 V F b. La derivata di = 5 è 5 V F c. La derivata di = 5 è 5 V F d. La derivata di = 2 è 2 V F e. La derivata di = 2 è 0 V F f. La derivata di = 1 è 1 2 V F g. La derivata di = è 0 V F [2 affermazioni vere e 4 false] Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la proprietà di linearità della derivata. 5 = [ 3 2 ] [ 10 = 2 2 ln + e 2 2 ] + e 6 = + 2 [1 + 2] 7 = [ ] 8 = [ ] 9 = ln + [ ] = 3 2 ln 12 = e ln [ ] [ e 1 ] Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la formula della derivata del prodotto.

98 94 derivate 13 = ( 2 + 1)( + 1) [ ] 14 = ( 2 1)( 2 + 3) [ ] 15 = ( + 2)( 2 1) [ ] 16 = (2 + 1)e [(2 + 3)e ] 17 = ( 2 ) ln [(1 2) ln + 1] 18 = 2 ln [(2 ln + 1)] 19 = e [( + 1)e ] 20 = ln [ln + 1] 21 = 2 e [ ( 2 + 2)e ] 22 = e ( ) [ e ( 2 + 1) ] Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la formula della derivata del quoziente. 23 = = 2 25 = = = = = [ ] 2 ( 1) 2 [ ] 2 ( 2) 2 [ 10 ] ( 2 4) 2 [ ] 2 ( 2 + 1) 2 [ 2 ( 2 ] + 3) ( 2 + 1) 2 [ ] 7 ( + 3) 2 [ 2 ] + 6 ( + 3) 2 30 = = = = ln 3 34 = e e 1 35 = 2 + e 36 = e ln 1 [ ] 1 ( 2) 2 [ ] 14 (3 2 1) 2 [ ] ( 2 + 1) [ 2 ] 1 3 ln 4 e [ ] (e 1) 2 [ 2 e ] ( 2) ( + e ) [ 2 e ] ( ln 1) (ln 1) 2 Calcola la derivata delle seguenti funzioni, usando la formula della derivata della potenza di una funzione. 37 = ( 2 + 3) 2 [ 4( 2 + 3) ] 39 = (3 + 1)3 [ 9 2 ( 3 + 1) 2] 38 = (3 2 1) 2 [ 12(3 2 1) ] 40 = (3 2 1) 5 [ 30(3 2 1) 4] Calcola la derivata delle seguenti funzioni. 41 = 3 2 ( 3 + 1) 42 = = = = ( 1) 2 ( + 1) [ ] [ 17 (2 + 5) 2 ] [ 2 2 ] 2 (2 1) 2 ] [ 62 ( 3 1) 2 [ ] 46 = (1 e ) 2 [2 e ( + 2)] 47 = ln [ ln ] 3 48 = e + 2 [e ( + 1) + 2] [ 49 = e e ( 1) 2 ] ( 2 + 1) 2 50 = 2 ( 3 [ + 1) ] 51 = [ ] 3 52 = e ( ) [e ( + 1)( + 3)]

99 3.6 esercizi = ln 2 54 = [ ] 1 2 ln [ 2 2 ] + 2 (2 + 1) 2 55 = 3 ( 2 + 2) 56 = [ ] [ 2 3 ] Determina gli intervalli dove le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti e gli eventuali massimi e minimi (nelle risposte sono indicati gli intervalli in cui ciascuna funzione è crescente e le ascisse di eventuali massimi e minimi). [ 57 = > 3 2 ; minimo per = 3 ] 2 58 = 3 3 [ < 1 > 1; massimo per = 1 e minimo per = 1] 59 = [ 1 < < 0 > 1; minimi per = ±1, massimo per = 0] 60 = [crescente per ogni R] 61 = [ < 12 > 1; massimo per = 12 ] e minimo per = 1 62 = [ < 0; massimo per = 0] 63 = [ < 3; massimo per = 3] 64 = [crescente per ogni R] 65 = [ 2 < < 0 > 2; minimi per = ±2, massimo per = 0] 66 = = = = 2 3 [ < 2 3 > 2 3; massimo per = 2 3, minimo per = 2 ] 3 [ > 0; minimo per = 0] [ > 0, con 1; minimo per = 0] [ < 0 0 < < 3 2 ; massimo per = 3 ] 2 70 = [ < 3 > 3; massimo per = 3, minimo per = 3 71 = [ 3 < < 3; massimo per = 3, minimo per = 3] 72 = [ 4 < < 1; minimo per = 4, massimo per = 1] = 5 4 [ 2 < 1 1 < < 12 1 > 2; massimo per = 12 ], minimo per = 2 74 = 2 4 ( + 1) 2 [ < 4 > 1; massimo per = 4] 75 = 3 [ 2 < 3 > 3; massimo per = 3, minimo per = ] = [ > 3; minimo per = 3] ]

100 96 derivate ( 1)2 77 = ( + 1) 3 [1 < < 5; minimo per = 1; massimo per = 5] 78 = 2 [ 2 < < 2; massimo per = 2; minimo per = 2] = 2 [ < 6 > 0; minimo per = 0; massimo per = 6] + 3 [ 80 = ( 1) 2 < 1 3 > 1; massimo per = 1 ] 3, minimo per = 1 81 = 3 ( 1) [ > 3 4 ; minimo per = 3 ] 4 Studia la concavità delle seguenti funzioni e determinane gli eventuali flessi (nelle risposte sono indicati gli intervalli in cui ciascuna funzione è convessa e le ascisse degli eventuali punti di flesso). 82 = [ > 1; flesso per = 1] 83 = [ > 0; flesso per = 0] 84 = [ > 2; flesso per = 2] 85 = [ 1 < < 1; flessi per = ±1] [ 86 = ( 1) 3 < 1 2 > 1; flessi per = 1 ] 2 = 1 87 = [ < 0 > 2; flessi per = 0 = 2] 88 = [ 2 < < 0 > 1; flessi per = 2 = 0 = 1] 89 = [convessa per ogni R] [ ] 90 = < < ; flessi per = ± = [ < 1 > 1; flessi per = ±1] 92 = [ > 1; flesso per = 1] 93 = 4 12 [ 2 < 2 > 2; flessi per = ± ] 2 94 = ( 2) 3 [ > 2; flesso per = 2] 95 = [ < 0; non ci sono flessi] 96 Data la funzione = , verifica che è crescente e che ha un flesso, che devi determinare. [ = 1/3] 97 Data la funzione =, verifica che è decrescente nei due intervalli (, 2) 2 e (2, + ), studiane la concavità e stabilisci se ha flessi. [convessa per > 2; non ha flessi] 98 Indica la risposta corretta. a. Quale dei seguenti è un punto di massimo per la funzione = 3 2 2?

101 3.6 esercizi 97 A = 3 4 B = 4 3 C = 3 4 D = 4 3 b. La funzione = presenta per = 0: 4 A un minimo B un massimo C un flesso D uno zero c. Quale dei seguenti è un punto di flesso per la funzione = f() = ? A = 0 B = 1 C = 2 D f non ha flessi d. Quale dei seguenti è un punto di flesso per la funzione = f() = ? A = 1 B = 0 C = 1 D f non ha flessi e. Sia f una funzione derivabile due volte in R. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? A Se la funzione è decrescente in R, non può essere positiva in tutto R. B Se la derivata prima è positiva in R, la funzione è crescente in R. C Se in un punto si annulla la derivata, allora quel punto può essere di flesso. D Se la derivata seconda è negativa in R, la funzione è concava in R. 99 Vero o falso? [Due risposte A, una B, una C e una D] a. La funzione f() = 2 è sempre concava in R. V F b. La funzione f() = 2 ha un minimo per = 0. V F c. La funzione f() = 3 è sempre crescente in R. V F d. La funzione f() = 3 è sempre convessa in R. V F e. La funzione f() = ha un massimo per = 0. V F [3 affermazioni vere e 2 false]

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103 4 S T U D I O D I F U N Z I O N E Tutto il nostro corso di matematica si è sviluppato attorno al concetto di funzione. Abbiamo introdotto varie classi di funzioni algebriche (intere, fratte, irrazionali) e trascendenti e ci siamo via via occupati di alcuni aspetti che riguardano lo studio di una funzione: la determinazione del dominio, la determinazione di eventuali punti di intersezione con gli assi, lo studio del segno e il riconoscimento di eventuali simmetrie (nel capitolo 1); lo studio del comportamento di una funzione agli estremi del dominio e la ricerca degli asintoti (nel capitolo 2); la ricerca degli intervalli dove una funzione cresce o decresce e degli intervalli dove è concava o convessa (nel capitolo 3). È ora venuto il momento di organizzare in un quadro unitario tutto quanto abbiamo appreso: in questo capitolo, dunque, non introdurremo nuovi concetti ma vedremo come gli strumenti che abbiamo acquisito ci consentono di effettuare uno studio completo di una funzione. Mettiamo in pratica lo schema illustrato poc anzi applicandolo allo studio di alcune funzioni, focalizzando la nostra attenzione sulle funzioni algebriche intere e fratte. Esercizio 80. Studia la funzione = Dominio Si tratta di una funzione intera, quindi il suo dominio è R. Vedi la figura 31a. Intersezioni con gli assi Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = 2 ( 2 2) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: 2 = = 0 da cui = 0 = ± 2

104 100 studio di funzione Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 2, 0) (0, 0) ( 2, 0) Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 31b. Segno Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: = 2 ( 2 2) 0 Studiamo il segno di ciascun fattore. Primo fattore: Secondo fattore: Risolviamo l equazione associata: 2 2 = 0 = = ± 2 Disegniamo la parabola associata. 2 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. 2 F 1 F f + +

105 studio di funzione (a) (b) (c) (d) ma min min (e) ma 2 1 fle fle min min (f) Figura 31: La funzione = 4 2 2

106 102 studio di funzione Quindi la funzione: è positiva se < 2 > 2 è nulla se = 2 = 0 = 2 è negativa altrimenti Vedi la figura 31c. Simmetrie Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 2( ) 2 = = f() Concludiamo che la funzione è pari. Asintoti e grafico probabile Calcoliamo i iti agli estremi del dominio e troviamo gli eventuali asintoti. Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali. Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i iti della funzione per ±. ± (4 2 2 ) = ± 4 = + Poiché tali iti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali. Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo: f() ± = ± = ± (3 2) = ± 3 = ± Poiché tali iti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui. Vedi la figura 31d. Massimi e minimi Calcoliamo la derivata della funzione: f () = Studiamo il segno della derivata: = 3 0 = ( 1)( + 1) 0 Studiamo il segno di ciascun fattore.

107 studio di funzione 103 Primo fattore: 0 0 Secondo fattore: 1 0 = 1 1 Terzo fattore: = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata. F 1 F 2 F f f + + min ma min Quindi la funzione: decresce se < 1 0 < < 1 cresce se 1 < < 0 > 1 ha due minimi, in = ±1 ha un massimo in = 0 Calcoliamo l ordinata dei punti di minimo e del punto di massimo: Vedi la figura 31e. f(±1) = (±1) 4 2 (±1) 2 = 1 2 = 1 f(0) = = 0

108 104 studio di funzione Concavità e flessi Calcoliamo la derivata seconda: f = f = Studiamo il segno della derivata seconda: = Risolviamo l equazione associata: = 0 = 2 = 1 3 Disegniamo la parabola associata. 1 = = ± 3 = ± 1 3 = ± Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda. f f fle fle Quindi la funzione: 3 3 volge la concavità verso l alto se < 3 > volge la concavità verso il basso se 3 < < ha due flessi, uno in e l altro in 3 3 Calcoliamo l ordinata dei flessi: ( ) 3 f ± = f (± 1 ) 3 = 3 ( ± 1 3 ) 4 2 ( ± 1 ) 2 = = 1 6 = Le figure 31f e 32 riportano il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate.

109 studio di funzione 105 ma min fle fle min Figura 32: La funzione = 4 2 2

110 106 studio di funzione Esercizio 81. Studia la funzione = 2 1. Dominio È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò dom f = R \ { 1 } Vedi la figura 33a. Intersezioni con gli assi Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, 2 1 = 0 2 = 0 = = 0 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 33b. Segno Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

111 studio di funzione (a) (b) 4 = (c) (d) 4 min = min = + 1 ma ma (e) (f) Figura 33: La funzione = 2 1

112 108 studio di funzione Numeratore: Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + Quindi la funzione: è positiva se > 1 è nulla se = 0 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 33c. Limiti e asintoti abliqui Il dominio della funzione è R \ { 1 }, quindi, essendo inferiormente e superiormente ilitato, ha senso indagare sul comportamento della funzione sia per sia per +. Abbiamo che: ± 2 1 = 2 ± = = ± ± quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui. Abbiamo: f() ± = ± 2 ( 1) = ± 1 = ± = 1 = m = 1

113 studio di funzione 109 Poiché tale ite è finito, ha senso continuare: [f() m] = ± ± = ± [f() 1 ] ( 2 ) 1 2 ( 1) = ± = ± 1 = ± = ± 1 = 1 = q = 1 Concludiamo che c è un asintoto obliquo di equazione = + 1. Vedi la figura 33d. Massimi e minimi Calcoliamo la derivata della funzione: f () = 2 ( 1) 2 1 ( 1) 2 = ( 1) 2 = 2 2 ( 1) 2 Studiamo il segno della derivata: 2 2 ( 1) 2 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: da cui Disegniamo la parabola associata = 0 = ( 2) = 0 = 0 = 2 0 2

114 110 studio di funzione Denominatore: ( 1) Costruiamo la tabella dei segni della derivata. N D f f + + ma min Quindi la funzione: cresce se < 0 > 2 ha un minimo in = 2 decresce se 0 < < 1 1 < < 2 ha un massimo in = 0 non è definita in = 1 Calcoliamo l ordinata del punto di massimo e del punto di minimo: f(0) = = 0 f(2) = = 4 La figura 33e riporta il grafico della funzione con tutte le informazioni trovate. Concavità e flessi Calcoliamo la derivata seconda: f = 2 2 ( 1) 2 f = (2 2) ( 1)2 ( 2 2) 2( 1) 2( 1) ( 1) 4 = Studiamo il segno della derivata seconda: [ ( 1) 2 ( 2 2) ] ( 1) 4 = 2( 1)( ) 2( 1) ( 1) 4 = ( 1) 4 = 2 ( 1) 3 2 ( 1) 3 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore.

115 4.1 esercizi 111 Numeratore: 2 0 Denominatore: ( 1) 3 0 = 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della derivata seconda. N D f + f Quindi la funzione: volge la concavità verso il basso se < 1 volge la concavità verso l alto se > 1 non ha flessi Vedi le figure 33f e esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Traccia, se possibile, il grafico di una funzione che soddisfi le seguenti proprietà: a. è definita in R \ { 1, 1 } b. ha come asintoti verticali = ±1

116 112 studio di funzione 4 min = + 1 ma 1 2 Figura 34: La funzione = 2 1

117 4.1 esercizi 113 c. ha come asintoto orizzontale = 3 d. ha un minimo di coordinate (0, 2) 2 Traccia, se possibile, il grafico di una funzione che soddisfi le seguenti proprietà: a. è definita in R \ { 0 } b. interseca l asse in ( 1, 0) c. è concava e decrescente per < 0 d. ha come asintoto obliquo = Studia le seguenti funzioni. ( 1 3 = ( 2) [min 3 4 = (2 1) 2 3 2, [ asintoti: = 0, =, ma( 1, 0), min(1, 0), flessi: [ ) ], flessi: (2, 0) e (1, 1) 5 = asintoti: = 1, ma(0, 1), flessi: + 1 ( 1 6 = 9( 1) [ma 2 3, 4 ), min(1, 0), flesso: 3 [ ( asintoti: = 1, = 1, ma 4, = 2 4 ( + 1) 2 Studia le seguenti funzioni. ( ± 3, ± 4 )] 3 9 ) ] ( 3 ± 3, 1 2 ( 2 3, 2 )] 3 )] ) (, flesso: ma 11 2, = 2 4 (figura 35a) 9 = 3 (figura 35b) 10 = 4 (figura 35c) 11 = 1 (figura 35d) 12 = 1 2 (figura 35e) = 2 (figura 35f) 1

118 114 studio di funzione 2 fle 4 (a) = 2 4 (b) = 3 min (c) = 4 (d) = 1 1 ma fle fle fle (e) = (f) = 2 1 Figura 35: Grafici di alcune funzione algebriche intere e fratte