Si definisce equazione esponenziale ogni equazione nella quale l incognita è presente nell esponente di una o più potenze.

Transcript

1 MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Pasquale Spiezia Algebra» Appunti» Equazioni esponenziali DEFINIZIONE Si definisce equazione esponenziale ogni equazione nella quale l incognita è presente nell esponente di una o più potenze. EQUAZIONE ESPONENZIALE ELEMENTARE La più semplice equazione esponenziale, detta elementare, è quella del tipo a = b Per questa equazione vale il seguente teorema: Se a R {} e b R, l equazione a = b ammette una, ed una sola, soluzione. Notiamo che per l esistenza della soluzione occorre che la base a della potenza sia un numero positivo e che il valore della potenza b sia anch esso un numero positivo. Ciò significa che la suddetta equazione non ha soluzione se a < 0 o b 0. Ricordiamo che la soluzione dell equazione esponenziale elementare è = log a b. NOTA IMPORTANTE Per a = si ottiene l equazione = b che può essere indeterminata o impossibile: indeterminata se anche b = ; impossibile se b. ESEMPI L equazione = 6 ha come unica soluzione il numero = perché 6 = L equazione = ha come soluzione = perché = L equazione = 6 non ammette alcuna soluzione perché > 0 R L equazione = ha come soluzione = 0 perché 0 = L equazione = 0 non ammette alcuna soluzione perché > 0 R Pagina di 0

2 EQUAZIONI ESPONENZIALI CANONICHE Non esistono regole generali per la risoluzione di una qualsiasi equazione esponenziale. Per risolvere un equazione esponenziale bisogna anzitutto cercare di portarla in forma canonica, ossia in una forma per la quale esiste un metodo risolutivo. Le equazioni esponenziali canoniche sono del tipo: (i) f g a =a (ii) f f a =b (iii) f g a =b METODI RISOLUTIVI (i) f g a =a Quest equazione canonica rappresenta un uguaglianza tra due potenze aventi la stessa base a. Poiché, come è noto, due potenze aventi la stessa base sono uguali se, e solo se, è uguale l esponente, ne consegue che deve essere f() = g(). Dunque: f g a =a f =g ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni esponenziali riconducibili alla forma a f() = a g() = ( 8 ) ( ) 8 = = = ( ) = = ; ( ) Dunque: 7 = ( ) ( ) = 8 = = = 6 7 = = ; ( = ) = Dunque: =0 6 7 = = 6 = 6 = 0 = 6 Pagina di 0

3 8 = ( ) 6 8 = = ; = = = = = Dunque: 8 = = 6= = = ( ) = ; ( = = = ) = ( ) Dunque: = = = 6 = = 0 = = = = ; = = = Dunque: = = = = = 6 6 = = = = ; = Dunque: = = = = = = = = 76=0 =6 Pagina di 0

4 (ii) f f a =b Quest equazione canonica rappresenta un uguaglianza tra due potenze aventi diversa base, ma lo stesso esponente. f Essendo 0, si può dividere ambo i membri dell equazione data per b ottenendosi l uguaglianza f b > f f f 0 a b = da cui ab = ab, e quindi f( ) =0. Dunque: f f a =b f( ) =0 ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni esponenziali riconducibili alla forma a f() = b f() 6 = = = = 6 6 = = = =0 = 6 = = = = = ( ) = 6 ==0 = =0 =0 = = = = =0 = Pagina di 0

5 = = = = 0 = =0 = =6 =6 =6 =6 = =0 = 6 0 = 0 = 8 = = = = 9 8 =0 = (iii) f g a =b Questo tipo di equazione esponenziale si risolve utilizzando i logaritmi. Se a f() = b g(), allora risulta anche log c a f() = log c b g() da cui f() log c a = g() log c b. Nella pratica è preferibile utilizzare i logaritmi decimali (o naturali) per avere un valore approssimato delle soluzioni mediante una calcolatrice scientifica. Dunque: f g a = b f logca = g logcb ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni esponenziali riconducibili alla forma a f() = b g() 7 = 7 = ( ) ln7 = ( ) ln ln7 ln7 = ln ln ln ln7 ln ln7 ln7 ln = ln ln7 = = ln7 ln ln ln7 Pagina di 0

6 Applicando le proprietà dei logaritmi, il risultato ottenuto può anche esprimersi nella forma ln ln7 ln = = ln ln7 ln 7 Con una calcolatrice scientifica si ha il valore approssimato,9 =. Applicando le proprietà dei logaritmi, si = log = log log = log log = log log. ha : Dunque: log = log log log = log log log log = log log log log log = log log ( log log log ) = log = log log log Applicando le proprietà dei logaritmi, il risultato ottenuto può anche esprimersi nella log log log log forma = = = = log ( log log) log log0 0 log log 0 Con una calcolatrice scientifica si ottiene il valore approssimato 0,6 = Isoliamo i termini in cui si sono potenze di da quelli in cui ci sono potenze di. = = = = 0 = 9 9 = 9 ln = ln 9 ln = ln9 ln ln = ln9 ln ln9 ln ln ln = ln9 = = ln ln ln Volendo un valore approssimato di, si possono calcolare i logaritmi indicati con una calcolatrice scientifica, ottenendosi,7 =6 Pagina 6 di 0

7 ( ) =6 = = = = = log = log log = ( ) log log = log log ( log ) = log = log EQUAZIONI ESPONENZIALI PARTICOLARI Nella pratica si possono presentare alcuni tipi di equazioni esponenziali che possono essere risolte mediante degli artifizi che conducono ad equazioni esponenziali elementari o canoniche. Diamo qualche esempio. ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni esponenziali mediante opportune sostituzioni 9 =6 ( ) 9 =6 =6 =6. Posto =6 6 =0 = = =, si ha: Per la sostituzione fatta, si ottengono le due equazioni: = = = impossibile = 7 Per la realtà del radicale, deve essere 0 = 7 = 7. Posto = 7 7 = 0 = = =, si ha: Per la sostituzione fatta, si ottengono le due equazioni esponenziali canoniche: Pagina 7 di 0

8 = = = impossibile = = = = 8 = = 0 8 = 0 8 = 0 9 Posto =, si ha: 8 = 0 = = 9 Per la sostituzione fatta, si ottengono le equazioni fondamentali: = = 9 = = = =0 8 =0 =0 8 =0 =, si ha:. Posto =0 =0 =0 = =± Per la sostituzione fatta, si ha: = impossibile 0 = = =0 = = = = Pagina 8 di 0

9 SISTEMI DI EQUAZIONI ESPONENZIALI Le regole esposte finora si applicano anche ai sistemi. Concludiamo questi semplici appunti dando qualche esempio di risoluzione di sistemi di equazioni esponenziali. ESERCIZI Risolvere i seguenti sistemi di equazioni esponenziali = 8 =7 ( )( ) ( ) ( ) = 8 = 8 7 = 8 8 = 8 =7 =7 =7 =7 = = =7 = 6 =0 =0 6 =0 6 =0 6 =0 =0 = = 9 6 =0 == =0 = 9 == = = = = = = = = = = = = = 9 Pagina 9 di 0

10 = 8 = = = = 8 = ( ) = = = 8 = 8 = 9 = ( ) = 6 8 = = = 6 = 8 = 0 = 8 = = = = 0 = 0 = = // = Pagina 0 di 0