LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

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1 LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto i soli sistemi lineari, invarianti e a parametri concentrati 3. è riferita ai sistemi in condizioni iniziali nulle (ossia che si trovano inizialmente in stato di quiete La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici

2 Detta X(s la L-trasformata dell ingresso x(t Detta Y(s la L-trasformata dell uscita y(t Si definisce H(s(F.d.T. come H(s=Y(s/X(s Dominio del tempo Trasformata (Laplace Dominio della s x(t h(t y(t X(s H (s = Y(s X(s Y(s La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 2

3 ALCUNE OSSERVAZIONI SULLA F.D.T. NEL DOMINIO DELLE s. Prenderemo in considerazione solo f.d.t. costituite da funzioni razionali fratte 2. La f.d.t. è dipendente solo da parametri del sistema ed è quindi tipica per ciascun sistema 3. In caso di sollecitazione con impulso unitario, avendo questo L-trasformata pari a, si può affermare che l uscita si identifica con la f.d.t. stessa 4. Per la determinazione delle f.d.t. si farà uso delle impedenze generalizzate come già visto nello studio dei transitori La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 3

4 LA FUNZIONE DI RISPOSTA ARMONICA è la f.d.t. definita nel dominio della J. Ha ancora per oggetto i soli sistemi lineari, invarianti e a parametri concentrati 2. Serve per descrivere il comportamento del sistema a regime in presenza di segnali sinusoidali in ingresso 3. L importanza di questo studio è dovuta al fatto che conoscendo il comportamento del sistema ad una sollecitazione sinusoidale ciò permette di estendere i risultati a sollecitazioni con segnali qualsiasi (mediante scomposizione col teorema di Fourier La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 4

5 Si definisce funzione di trasferimento nel dominio della j di un sistema lineare, invariante e con condizioni iniziali nulle il rapporto tra la trasformata di Fourier dell uscita Y(j e la trasformata di Fourier dell ingresso X(j : H(j= Y(j / X(j Dominio del tempo Trasformata (Fourier Dominio della j x(t h(t y(t X(j Y(j H(j = X(j Y(j La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 5

6 ALCUNE OSSERVAZIONI SULLA F.D.T. NEL DOMINIO DELLE J. Grazie ad alcuni teoremi che non verranno esaminati è possibile passare dalla H(s alla H(J o viceversa semplicemente sostituendo s con j 2. È una grandezza che si può ricavare facilmente per via sperimentale in laboratorio con opportune prove 3. Si definisce ordine della funzione di trasferimento il grado del polinomio (in s od in j che compare a denominatore della H(s o della H(j 4. Si definiscono zeri della funzione di trasferimento le radici del polinomio a numeratore della H(s o H(j, si definiscono poli della funzione di trasferimento le radici del polinomio a denominatore della H(s o H(j 5. Anche qui per la determinazione delle f.d.t. si farà uso delle impedenze generalizzate come già visto nello studio dei transitori La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 6

7 RAPPRESENTAZIONE DELLA RISPOSTA ARMONICA SECONDO BODE E NYQUIST Attraverso la funzione di risposta armonica H(j è possibile determinare la risposta a regime del sistema quando in ingresso vi è il segnale sinusoidale per pulsazioni che variano da zero ad infinito. Preso come ingresso un segnale sinusoidale del tipo x(t = A sen( t La risposta a regime di un sistema stabile è data da: y(t = A G( sen( t + Φ( dove G ( = H( j è chiamato guadagno del sistema e rappresenta il modulo della risposta armonica. Mentre Φ( = arg H( j è chiamato sfasamento e rappresenta lo sfasamento fra uscita e ingresso introdotto dal sistema. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 7

8 Diagrammi di Bode Servono a rappresentare la risposta in frequenza di un sistema stabile. Si tratta di due diagrammi distinti:. il diagramma dei guadagni 2. il diagramma degli sfasamenti Il diagramma di Bode dei guadagni (detto anche diagramma delle ampiezze o dei moduli è un diagramma cartesiano in cui sono rappresentati in ascissa le pulsazioni ed in ordinata i guadagni. Considerata l ampia variazione delle grandezze da riportare, per una più comoda rappresentazione si è soliti impiegare sia per le ascisse che per le ordinate la scala logaritmica realizzando così un diagramma a doppia scala logaritmica. Tuttavia è pure utilizzata la rappresentazione del guadagno in decibel ed in questo caso la sola ascissa è in scala logaritmica realizzandosi così un diagramma semilogaritmico. Il guadagno espresso in decibel è legato al guadagno espresso in valore assoluto dalla relazione: Gdb ( = 2 log (G( La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 8

9 Il diagramma di Bode degli sfasamenti: (detto anche diagramma delle fasi o degli argomenti riporta gli sfasamenti tra uscita ed ingresso in funzione della pulsazione. La scala delle ascisse (pulsazioni è logaritmica mentre quella delle ordinate (sfasamenti è lineare, si tratta quindi di un diagramma semilogaritmico. Avremo:. sfasamenti positivi quando l uscita è in anticipo sull entrata, 2. sfasamenti negativi in caso contrario. L espressione analitica sarà: Φ( = arg(h(j Spesso si tracciano i diagrammi di Bode asintotici che sono costituiti non da curve che identificano il guadagno o la fase per ogni singolo valore di pulsazione bensì da spezzate i cui vertici individuano le pulsazioni d angolo nelle quali si ha un cambiamento della pendenza dei diagrammi. Si osserva inoltre che ha senso parlare di funzione di risposta armonica solo per sistemi stabili in quanto se il sistema non fosse stabile non si potrebbe individuare alcuna risposta a regime. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 9

10 Esempio: tracciare la rappresentazione della funzione di risposta armonica mediante i diagrammi di Bode per l assegnata funzione di trasferimento: H(s = (s + (s + 2 H(j = (j + (j + 2 Gdb = 2 log H(j Φ( = arg(h(j diagramma di Bode dei guadagni: La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici

11 diagramma di Bode degli sfasamenti: La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici

12 Diagramma di Nyquist Se rappresentiamo la funzione di risposta armonica H(j sul piano complesso avremo che per ogni valore di la funzione stessa sarà rappresentata da un vettore uscente dall origine ed il cui estremo si troverà in un punto che avrà come ascissa e ordinata rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della H(j. Va inoltre detto che:. il modulo di questo vettore rappresenterà il guadagno 2. mentre l angolo formato col semiasse positivo reale rappresenterà lo sfasamento introdotti dalla funzione di risposta armonica. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 2

13 Facendo variare da zero ad infinito il vettore descriverà col suo estremo un luogo di punti che viene chiamato appunto diagramma di Nyquist. Tale diagramma viene completato facendo percorrere al vettore rappresentante la funzione di risposta armonica anche il campo ipotetico di frequenze negative. Il diagramma di Nyquist rappresenta pertanto in forma polare il guadagno della funzione e lo sfasamento, la pulsazione vi appare come variabile implicita e viene indicata in corrispondenza di alcuni punti della curva. Sul diagramma si mettono spesso in evidenza il punto corrispondente a guadagno unitario e sfasamento -8 (detto comunemente punto a guadagno - e la circonferenza corrispondente al guadagno unitario. Questi elementi verranno utilizzati per la valutazione della stabilità dei sistemi in retroazione. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 3

14 Esempio: tracciare la rappresentazione della funzione di risposta armonica mediante il diagramma di Nyquist per l assegnata funzione di trasferimento. H(s = (s + (s + 2 H(j = (j+ (j+ 2 Gdb = 2log H(j Φ( = arg( H(j,4,3 asse immaginario,2, = -, -,2 =2,5 = -,3 = -, asse reale La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 4

15 Criterio di esecuzione dei diagrammi di Bode Per eseguire i diagrammi di Bode la funzione di trasferimento deve essere espressa nella forma di Bode con la quale sono evidenziati gli zeri, i poli ed il guadagno statico (detto anche costante di Bode o fattore di trasferimento, ovvero il valore della funzione in corrispondenza di s =. Per prima cosa si scompongono in fattori il numeratore ed il denominatore: H(s = b m a n s m s n + b + a m n s s m n b a s + b s + a = b a m n (s z (s p (s z (s p (s z... (s p m n dove ovviamente zi e pi sono i generici zeri e poli della f.d.t. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 5

16 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 6 Raccogliendo poi a fattore comune al numeratore gli zeri ed al denominatore i poli (entrambi cambiati di segno: Il fattore costante: Che può essere sia positivo che negativo, prende il nome di guadagno statico (o costante di Bode o fattore di trasferimento ed è facile verificare che è il valore della H(s quando s =. p s (... p s ( p s ( z s (... z s ( z s ( p (... p ( p ( a z (... z ( z ( b H(s n 2 m 2 n 2 n m 2 m = p (... p ( p ( a z (... z ( z ( b K n 2 n m 2 m =

17 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 7 Si definisce forma canonica della funzione di trasferimento (in s quella che evidenzia il guadagno statico e le costanti di tempo: Quindi è necessario fare riferimento alla funzione di risposta armonica (in J espressa nella forma canonica: d s (... d s ( d s ( n s (... n s ( n s ( K H(s n 2 m 2 τ + τ + τ + τ + τ + τ + = p j (... p j ( p j ( z j (... z j ( z j ( K H(j n 2 m 2 =

18 Il guadagno della funzione di trasferimento secondo Bode sarà: G db ( = 2 log (G( = 2 log H(j = = 2 log K + 2 log j z + 2 log j z log j z m 2 log j p 2 log j p log j p n Mentre l argomento della funzione di trasferimento secondo Bode sarà: Φ( atg p = arg(h(j atg p2 = atg K + atg z... atg pn + atg z atg zm La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 8

19 Si conclude che per l esecuzione del diagramma del guadagno e del diagramma degli sfasamenti si può sempre procedere con la somma dei diagrammi di funzioni elementari che possono essere solo dei tipi fondamentali qui di seguito elencati. acostante pura, H (j = K In tal caso sia il diagramma dei guadagni che quello degli argomenti hanno andamento rettilineo orizzontale pari a: Gdb ( = 2 log K Φ( = se K >, Φ( = ± 8 se K < I cui andamenti saranno i seguenti: G db ( K > K = Φ( 8 9 K < K > K < K < La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 9

20 b Derivatore puro, H(j = j Nel caso di un derivatore puro il diagramma dei guadagni è una retta a pendenza +, ovvero a pendenza positiva pari a 2 [db/decade] che taglia l asse delle pulsazioni per =. G db ( = 2 log Φ ( = atg = + 9 E I cui andamenti saranno i seguenti: G db ( 6 + Φ( La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 2

21 Altra rappresentazione dei diagrammi di Bode del guadagno (in blù e della fase (in rosso della funzione derivatrice pura H(j= j Diagramma del guadagno Punto a guadagno (= Diagramma degli sfasamenti La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 2

22 c Integratore puro, ( = 2 log Gdb Φ( = atg atg = 9 H(j = j Il diagramma dei guadagni è una retta a pendenza (pendenza negativa di 2 [db/decade] che taglia l asse delle pulsazioni per =. E I cui andamenti saranno i seguenti: G db ( 6 Φ( La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 22

23 Altra rappresentazione dei diagrammi di Bode del guadagno (in blù e della fase (in rosso della funzione integratrice pura H(j= /j Diagramma del guadagno Punto a guadagno (= Diagramma degli sfasamenti La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 23

24 j d Derivatore misto (una costante di tempo in anticipo H(j = z Studiamo per primo il diagramma dei guadagni e facciamo riferimento alla sua esecuzione approssimata asintotica. Per pulsazione generica è: G db ( = 2 log j z = 2 log + z 2 2 A cui corrispondono i due asintoti seguenti: G db ( = per = Gdb ( = 2 log 2 log z per = Sul diagramma di Bode dei guadagni, il primo è una retta orizzontale coincidente con l asse delle pulsazioni, il secondo è una retta di pendenza + che interseca l asse delle pulsazioni al valore A = z. Tale pulsazione è detta pulsazione d angolo o pulsazione di spezzamento. Il valore in decibel del guadagno per la pulsazione d angolo vale: Gdb ( A = 2 log 2 3 [db] La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 24

25 Studiamo ora il diagramma asintotico degli argomenti procedendo in maniera analoga. Per la pulsazione generica si ha: Φ( = atg z A cui corrispondono i due seguenti asintoti orizzontali: Φ( = Φ ( = + 9 se z < oppure Φ( = 9 se z > per = per =, Inoltre in corrispondenza della pulsazione d angolo si verifica che è: Φ z A = atg = + 45 z < Φ( = 45 z > z se oppure se ( A si nota che nell intervallo di pulsazioni comprese tra, z e z il diagramma può essere approssimato da un segmento ad esso tangente nel punto di flesso A= z La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 25

26 Quindi gli andamenti dei diagrammi di Bode saranno: G db ( Φ ( A -9, A A A z = - z = - -8 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 26

27 e Integratore misto (una costante di tempo in ritardo, H ( j = j p Studiamo per primo il diagramma dei guadagni e facciamo riferimento alla sua esecuzione approssimata asintotica. Per pulsazione generica è: G db ( = 2 log = 2 log j 2 p + 2 p A cui corrispondono i due asintoti seguenti: G db ( = per = Gdb( = 2 log + 2 log p per = Sul diagramma di Bode dei guadagni, il primo è una retta orizzontale coincidente con l asse delle pulsazioni, il secondo è una retta di pendenza - che interseca l asse delle pulsazioni al valore A = p. Tale pulsazione è detta pulsazione d angolo o pulsazione di spezzamento. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 27

28 Il valore in decibel del guadagno per la pulsazione d angolo vale: Gdb ( A = 2 log 2 3 [db] Studiamo ora il diagramma asintotico degli argomenti procedendo in maniera analoga. Per la pulsazione generica si ha: Φ( = atg p A cui corrispondono i due seguenti asintoti orizzontali: Φ( = per = Φ( = 9 per = Inoltre in corrispondenza della pulsazione d angolo si verifica che è: p Φ( A = atg = 45 p si nota che nell intervallo di pulsazioni comprese tra, p e p il diagramma può essere approssimato da un segmento ad esso tangente nel punto di flessoa= p La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 28

29 Quindi gli andamenti dei diagrammi di Bode saranno: G db ( 6 Φ ( p = - p = A, A A A La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 29

30 f Sistemi con più zeri reali:.si passa da diagrammi con pendenza + a pendenze di grado superiore (+2,+3, etc mano a mano che si incontrano gli zeri successivi. g Sistemi con più poli reali:.si passa da diagrammi con pendenza - a pendenze di grado superiore (-2,-3, etc mano a mano che si incontrano i poli successivi. Rimangono inoltre da studiare i casi di: h sistemi con poli complessi e coniugati i sistemi con zeri complessi e coniugati La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 3

31 Esempio di tracciamento dei diagrammi di Bode per una funzione di trasferimento assegnata: Sia data per esempio: H(s = 2 s s 3 s s + 2 Per prima cosa scrivo la f.d.t. nella forma canonica evidenziando il guadagno statico. Allo scopo calcolo gli zeri ed i poli della f.d.t. che risultano essere: =, p =, p =, p = z 2 3 Si osserva che il sistema è stabile essendo tutti i poli a parte reale negativa, quindi è lecito cercarne la funzione di risposta armonica. Calcolo il guadagno statico: K = a n b ( p ( z 3 2 m = = ( p2 ( p3,5 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 3

32 Esprimo poi la f.d.t. nella forma canonica: H(s =,5 s s s s Cui corrisponde, la funzione di risposta armonica: H(s =,5 j j j j La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 32

33 Si individuano poi i seguenti tipi fondamentali di funzioni elencati per valore di pulsazione d angolo crescente: a,5, b j, c j, d j, e j Per ciascuno dei tipi fondamentali ho i corrispondenti diagrammi di Bode: G db ( 6 K=,5 Φ( 8 K=, ,5-8 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 33

34 G db ( 6 Φ( p = - p = A 9 A G db ( A Φ ( z = - z = A La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 34

35 G db ( 6 Φ( p 2 = - p 2 = A 9 A G db ( 6 Φ( p 3 = - p 3 = A 9 A La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 35

36 Componendo i singoli contributi si ottiene il diagramma asintotico complessivo dei guadagni: La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 36

37 Per quanto riguarda il diagramma reale complessivo degli sfasamenti si ha: La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 37

38 Per quanto riguarda il diagramma reale complessivo dei guadagni si ha: La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 38

39 Criterio di esecuzione dei diagrammi di Nyquist Abbiamo visto come la risposta in frequenza di un sistema sia rappresentabile sotto forma grafica, oltre che con i diagrammi di Bode, anche con il diagramma di Nyquist altrimenti detto diagramma polare.. La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 39

40 Si supponga di voler tracciare il digramma dei moduli e delle fasi della funzione seguente: G(s = (s + 5 (s + (s + 2 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 4

41 La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 4

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