Funzioni Esponenziale e Logaritmica. Prof. Simone Sbaraglia

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1 Funzioni Esponenziale e Logaritmica Prof. Simone Sbaraglia

2 Funzione Esponenziale Vogliamo definire propriamente le funzioni esponenziali e logaritmiche che abbiamo introdotto in precedenza. Qual e` il significato della funzione f(x)=a x? Sappiamo che: i Se x a x = a a a a, n volte i Se x a x = 1 a x i Se x a p q q = x p Tuttavia, qual'e` il significato di a x se x e` irrazionale? Per cominciare osserviamo il grafico della funzione 2 x quando x e` razionale: Ci sono buchi nel grafico, in corrispondenza dei valori irrazionali di x. Vogliamo riempire questi buchi definendo la funzione anche sugli irrazionali. 2

3 Funzione Esponenziale Per esempio, definiamo il numero. 2 3 Dal momento che la funzione e` continua e crescente sui razionali, vogliamo conservare questa proprieta` nell'estensione agli irrazionali. Quindi, dal momento che 1.7 < 3 < 1.8 dobbiamo definire 2 3 in modo tale che < 2 3 < per conservare la monotonia. Nota: sappiamo cosa significa e perche` 1.7 e 1.8 sono numeri razionali. Analogamente, se utilizziamo una approssimazione migliore per 3, otterremo una approssimazione migliore per il numero 2 3 che stiamo cercando di definire: 1.73 < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 <

4 Funzione Esponenziale E` possibile mostrare che esiste esattamente un numero che e` maggiore di tutti i numeri 2 1.7, , , , , e minore di tutti i numeri 2 1.8, , , , , Definiamo quindi questo numero. Quindi, la definizione della funzione esponenziale e` data per approssimazione degli irrazionali con i numeri razionali. Dal momento che possiamo approssimare ogni irrazionale con numeri razionali con precisione arbitraria (densita`), possiamo definire la funzione esponenziale anche con esponente irrazionale per approssimazione tramite esponenziali con esponente razionale 4

5 Funzione Esponenziale Il grafico mostra la funzione f (x) = 2 x per x. In generale definiamo: a x := lim a r r x dove r e` razionale. La definizione si basa sul fatto che ogni numero irrazionale puo` essere approssimato con numeri razionali e dunque e` possibile trovare una successione di numeri razionali che tende ad x (r x). Famiglia di funzioni a x per diversi valori di a. Se a > 1 la funzione e` crescente, se a < 1 la funzione e` decrescente. 5

6 Funzione Esponenziale Le proprieta` della funzione esponenziale sono riassunte sotto: per ogni a,b > 0 ed x,y : 1. a x+ y = a x a y 2. a x y = ax a y ( ) y = a xy 3. a x ( ) x = a x b x 4. ab f (x) = a x e` sempre positiva, sempre continua e derivabile. f (x) = a x e` crescente se a > 1 e decrescente se a < 1 6

7 Funzione Logaritmica E` chiaro dalle proprieta` della funzione esponenziale che si tratta di una funzione iniettiva sempre continua e derivabile. Dunque deve esistere la funzione inversa. Chiamiamo questa inversa funzione logaritmica : log a (x). Dunque, per definizione di funzione inversa, log a (x) = y se e solo se a y = x log a ( a x ) = x e a log a ( x) = x 7

8 Funzione Logaritmica Il dominio della funzione logaritmica e` l'immagine della funzione esponenziale e la sua immagine e` il dominio della funzione esponenziale. Quindi: log a : (0,+ ) Riassumiamo le proprieta` della funzione logaritmica: e` una funzione iniettiva, sempre continua e sempre derivabile (nel proprio dominio), crescente se a > 1 decrescente se a < 1. Inoltre: 1. log a (xy) = log a x + log a y x 2. log a y = log x log y a a 3. log a (x r ) = r log a x 8

9 Esponenziale e Logaritmo Naturali Fra tutte le possibili basi, ce n e` una che si presenta piu` di frequente nelle applicazioni. Si tratta del numero di Nepero e, un numero irrazionale vicino a 2.7. Quando utilizziamo il numero di Nepero come base, la funzione esponenziale viene chiamata esponenziale naturale e la funzione logaritmo viene chiamata logaritmo naturale. La seguente formula consente di passare da una base del logaritmo ad un altra: log a x = ln x ln a 9

10 Derivate dell Esponenziale e Logaritmo Naturali Iniziamo con l'esponenziale naturale: e x+ h e x f (x) = e x f '(x) = lim h 0 h e h 1 = e x lim = e x h 0 h Quindi De x = e x. Geometricamente questo significa che la pendenza della tangente in ogni punto e` uguale alla coordinata y del punto. Ora consideriamo la funzione logaritmo naturale. Utilizziamo una tecnica nota come differenziazione implicita: Sia y = ln x per definizione e y = x. Quindi, derivando rispetto ad x: d dx e y = d dx x ora, il membro di destra e` 1 e quello di sinistra (per la regola di derivazione della funzione composta): e y d dx y. Quindi: e y dy dx = 1 dy dx = 1 e y = 1 e ln x = 1 x e quindi D ln x = 1 x 10

11 Differenziazione Implicita La differenziazione implicita e` una tecnica utile quando abbiamo funzioni che non sono definite esplicitamente da una formula ma sono definite implicitamente da un equazione del tipo f(x,y)=0. Questa relazione puo` definire una funzione y=y(x) o meno. Ad esempio, l equazione x 2 +y 2 =1 definisce un cerchio che non e` il grafico di una funzione. Tuttavia localmente questo potrebbe ancora essere il grafico di una funzione di x. Vicino al punto (0,1) questo e` vero, ma vicino al punto (1,0) l equazione non puo` definire il grafico di alcuna funzione di x!! Quindi, il primo problema e` capire se l equazione definisce il grafico di una funzione di x vicino al punto in cui vogliamo derivare. Il secondo problema e` che non sappiamo se la funzione implicitamente definita dall equazione sia derivabile... 11

12 Differenziazione Implicita Queste questioni sono chiarite dal Teorema della Funzione Implicita che afferma che se la derivata di f rispetto ad y non si annulla nel punto e le due derivate parziali sono continue la funzione implicita e` definita localmente e derivabile. Utilizzando questa tecnica possiamo derivare: y = y(x) definita dall'equazione: x 3 + y 3 = 6xy (osserviamo che non e` facile risolvere l'equazione per x). 3x 2 + 3y 2 y' = 6y + 6xy' x 2 + y 2 y' = 2y + 2xy' y 2 y' 2xy' = 2y x 2 y = 2y x2 y 2 2x Dunque, la derivata di y e` nota in funzione di x ed y stessa. 12

13 Derivate della Funzione Esponenziale e Logaritmica Ora, sia f (x) = log a (x). Dal momento che sappiamo che log a (x) = ln x ln a D log a (x) = 1 ln a D ln x = 1 x ln a D log a (x) = 1 x ln a E dunque finalmente, se f (x) = a x dal momento che a = e ln a Da x = D e ln a quindi, Da x = a x ln a ( ) x = D( e ) x ln a = e x ln a D x ln a ( ) = e x ln a ln a = e ln a ( ) x ln a = a x ln a 13