Scale Logaritmiche. Matematica con Elementi di Statistica, Anna Torre a.a

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1 Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA: sull asse prescelto (ad esempio, l asse x) si rappresenta il punto di ascissa = 0 0 nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 0, 0 2, 0,... nella direzione negativa si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 0, 0 2, 0,... i valori intermedi tra una potenza di 0 e la successiva (ad esempio, 2,,..., 9) sono posizionati in corrispondenza dei valori dei rispettivi logaritmi decimali APPLICAZIONI: rappresentare misure positive con ordini di grandezza molto diversi fra loro linearizzare funzioni esponenziali y = K a x (scale semilogaritmiche) linearizzare funzioni potenza y = A x b (scale logaritmiche)

2 Carta SemiLogaritmica CARTA SEMILOGARITMICA: scala lineare sull asse delle ascisse X e scala logaritmica sull asse delle ordinate Y (o viceversa) TRASFORMAZIONE DI VARIABILI: X = x Y = log 0 y

3 Carta Logaritmica CARTA LOGARITMICA: scala logaritmica sull asse delle ascisse X e scala logaritmica sull asse delle ordinate Y TRASFORMAZIONE DI VARIABILI: X = log 0 x Y = log 0 y

4 Carte SemiLogaritmiche Data la funzione esponenziale y = K a x, passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi, si ottiene log 0 y = log 0 [K a x ] log 0 y = log 0 K +x log 0 a Ponendo X = x e Y = log 0 y, si ha Y = log 0 K +X log 0 a, che è l equazione di una retta y = mx + q con coefficiente angolare m = log 0 a e intercetta q = log 0 K.

5 Carte Logaritmiche Data la funzione potenza y = K x b, passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi, si ottiene log 0 y = log 0 [K x b ] log 0 y = log 0 K +b log 0 x Ponendo X = log 0 x e Y = log 0 y, si ha Y = log 0 K +b X, che è l equazione di una retta y = mx + q con coefficiente angolare m = b e intercetta q = log 0 K.

6 Carta SemiLogaritmica Esempio ( x y = ) ( logy = log(0.000)+x log 2) Y = 4 X log log2 0, 2 0 0

7 Carta Logaritmica Esempio 00 y = x 2 y = x y = x

8 Esercizi Esercizio. (a) In un grafico con scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log (log 0 )X. Trovare il legame funzionale tra x e y, dove X = x e Y = log 0 y. (b) Trovare il ( coefficiente ) angolare della retta che rappresenta, su tale scala, la x funzione y =. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo. Soluzione: (a) log 0 y = log 0 2+x log 0 = log 0 x log 0 2 = log 0 x da cui y = x 2. ( x (b) log 0 y = log 0 = x log 0 ) [ )] da cui Y = log 0 ( x con m = log 0 < 0. 2

9 Esercizi Esercizio 2. (a) In un grafico in scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log (log 0 )x, dove Y = log 0 y. Trovare il corrispondente legame funzionale tra x e y. (b) Rispondere alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la retta di equazione Y = log 0 +2X, dove X = log 0 x. Soluzione: (a) log 0 y = log 0 2+x log 0 = log 0 (2 x ), da cui y = 2 x. (b) log 0 y = log 0 +2log 0 x = log 0 x 2, da cui y = x2.

10 Esercizi Esercizio. (a) Su carta semilogaritmica è assegnata la retta di equazione Y = log 0 +(log 0 4)x, dove Y = log 0 y. Trovare il corrispondente legame funzionale tra x e y. (b) Si risponda alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la retta di equazione Y = log X, dove X = log 0x. Soluzione: (a) log 0 y = log 0 +x log 0 4 = log 0 ( 4 x ), da cui y = 4 x. (b) log 0 y = log log 0x = log 0 (x 2), da cui y = x 2.

11 Esercizi Esercizio 4. In un grafico con scala logaritmica (scala logaritmica sia sull asse delle ascisse che sull asse delle ordinate) (a) è rappresentata la retta di equazione Y = X+. Trovare il legame funzionale tra x e y, dove X = log 0 x e Y = log 0 y; (b) scrivere l equazione della retta che rappresenta su tale scala la funzione y = ( 2x). Soluzione: (a) log 0 y = log 0 x+, da cui y = 0 log0x+ = 0 (0 log0x ) = , cioè y =. x x (b) log 0 y = log 0 (2x) 2 = 2 log 02x, quindi la retta è Y = 2 X + 2 log 02.

12 Esercizi Esercizio. In un grafico con scala semilogaritmica (scala normale sull asse delle ascisse e scala logaritmica sull asse delle ordinate) (a) è rappresentata la retta di equazione Y = log 0 + (log 0 2)X. Trovare il legame funzionale tra x e y, dove X = x e Y = log 0 y; (b) trovare il coefficiente ( ) angolare della retta che rappresenta su tale scala la x funzione y =. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo. Soluzione: (a) log 0 y = x log 0 2 log 0 = log 0 2 x log 0 = log 0 2 x, da cui y = 2x. ( (b) log 0 y = log 0 angolare è log 0 < 0. ) x = xlog0 ( ), cioè Y = (log 0 )X. Quindi il coefficiente

13 Esercizi Esercizio 6. (a) Scegliendo le coordinate logaritmiche opportune (semilogaritmiche o doppiamente logaritmiche) scrivere la retta corrispondente alla funzione y = 2x. (b) In queste coordinate quale curva corrisponde alla retta Y = 2X +? Soluzione: (a) Le coordinate opportune sono quelle doppiamente logaritmiche. La retta è Y = 2 log X. (b) y = 0 x 2 Esercizio 7. (a) Scegliendo le coordinate logaritmiche opportune (semilogaritmiche o doppiamente logaritmiche) scrivere la retta corrispondente alla funzione y = 4 0 x. (b) In queste coordinate quale curva corrisponde alla retta Y = 7X? Soluzione: (a) Le coordinate opportune sono quelle semilogaritmiche. La retta è Y = log 0 4 X. (b) y = 0 ( 0 7 ) x