MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 23 giugno FILA A

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1 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 2 giugno FILA A Nome e cognome Matricola Gli studenti che hanno superato il test del progetto Corda nel 205 NON devono rispondere ai quesiti della I parte Test Progetto Corda superato (barrare SOLO in caso affermativo) I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.. Si scriva l equazione della retta passante per i punti (, 5) e (2, 4) e se ne tracci il grafico. 2. Si determini il dominio della funzione f(x) = + x x.. Calcolare la seguente espressione: ( [ + 2) ( 4 2 )] =

2 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. PROBLEMA Il costo giornaliero per la produzione di x smartphone e y tablet è descritto dalla funzione con K R. C(x, y) = 80x x 2 20y ln x + 70y K y (a) Determinare K sapendo che il costo giornaliero per produrre 20 smartphone e 5 tablet è pari a 4000 (si arrotondi all intero più vicino). (b) Calcolare le derivate parziali C x e C y nel punto (20, 5) e interpretare il risultato. (c) Se si decide di fissare la produzione giornaliera di smartphone a 20, qual è la funzione che descrive il costo giornaliero per la produzione di y tablet? Determinare quanti tablet devono essere prodotti in questo caso per minimizzare i costi. QUESITI [ ] 2 a. Data la matrice A =, se ne calcoli il determinante e si individuino i 2a 0 valori di a che rendono la matrice singolare. 2. Si dia la definizione di integrale improprio sull intervallo illimitato [a, + ). Si stabilisca poi se l integrale dx converge. + x. Si dia la definizione di logaritmo in base b di un numero x > 0 e si spieghi per quale motivo il logaritmo di un numero negativo non è mai definito. 2

3 SOLUZIONE I Parte. QUESITI PRELIMINARI. y = x Il dominio è costituito dai punti che soddisfano la disequazione +x x quindi x (, ] (, + ). 0 con x, II Parte. PROBLEMA (a) Poiché C(20, 5) = K, si ricava K = = 246. (b) Si ha: C x(x, y) = x 20y x C y(x, y) = 20 ln x y 2. Le derivate parziali rappresentano i costi marginali. In particolare, nel punto (20, 5): C x(20, 5) = denota il costo aggiuntivo per produrre il 2-esimo smartphone se la produzione di tablet è fissata a 5;

4 C y(20, 5) = 29.9: se la produzione giornaliera di smartphone è bloccata a 20, la produzione del sesto tablet giornaliero determina una diminuzione dei costi di 29.9 euro. (c) Per x = 20, la funzione costo diventa: C(y) = C(20, y) = y ln y y = 0y y Poiché, sul dominio (0, + ), C (y) = C y(20, y) = = 0 per y = 0 e y 2 C (y) 0 per y 0 il punto di minimo della funzione si ottiene per y = 0. Quindi i costi saranno minimi se vengono prodotti 0 tablet al giorno. QUESITI. deta = a 2. Ne segue che la matrice è singolare se e solo se a 2 = 0, ovvero a = ± cfr. Waner-Costenoble, par x dx = lim K + K quindi l integrale diverge. x dx = lim [ln K + x ]K = lim ln K = + K +. cfr. Waner-Costenoble, par 5.. 4

5 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 2 giugno FILA B Nome e cognome Matricola Gli studenti che hanno superato il test del progetto Corda nel 205 NON devono rispondere ai quesiti della I parte Test Progetto Corda superato (barrare SOLO in caso affermativo) I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.. Calcolare la seguente espressione: ( + ) 2 [ + 4 ( )] = 4 2. Si determini il dominio della funzione f(x) = x x +.. Si scriva l equazione della retta passante per i punti (, 4) e (2, ) e se ne tracci il grafico. 5

6 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. PROBLEMA Per una piccola azienda conserviera, il costo giornaliero per la produzione di x vasetti di marmellata di arance e y vasetti di marmellata di fragole, è descritto dalla funzione dove K R, C(x, y) = 0x x 2x ln y + 5y y 2 (a) Determinare K sapendo che il costo giornaliero per produrre 5 vasetti di marmellata di arance e 20 di fragole è pari a 000 (si arrotondi all intero più vicino). (b) Calcolare le derivate parziali C x e C y nel punto (5, 20) e interpretare il risultato. (c) Se si decide di fissare la produzione giornaliera di vasetti di marmellata di fragole a 20, qual è la funzione che descrive il costo giornaliero per la produzione di x vasetti di marmellata di arance? Determinare quanti vasetti di marmellata di arance devono essere prodotti in questo caso per minimizzare i costi. + K QUESITI [ ] a 2. Data la matrice A =, se ne calcoli il determinante e si individuino i 0 2a valori di a che rendono la matrice singolare. 2. Si dia la definizione di integrale improprio sull intervallo illimitato (, b). Si stabilisca poi se l integrale dx converge. 2 x2. Si dia la definizione di logaritmo in base b di un numero x > 0 e si spieghi per quale motivo il logaritmo di un numero negativo non è mai definito. 6

7 SOLUZIONE I Parte. QUESITI PRELIMINARI Il dominio è costituito dai punti che soddisfano la disequazione x x+ quindi x (, ]. 0, con x,. La retta ha equazione y = x II Parte. PROBLEMA (a) Poiché C(5, 20) = 40 + K, si ricava K = = 599. (b) Si ha: C x(x, y) = x 2 2 ln y C y(x, y) = 2x y y. Le derivate parziali rappresentano i costi marginali. In particolare, nel punto (5, 20): C x(5, 20) = 2 se la produzione di vasetti di marmellata di fragole è bloccata a 20, la produzione del sesto vasetto giornaliero di marmellata di arance determina una diminuzione dei costi di 2 euro; C y(5, 20) = 4.40: denota il costo aggiuntivo per produrre il 2-esimo vasetto di marmellata di fragole se la produzione giornaliera di vasetti marmellata di arance è fissata a 5. 7

8 (c) Per y = 20, la funzione costo diventa: C(x) = C(x, 20) = 0x x = 4x x x ln Poiché, sul dominio (0, + ), C (x) = C x(x, 20) = x 2 = 0 per x = 0 e C (x) 0 per x 0 il punto di minimo della funzione si ottiene per x = 0. Quindi i costi saranno minimi se vengono prodotti 0 vasetti di marmellata di arance al giorno. QUESITI. deta = 2a Ne segue che la matrice è singolare se e solo se a 2 = 0, ovvero a = ± cfr. Waner-Costenoble, par x 2 dx = lim K 2 K quindi l integrale converge. [ x 2 dx = lim ] 2 ( = lim K x K K 2 + ) = K 2. cfr. Waner-Costenoble, par 5.. 8