MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 23 maggio FILA A

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1 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 23 maggio FILA A Nome e cognome Matricola Gli studenti che hanno superato il test del Progetto Corda nel 2015 NON devono rispondere ai quesiti della I parte. Test Progetto Corda superato (barrare SOLO in caso affermativo) I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli. 1. Risolvere la seguente disequazione x 3 x 2 2x Enunciare le principali proprietà delle potenze. 3. Si disegni il grafico della funzione definita a tratti { 2 x, per 1 x 0 f(x) = 2x + 1, per 0 < x 2 1

2 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 15 punti) Luigi ha investito una somma di $8400 in 200 azioni ripartite tra tre titoli i cui prezzi sono riportati nella seguente tabella Prezzo Rendimento GE (General electric) $16 7% WMT (Wal-Mart) $56 2% XOM (Exxon Mobil) $80 2% Il rendimento annuo (cioè la percentuale di guadagno sul valore di ogni azione) dei tre titoli è riportato nella stessa tabella. Trascorso un anno, Luigi controlla il suo portafoglio e si accorge di aver avuto un guadagno complessivo di $248. (a) Calcolare il guadagno (in dollari) di ogni azione dei tre titoli a fine anno. (b) Indicato con x il numero di azioni di GE, con y il numero di azioni di WMT e con z il numero di azioni di XOM presenti nel portafoglio, rappresentare le informazioni a disposizione mediante un sistema di equazioni lineari algebriche e dire se il sistema è determinato (cioè se permette di individuare univocamente x, y, z). (c) Utilizzando l algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan, determinare il numero di azioni per ogni titolo presenti nel portafoglio di Luigi. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (e) (e) Data la funzione in due variabili f(x, y) = (3x y) 2, se ne determini il dominio e si calcolino il valori della funzione e delle sue derivate parziali prime nel punto (1, 3). (f) Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e darne una illustrazione di impiego mediante un esempio numerico. (g) Dare la definizione di punto di massimo e di minimo relativi ed assoluti per una funzione in due variabili. Descrivere una procedura per individuare tali punti. 2

3 SVOLGIMENTO 1. Il primo membro può essere fattorizzato come x(x 2)(x+1). Per la regola dei segni si ha: S = [ 1, 0] [2, + ). 2. Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par. A Il grafico è dato dall unione di due segmenti. Problema (a) Poiché i prezzi delle azioni dei tre titoli sono, rispettivamente, $16, $56, $80 e i relativi rendimenti percentuali sono 7%, 2%, 2%, i guadagni (in dollari) di ogni quota dei tre titoli a fine anno saranno = 1.12 per GE, = 1.12 per WMT, = 1.6 per XOM. (b) Tenuto conto di quanto detto al punto (a) e indicato con x il numero di azioni di GE, con y il numero di azioni di WMT e con z il numero di azioni di XOM, i dati possono essere rappresentati dal sistema seguente x + y + z = x + 56y + 80z = x y + 1.6z = 248 Il sistema è determinato in quanto il determinante della matrice del sistema è diverso da zero. (c) L algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan dà R 2 16R 1 R R 1 R R da cui x = 100 y = 50 z = R 1 R 2 R 1 /40 R 2 /40 R 3 /0.48 Quesiti (e) Il dominio della funzione tutto il piano R 2. Poiché f x(x, y) = 6(3x y) e f y(x, y) = 2(3x y), si ha f(1, 3) = 0, f x(1, 3) = 0 e f y(1, 3) = 0. (f) Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par (g) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par

4 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 23 maggio FILA B Nome e cognome Matricola Gli studenti che hanno superato il test del Progetto Corda nel 2015 NON devono rispondere ai quesiti della I parte. Test Progetto Corda superato (barrare SOLO in caso affermativo) I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli. 1. Risolvere la seguente disequazione x 3 4x Enunciare le principali proprietà delle potenze. 3. Si disegni il grafico della funzione definita a tratti { 2x + 1, per 1 x 0 f(x) = 2 x, per 0 < x 1 4

5 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 15 punti) Luigi ha investito una somma di $14400 in 250 azioni ripartite tra tre titoli i cui prezzi sono riportati nella seguente tabella Prezzo Rendimento GE (General electric) $16 7% WMT (Wal-Mart) $56 2% XOM (Exxon Mobil) $80 2% Il rendimento annuo (cioè la percentuale di guadagno sul valore di ogni azione) dei tre titoli è riportato nella stessa tabella. Trascorso un anno, Luigi controlla il suo portafoglio e si accorge di aver avuto un guadagno complessivo di $328. (a) Calcolare il guadagno (in dollari) di ogni azione dei tre titoli a fine anno. (b) Indicato con x il numero di azioni di GE, con y il numero di azioni di WMT e con z il numero di azioni di XOM presenti nel portafoglio, rappresentare le informazioni a disposizione mediante un sistema di equazioni lineari algebriche e dire se il sistema è determinato (cioè se permette di individuare univocamente x, y, z). (c) Utilizzando l algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan, determinare il numero di azioni per ogni titolo presenti nel portafoglio di Luigi. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (e) Data la funzione in due variabili f(x, y) = log(5x + 2y), se ne determini il dominio e si calcolino il valori della funzione e delle sue derivate parziali prime nel punto (1, 1). (f) Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e darne una illustrazione di impiego mediante un esempio numerico. (g) Dare la definizione di punto di massimo e di minimo relativi ed assoluti per una funzione in due variabili. Descrivere una procedura per individuare tali punti. 5

6 SVOLGIMENTO 1. Il primo membro può essere fattorizzato come x 2 (x 4). Essendo x 2 0 per ogni x, si ha: S = (, 4]. 2. Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par. A Il grafico è dato dall unione di due segmenti. Problema (a) Poiché i prezzi delle azioni dei tre titoli sono, rispettivamente, $16, $56, $80 e i relativi rendimenti percentuali sono 7%, 2%, 2%, i guadagni (in dollari) di ogni quota dei tre titoli a fine anno saranno = 1.12 per GE, = 1.12 per WMT, = 1.6 per XOM. (b) Tenuto conto di quanto detto al punto (a) e indicato con x il numero di azioni di GE, con y il numero di azioni di WMT e con z il numero di azioni di XOM, i dati possono essere rappresentati dal sistema seguente x + y + z = x + 56y + 80z = x y + 1.6z = 328 Il sistema è determinato in quanto il determinante della matrice del sistema è diverso da zero. (c) L algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan dà R 2 16R 1 R R 1 R R da cui x = 50 y = 100 z = R 1 R 2 R 1 /40 R 2 /40 R 3 /0.48 Quesiti (e) Il dominio della funzione il semipiano di equazione y > 5 2 x. Poiché f x(x, y) = 5 5x+2y e f y(x, y) = 2 5x+2y, si ha f(1, 1) = log , f x(1, 1) = 5 3 e f y(1, 1) = 2 3. (f) Cfr. Waner, Costenoble (2006) - par (g) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par