Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA:
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- Albina Cappelli
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1 Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA: sull asse prescelto (ad es. asse x) si rappresenta il punto di ascissa 1 = 10 0 nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 10 1, 10 2, 10 3,... nella direzione negativa si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 10 1, 10 2, 10 3,... i valori intermedi tra una potenza di 10 e la successiva (ad.es. 2, 3,... 9) sono posizionati ai valori dei rispettivi logaritmi decimali APPLICAZIONI: rappresentare misure positive con ordini di grandezza molto diversi fra loro linearizzare funzioni esponenziali y = K a x scale semilogaritmiche linearizzare funzioni potenza y = A x b scale logaritmiche
2 Carta SemiLogaritmica CARTA SEMILOGARITMICA: scala lineare sull asse delle ascisse X e scala logaritmica sull asse delle ordinate Y (o viceversa) TRASFORMAZIONE DI VARIABILI: X = x Y = log 10 y
3 Carta Logaritmica CARTA LOGARITMICA: scala logartimica sull asse delle ascisse X e scala logaritmica sull asse delle ordinate Y TRASFORMAZIONE DI VARIABILI: X = log 10 x Y = log 10 y
4 Carte SemiLogaritmiche data la funzione esponenziale y = K a x passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi log 10 y = log 10 [K a x ] log 10 y = log 10 K +x log 10 a ponendo X = x e Y = log 10 y Y = log 10 K +X log 10 a che è l equazione di una retta y = mx+q con coefficiente angolare m = log 10 a e intercetta q = log 10 K
5 Carte Logaritmiche data la funzione potenza y = K x b passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi log 10 y = log 10 [K x b ] log 10 y = log 10 K +b log 10 x ponendo X = log 10 x e Y = log 10 y Y = log 10 K +b X che è l equazione di una retta y = mx+q con coefficiente angolare m = b e intercetta q = log 10 K
6 Carta SemiLogaritmica - Esempio y = (0.5) Log y = Log(10000) + x Log(0.5) Y = 4 (0.3) x x y Y=Log y x
7 Carta Logaritmica - Esempio 100 y = x 2 y = x y = x
8 Esercizi ESERCIZIO 1 - In un grafico con scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log (log 10 3)X. Trovare il legame funzionale tra x e y dove X = x e Y = log 10 y. log 10 y = log 10 2+x log 10 3 = log 10 3 x log 10 2 = log 10 3 x SOLUZIONE : y = 3x 2 Trovare ( ) il coefficiente angolare della retta che rappresenta, su tale scala, la funzione x 1 y =. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo. 3 log 10 y = log 10 ( 1 3) x = x log 10 SOLUZIONE : Y = [ log 10 ( 1 3 )] 1 3 x m = log 10 3 < 0 2
9 Esercizi ESERCIZIO 2 - In un grafico in scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log (log 10 3)x, dove Y = log 10 y. Trovare il corrispondente legame funzionale tra x e y. log 10 y = log 10 2+x log 10 3 = log 10 (2 3 x ) SOLUZIONE : y = 2 3 x Rispondere alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la retta di equazione Y = log X, dove X = log 10 x. log 10 y = log log 10 x = log 10 x 2 SOLUZIONE : y = x2 5 5
10 Esercizi ESERCIZIO 3 - Su carta semilogaritmica è assegnata la retta di equazione Y = log 10 3+(log 10 4)x, dove Y = log 10 y. Trovare il corrispondente legame funzionale tra x ed y. Si risponda alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la retta di equazione Y = log X, dove X = log 10x.
11 Esercizi ESERCIZIO 4 - In un grafico con scala logaritmica (scala logaritmica sia sull asse delle ascisse che sull asse delle ordinate) È rappresentata la retta di equazione Y = 3X + 5. Trovare il legame funzionale tra x e y dove X = log 10 x e Y = log 10 y. Scrivere l equazione della retta che rappresenta su tale scala la funzione y = ( 2x) 3. SOLUZIONE a: log 10 y = 3log 10 x+5 quindi y = 10 3log10x+5 = 10 5 (10 log 10x) 3 = cioè y =. x3 x 3 SOLUZIONE b: log 10 y = log 10 (2x) 3 2 = 3 2 log 102x e quindi la retta è Y = 3 2 X log 102.
12 Esercizi ESERCIZIO 5 - In un grafico con scala semilogaritmica (scala normale sull asse delle ascisse e scala logaritmica sull asse delle ordinate) È rappresentata la retta di equazione Y = log (log 10 2)X. Trovare il legame funzionale tra x e y dove X = x e Y = log 10 y. Trovare il coefficiente ( ) angolare della retta che rappresenta su tale scala la x 3 funzione y =. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo. 5 SOLUZIONE a: log 10 y = x log 10 2 log 10 5 = log 10 2 x log 10 5 = log 10 2 x y = 2x 5 ( ) x ( ) 3 3 SOLUZIONE b: log 10 y = log 10 ( ) = xlog 10 ( 5 5 il coefficiente angolare è log 3 ) da cui 3 cioè Y = (log 10 )X e quindi 5
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Risolvere mediante la fattorizzazione le seguenti equazioni. 1. 4 12 +9=0 0; 3 2 2. 7 +14 8=0 1;2;4 3. 4 12 +9=0 3 2 ; 3 2 4. +2 = 3 4 1 2 ;3 2 +4=0 5. +3 +1=0 + 2 =3 6. + +2 4=15 3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2
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