RICHIAMI di MATEMATICA ESERCIZI: equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

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1 RICHIAMI di MATEMATICA ESERCIZI: equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche Linguaggio e notazioni: a x esponenziale di base a, a > 0, e di esponente x R. log a x logaritmo in base a, a > 0 e a, e di argomento x, x > 0. Logaritmo come operazione inversa dell esponenziale: Sia a > 0 e a, allora a log a x = x, x > 0, log a a x = x, x R. Basi particolari: base 0 : il logaritmo in base 0 di x si indica Log x (lettera maiuscola). Base naturale e = (numero reale irrazionale, ovvero decimale infinito non periodico). Il numero e è l unica base a che soddisfa la proprietà: a x x +, x R. Con logaritmo naturale di x, x > 0, si intende la base e e si indica log x oppure ln x. Proprietà degli esponenziali (proprietà delle potenze): Siano a > 0, b > 0, x R, y R; allora (a x ) y = a xy, a x a y = a x+y, a x b x = (a b) x, Proprietà dei logaritmi: a x a = y ax y, a x ( a ) x b =. x b Siano a > 0, a, b > 0, b, x > 0, y > 0; allora. log a (x y) = log a x + log a y;. log a x r = r log a x, r R;. log a x = log b x log b a Da queste si ottiene: log a x y = log a x log a y; log /a x = log a x; (cambiamento della base).

2 Inoltre: a > 0, a x > 0, x R, a 0 =. a > 0, a, log a = 0, log a a =, log a a =, log /a a =. Metodo di risoluzione delle equazioni esponenziali/logaritmiche: Sia a > 0, a, x, y, c R; allora i) a x = a y x = y; ii) se c 0, allora l equazione a x = c è impossibile; iii) se c > 0, allora a x = c x = log a c; iv) se x > 0, y > 0, allora log a x = log a y x = y; v) se x > 0, allora log a x = c x = a c.. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali. a) x = ; b) x+ = 6x 8 : x ; c) x + x+ = 0; ( ) x d) x : = ; e) 5 x x = / ; f) x = 5; g) 5 x = 6 5. a) Impossibile; b) x = ; c) x = 0; d) x =, x = ; e) x = 5; f) x = log 5; g) x =.. Calcolare le seguenti espressioni.

3 a) log 6 ; b) ln e; c) log ; d) log 7; e) log 8 ; f) log ; g) log 0 00; h) log / ; i) log 0; l) log 6; m) log 5 5 ; n) log 8; a) 0 (log a = 0, a > 0, a ); b) (log a a =, a > 0, a ); c) (log a =, a > 0, a ); a d), infatti 7 = ; e), infatti = 8; f) 5, infatti = /5 e log a b c = c log a b, a > 0, a, b > 0; g) ; h), infatti log /a b = log a b, a > 0, a, b > 0; i) non esiste, infatti a x > 0, a > 0; l) ; m) ; n) logaritmi). (scrivere 8 come e applicare le proprietà dei. Scrivere le seguenti espressioni come somma di logaritmi (a, b, c > 0): c5 b a) log 7 a b) log a + b a + b a) 5 log c + log b log a; 7 b) log(a + b) log(a + b).

4 . Scrivere le seguenti espressioni come un unico logaritmo (x, y, z > 0): a) log log 6 + log 9 log ; b) log x log y + 5 log z. a) log 6 ; b) log x z 5. y 5. Dire se le seguenti uguaglianze sono false o vere: a) log / () = ; b) log / (7) = ; c) log 6 = log log ; d) (log ) = log ; e) log log = ; f) log x = log x; g) log x = log x ; h) log x y = log x + log y ; i) log a (x + y) = log a x + log a y; l) log x y = log x log y ; m) log 7 6 < 0. a)v ;b)f ( ); c)f (log 6 = log + log ) ; d)f ; e)v; f)f (vera solo se x > 0; è vera invece: log x = log x ) ; g)v (hanno entrambi significato per x > 0, e per tali x vale l uguaglianza); h)v ; i)f ; l)f (vera solo se x y > 0; è vera invece:log x y = log x log y ); m)f (0 < log 7 6 < ).

5 6. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche. Osservare che occorre la verifica delle soluzioni trovate. a) log x = ; b) log x + log (x ) = ; c) log( x) + log(x ) = log(x + ) ; d) (log 5 x) + 5 log 5 x + 6 = 0; e) log / x = ; f) log 8 x = 0; g) 5 (log x) + log (x) = 0; a) x = ±6 ; b) x = ; c) impossibile; d) x = 5, x = 5 ; e) x =, x = ; f) x = ; g) impossibile. Metodo di risoluzione delle disequazioni esponenziali/logaritmiche. Se a > a x > a y x > y, se 0 < a < a x > a y x < y, da cui segue che x, y > 0 se a > log a x > log a y x > y, se 0 < a < log a x > log a y x < y. Inoltre si ricordi che prima di risolvere una disequazione logaritmica occorre porre il campo di esistenza (argomento del logaritmo positivo). 7. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali. a) x < ; b) 5 x > ; c) x+ < x ; ( ) x d) > ; e) x + x+ < 0; f) 0 x > ; ( ) x g) x > ; h) 5 x > ; i) e x e x < ; l) 5 x 5x+ < ; 5

6 m) x + 5 x > 0; n) x 5 x <. a) impossibile; b) x > log 5 ; c) x > ; d) x < ; e) x < 0; f) x; g) x <, x > 0; h) x > ; i) x < log ; l) x > ; m) x; n) x < log Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche. x a) log > ; b) log x > 0; c) log x + log (x ) < ; d) log x + log(x + ) > 0; e) log / x ; f) log 8 x > 0; g) (log x) + log (x) < 0; h) log (x ) log (x ) >. a) x < 6, x > 6 ; b) x > ; c) < x < (attenzione al campo di esistenza); d) x > + ; e) x, x ; f) x > ; g) < x < ; h) x > 7. 6