Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)

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1 Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)

2 La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5 x sono funzioni esponenziali.

3 Il valore di f(x) = 3 x se x = 2 é f(2) = 3 2 = 9 Il valore di f(x) = 3 x se x = 2 é 1 f( 2) = 3 2 = 9 Il valore di g(x) = 0.5 x se x = 4 é g(4) = =

4 Il grafico di f(x) = a x, a > 1 y (0, 1) x

5 Il grafico di f(x) = a x, 0 < a <1 y (0, 1) x

6 Esempio. Grafico di f(x) = 2 x. x f(x) (x, f(x)) -2 ¼ (-2, ¼) -1 ½ (-1, ½) 0 1 (0, 1) 1 2 (1, 2) 2 4 (2, 4) 2 y x

7 Esempio: Grafico di g(x) = 2 -x. Il grafico si ottiene riflettendo il grafico precedente rispetto all asse delle y. y 4 f(x) = 2 x 2 2 x

8 Proprietà delle potenze con esponente reale Le proprietà delle potenze con esponente reale sono le stesse delle potenze con esponente intero: Dati x, y R, a, b R, a,b>0 a x a y = a x +y a -x = 1 / a x a 0 = 1 a x : a y = a x - y (a:b) x = a x : b x (a x ) y = a x y. (ab) x = a x b x

9 Logaritmi

10 Per x 0 e 0 a 1, y = log a x se e solo se if x = a y. Il valore y é chiamato logaritmo con base a. Ogni equazione del logaritmo ha un equivalente equazione esponenziale: y = log a x é equivalente a x = a y E da notare che il logaritmo ha sempre come argomento un numero positivo!

11 Esempio: Scrivere la corrispondente equazione esponenziale e risolverla. Equazione logaritmica y = log y = log 2 ( ) 2 y = log 4 16 y = log 5 1 Equivalente equazione esponenziale 16 = 2 y 1 = 2 y 2 16 = 4 y 1 = 5 y Soluzione 16 = 2 4 y = 4 1 = 2-1 y = = 4 2 y = 2 1 = 5 0 y = 0

12 Proprietà dei logaritmi 1. log a 1 = 0 qualunque sia a>0, con a diverso da 1, perché a 0 = log a a = 1 perché a 1 = a. 3. log a a x = x e a log a x = x 4. Se log a x = log a y, allora x = y, con x e y>0. 5. log a (b c) = log a b + log a c, con b,c>0. 6. log a p x = x log a p, con p > 0

13 Proprietà dei logaritmi 7. log a 1 p = log a p 8. log a (b/c) = log a b - log a c. 9. log a (x) = log b x / log b a. Formula del cambiamento di base 10. log a (b) = 1 / log b a. 11. log 1/a (b) = - log a b.

14 Esempi: trovare il valore di x : log 6 6 = x log 6 6 = 1 proprietà 2 x = 1 Semplificare: log log = 5 proprietà 3 Semplificare: 7 log log 7 9 = 9 proprietà 3

15 Esempio Applicando le proprietà dei logaritmi, semplificare la seguente espressione: a 2 4 b log a b 2 3 = a 4 = log a a 2 4 b log a (b 2 3 a 4 ) = = log a a log a b log a b 2 3 log a a 4 = 2 log a a + log a b 1 4 2log a b log a a 4 3 = = log ab 2log a b 4 3 log aa = = = 7 4 log ab + 2 3

16 Grafico di log a x con base a>1 y y = log a x (1, 0) x

17 y y = log a x Grafico di log a x con base 0<a<1 (1, 0) x

18 Esercizi Semplificare le seguenti espressioni applicando le proprietà dei logaritmi: 3 1. log [ 4 1 log ] 2. log [ 9 4 ] 3. log [ log 45]

19 Es. 3 log [ log 45] 4 log log = log log 4 5 log log = log log 4 5 log log =

20 log log 4 5 log log = 2log log log 4 5 log = log log log 4 4 =

21 log log = (1 4 3) log 4 5 = ( ) log 4 5 = log 4 5

22 Equazioni esponenziali Un equazione esponenziale è una equazione in cui l incognita compare all esponente. Per risolvere un equazione esponenziale applicando le proprietà delle potenze ci si riconduce, se possibile, alla forma a f(x) = a g(x) che è equivalente all equazione f x = g(x)

23 Esempio 1 4 2x+1 = 8 2 2(2x+1) = x + 1 = 3 4x + 2 = 3 4x = 1 x = 1 4

24 Esempio 2 3 x 1 = 5 log 3 3 x 1 = log 3 5 x 1 = log 3 5 x = 1 + log 3 5

25 Esempio x = 4 6 x applicando il logaritmo a entrambi i membri (ad esempio di base 10) log (5 3 x ) = log( 4 6 x ) log 5 + x log 3 = log 4 + x log 6 x (log 3 log 6) = log 4 log 5 x = log 4 log 5 = log 4 log 5 log 3 log 6 log 2

26 Esempio x = 4 6 x 5 3 x = 4 (3 2) x 5 3 x = 4 3 x 2 x 5 = 4 2 x 5 = x 5 = 2 2+x

27 Esempio 3 log 2 5 = log x log 2 5 = (2 + x) log 2 2 log 2 5 = 2 + x log = x x = log 2 5 2

28 Equazioni logaritmiche Un equazione logaritmica è una equazione in cui l incognita compare come argomento del logaritmo. Per risolvere un equazione logaritmica applicando le proprietà dei logaritmi ci si riconduce, se possibile, alla forma log a f(x) = log a g(x) con a 1, da cui si ottiene l equazione f x = g(x) che in generale non è equivalente a quella sopra.

29 Equazioni logaritmiche Infatti si deve tener conto della condizione di positività degli argomenti dei logaritmi. Esempio: log 2 x 1 = log 2 3 Dalle proprietà dei logaritmi segue che x 1 = 3 x = 4 Verifica: log = log 2 3 log 2 3 = log 2 3 x = 4 è soluzione

30 Equazioni logaritmiche Infatti si deve tener conto della condizione di positività degli argomenti dei logaritmi. Esempio: log x 1 + log 2x 1 = 2 log x + 1 Dalle proprietà dei logaritmi segue che x 1 2x 1 = x x 2 2x x + 1 = x 2 + 2x + 1 x 2 5x = 0 x = 0 oppure x = 5

31 Sostituendo la prima soluzione x = 0 nell equazione di partenza si ottiene log 1 + log 1 = 2 log 1 Poiché il logaritmo esiste solo per argomenti positivi non possiamo accettare tale soluzione. Sostituendo la seconda soluzione x = 5 nell equazione di partenza si ottiene log 4 + log 9 = 2 log 6 log 36 = log (36) La soluzione x = 5 è da accettare.

32 Esercizio log 3 x 1 + log 3 (x + 1) = log 3 8 log 3 x 1 x + 1 = log 3 8 x 1 x + 1 = 8 x 2 1 = 8 x 2 = 9 x = ± 9 x = ±3

33 Verifica log 3 x 1 + log 3 (x + 1) = log 3 8 x = 3 log log 3 (3 + 1) = log 3 8 log log 3 (4) = log 3 8 log 3 8 = log 3 8 x = 3 è soluzione

34 Verifica log 3 x 1 + log 3 (x + 1) = log 3 8 x = 3 log log 3 ( 3 + 1) = log 3 8 log log 3 ( 2) = log 3 8 x = 3 non è soluzione

35 Disequazioni esponenziali Le disequazioni esponenziali sono riconducibili alla forma a f(x) < a g(x) oppure a f(x) a g(x) dove a > 0 e diverso da 1. Se a > 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, alle seguenti: f x < g(x) oppure f x g x ; Se 0 < a < 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, alle seguenti: f x > g(x) oppure f x g x.

36 Esempio 1 Risolvere la disequazione: 2 3x 1 > 4 3x 2 3x 1 > 2 2 3x 2 3x 1 > 2 6x 3x 1 > 6x 3x 6x > 1 3x > 1 x < 1 3

37 Esempio 2 Risolvere la disequazione: x+5 > 9 4 4x+5 > x + 5 < 2 4x < 7 x < 7 4

38 Esempio 3 Risolvere la disequazione: 4 2x 1 > 5 3x+1 log 4 4 2x 1 > log 4 5 3x+1 2x 1 log 4 4 > 3x + 1 log 4 5 2x 1 > 3xlog log 4 5 x(2 3 log 4 5) > log x < log log 4 5

39 Disequazioni logaritmiche Le disequazioni esponenziali sono riconducibili alla forma log a f(x) < log a g(x) oppure log a f(x) log a g(x) dove a > 0 e diverso da 1.

40 Se a > 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, ai seguenti sistemi che tengono conto delle condizioni di realtà delle radici: f x > 0 f x > 0 g x > 0 oppure g x > 0 f x < g(x) f x g(x) Se 0 < a < 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, ai seguenti sistemi che tengono conto delle condizioni di realtà delle radici: f x > 0 g x > 0 oppure f x > g(x) f x > 0 g x > 0 f x g(x)

41 Esempio 1 Risolvere la seguente disequazione log 3 (3x 5) log 3 (2x 3) La disequazione è equivalente al sistema: 3x 5 > 0 2x 3 > 0 3x 5 2x 3 I dis. II dis. III dis. x > 5 3 x > 3 2 x < x 2 3/2 5/3 2

42 Esempio 2 Risolvere la seguente disequazione log1(2x 7) log1(4x + 3) 2 2 La disequazione è equivalente al sistema: 2x 7 > 0 4x + 3 > 0 2x 7 4x+3 I dis. II dis. III dis. x > 7 2 x > 3 4 x 5 x > /4 7/2

43 Esercizi 1. Semplificare le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi: a) log 2 64 = log = 6 b) log = log = 3 c) log = log = 3 2. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali a) 3 x+1 > 27 [x > 2] b) c) 1 < 2 2 x x 2 x +3 x > 1 2 [x > 1 2 ] [x < 0]

44 3. Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche: a) log3(x 2 7x + 11) < 0 [x < 2 o x > 5] 4 b) log (2x 5) + log (3x + 1) 1 [ 5 < x 3] 2 c) log 5 x 3 > log 5 2x + 1 [impossibile] 4. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: a) 2 x+1 = b) 4 x+1 3 = 1 [ 1] c) 3 4 x 2 3x = 4 3 2x 2 [ 1 e 2]

45 5. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche: a) log 3 x 5 + log 3 (x + 7) = log 3 13 [x = 6] b) 2 log x + 3 log (2 x 2 + 3x 1) = 0 [x = 2 e x = 5] c) 1 2 log 5 3x + 4 = log 5 x + 3 log 5 2 [x = 1 e x = 7]

46 Esercizio 2b 1 2 x+1 < 2 2 [x > 1 2 ] 2 (x+1) < (x+1) < (x+1) < 2 1 2

47 Esercizio 2b 2 (x+1) < x + 1 < 1 2 x + 1 > 1 2 x > x > 1 2

48 Esercizio 3a log3(x 2 7x + 11) < 0 [x < 2 o x > 5] 4 log3(x 2 7x + 11) < log x 2 7x + 11 > 1 x 2 7x + 11 > 0 x 2 7x + 10 > 0 x 2 7x + 11 > 0

49 Esercizio 3a x 2 7x + 10 > 0 x 2 7x + 10 = 0 x = 7± = 7± 9 2 = 7±3 2 = 2,5 x 2 7x + 10 > 0 x < 2 o x > 5

50 Esercizio 3a x 2 7x + 11 > 0 x 2 7x + 11 = 0 x = 7± = 7± 5 2 x 2 7x + 11 > 0 x < o x >

51 Esercizio 3a x < 2 o x > I dis. II dis.

52 Esercizio 3c log 5 x 3 > log 5 2x + 1 [impossibile] x 3 > 0 2x + 1 > 0 x 3 > 2x + 1 x > 3 x > 1 2 x 2x > 3 + 1

53 Esercizio 3c x > 3 x > 1 2 x > 4 x > 3 x > 1 2 x < 4

54 Esercizio 3c) Nessuna soluzione: l equazione è impossibile I dis. II dis. III dis. -4-1/2 3