Liceo Scientifico Severi Salerno

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1 Liceo Scientifico Severi Salerno VERIFICA SCRITTA MATEMATICA Docente: Pappalardo Vincenzo Data: 20/10/2018 Classe: IV D 1. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni esponenziali: 3 2 x 5 4 x 1 = 20 Si risolve utilizzando i logaritmi e le loro proprietà. Facciamo il logaritmo di entrambi i membri: log(3 2x 5 4x 1 ) = log20 log3 2x + log5 4x 1 = log20 2xlog3+ (4x 1)log5 = log20 2xlog3+ 4xlog5 log5 = log20 x(2log3+ 4log5) = log20 + log5 x = log20 + log5 2log3+ 4log5 = log100 2(log3+ 2log5) = 2 2log75 = 1 log75 5 4x x 51 x x 1 x 1 +5 = 0 1 2x 5

2 5 1+ x +5 1 x = x x 1 5 x = 0

3 e x+1 e x e 5x 1 0 (5 3x 5 2x )(e 1/x e 2 ) 0

4 2 30 x/ x Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni logaritmiche: log4x log(x + 2) = log(3x 2) log x Campo di esistenza dell equazione: Applichiamo le proprietà dei logartitmi: 4x > 0 x + 2 > 0 x > 2 3x 2 > 3 C.E. = 2 3 ;+ x > 0 log4x + log x = log(3x 2) + log(x + 2) log x(4x) = log (3x 2)(x + 2) x(4x) = (3x 2)(x + 2) x 2 4x + 4 = 0 x 1 = x 2 = 2 La soluzione x=2 va accettata in quanto apaprtiene al C.E.

5 1+ log x log x 1 log x log x = 11 2 [ log 2 (x 1) ] 2 2 log 2 (x 1) 3 = 0 [ log 2 (x 1) ] 2 2 log 2 (x 1) 3 = 0 CE "" x 1> 0 CE : x >1 oppure """ CE : ] 1;+ [ [ log 2 (x 1) ] 2 2log 2 (x 1) 3 = 0 definizione logaritmo log 2 (x 1) = 1 """" x 1= 2 incognita ausiliaria log 2 (x 1)=t """""" t 2 2t 3 = 0 """" x = soluzione soluzione eq. 2 grado """" t 1 = 1; t 2 = 3 log 2 (x 1) = 3 definizione logaritmo """" x 1= 3 soluzione """" x = 9 Entrambe le soluzioni sono accettabili perchè soddisfano il CE log 2 x + 3 x >1

6 ln 2 x + ln x 2 < 0 Campo di esistenza: x > 0 Introducendo l incognita ausiliaria: t = ln x l equazione diventa: t 2 + t 2 < 0 2 < t <1 Quindi la soluzione è: 2 < t <1 2 < ln x <1 e 2 < x < e ln 2 x 3ln x 4 < 0

7 log 2 (e 2x e x ) >1 3. Risolvere graficamente le seguenti equazioni: 1 x+2 2 = ln(x +1) soluzione: x 0,2

8 ln(x + 6) x = 0 soluzione: x 1-2,5; x 2 2,1 4. Trovare dominio e codominio delle seguenti funzioni e stabilire se sono invertibili: y =1 e x2 Dominio: D = R = ;+ Codominio: e x2 =1 y x 2 = ln(1 y) x = ± ln(1 y) 1 y > 0 ln(1 y) 0 y <1 y <1 1 y 1 y 0 y 0 C = ;0 La funzione non è iniettiva (guardare l espressione della x in funzione della y), quindi non è biunivoca e pertanto non è inveretibile nel suo dominio.

9 y = 4 + e x 1 Dominio: D = R = ;+ Codominio: e x 1 = y 4 x 1= ln( y 4) x =1+ ln( y 4) y 4 > 0 C = 4;+ La funzione è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa è: y =1+ ln(x 4) y =1+ ln(3x) Dominio: 3x > 0 D = 0;+ Codominio: ln3x = y 1 3x = e y 1 x = e y 1 3 C = R = ;+ La funzione è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa è: y = e x a) Disegna la funzione y=4 x+a +b, sapendo che passa per il punto P(1/2;31) e che la retta di equazione y=2x+5 la interseca nel suo punto di ascissa -1; b) determina l inversa. a = 2; b = 1 y = 4 x+2 1 Soluzione La funzione y = 4 x+2 1 è biunivoca e quindi ammette inversa : y = f 1 (x) = log 4 (x +1) 2

10 6. Studiare le seguenti funzioni: x 2 y = " log 1 x % $ ' # & x 2 y = e x 1 ln 2 (x 1) ln(x 1)

11 y = e 1 x 2 x 2e x 1 7. Durante una spedizione archeologica, viene rinvenuto un frammento di ossa di una tigre dai denti a sciabola. Le analisi rilevano una presenza di carbonio-14 uguale al 20% di quello presente in un organismo vivente. Il tempo di dimezzamento del carbonio-14 è di 5730 anni. Stima l età del reperto. La legge del decadimento è: N (t) = N 0 e t/τ dove : τ = T 1/2 ln 2 Soluzione La vita media del 14 C è data dalla seguente relazione: τ = T 1/2 ln2 = 1, , 693 = 2, s dove : T 1/2 = 5730 anni =1, s Utilizzando la legge del decadimento radioattivo: N(t) = N 0 e t/τ e tenendo presente che il 14 C è uguale al 20% di quello presente in un organismo vivente, si ottiene: 0, 2N 0 = N 0 e t = τ ln0, 2 = 2, ( 1, 609) = 4, s anni t/τ da cui