Potenze, esponenziali e logaritmi 1 / 34

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1 Potenze, esponenziali e logaritmi / 34

2 Grafico della funzione x 2 e x 2 / 34 y f(x)=x 2 y=x f (x)= x x

3 Le funzioni potenza 3 / 34 Più in generale, si può considerare, per n N, n>0, n pari, la funzione f : [0,+ ) [0,+ ) x x n Anche in questo caso, l inversa esiste ed è indicata con (radice n-esima di x) f (x)= n x

4 La funzione potenza 4 / 34 Nel caso di esponente n dispari, la funzione f(x)=x n realizza una funzione bigettiva f :R R La sua inversa è ancora denotata n x

5 Grafico della funzione x 3 e 3 x 5 / 34 y f(x)= x 3 y=x f (x)= 3 x x

6 6 / 34 Proprietà Proprietà: Sia f : A B invertibile, con A e B sottoinsiemi di R. Allora il grafico di f : B A e il grafico di f risultano uno il simmetrico dell altro rispetto alla bisettrice y = x. mentre Γf ={[x, f(x)] R 2 : x A} Γf = {[t, f (t)] R 2 : t B} = {[f(x), f (f(x))] R 2 : x A} = {[f(x), x] R 2 : x A} Le coordinate dei punti di Γf si ottengono da quelle dei punti di Γf scambiando i ruoli di ascissa e ordinata

7 7 / 34 y P =(y 0,x 0 ) y=x M P=(x 0,y 0 ) x ( x0 + y 0 M =, x ) 0+ y M bisettrice m PP = x 0 y 0 y 0 x 0 = x 0 y 0 x 0 y 0 =

8 Esercizio 8 / 34 Sia la funzione bigettiva definita da: f :R R f(x)= 3x+ Determinare l espressione che definisce f :R R

9 Soluzione 9 / 34 Applicando f a x si ottiene (3x+)=y. Ritorniamo indietro al valore x di partenza, (3x+) =3x/3=x y y 3 Ovvero f (y)= y 3

10 Soluzione 0 / 34 Lo stesso ragionamento, formalizzato in modo algebrico, si realizza scrivendo (3x+)=y e ricavando la x 3x=y x= y 3 = f (y) Per rappresentare convenientemente f nel piano cartesiano, la riscriviamo come f (x)= x 3

11 / 34 y y=3x+ y=x Grafico y= x 3 x

12 2 / 34 Funzioni elementari: Funzioni potenza Funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

13 Proprietà delle potenze 3 / 34 Iniziamo dalle proprietà elementari: x n x m = x n+m = x m x n (x n ) m = x n m =(x m ) n valide per x R, n,m N, n,m.

14 Proprietà delle potenze 4 / 34 Le proprietà delle potenze continuano a essere valide anche quando n,m Q a condizione di porre: x>0 x 0 = n N, n Segue che x n = x n e x n = n x, x m n = x m n =(x m ) n = n x m

15 Proprietà delle potenze Attraverso un opportuno processo di limite si arriva a definire le cosiddette funzioni potenza con esponente reale, cioè f(x)= x a, x>0, dove l esponente a è un qualunque numero reale, non nullo, fissato. Per cogliere la sottigliezza dell argomento notiamo che, se da una parte una scrittura del tipo 3 5/2 ha un significato chiaro, in quanto dall altra una scrittura del tipo 3 5/2 =(3 5 ) /2 = 3 5 richiede un processo non banale di approssimazione / 34

16 Funzione potenza 6 / 34 Continuano a valere le proprietà x a x b = x a+b = x b x a valide per x>0, a,b R (x a ) b = x a b =(x b ) a

17 Grafici della funzione potenza y=x a 7 / 34 y y x x 0<a< a>

18 Grafici della funzione potenza y=x a 8 / 34 y x a<0

19 Funzione esponenziale 9 / 34 Se invece si considera, in x a la base x come fissata e l esponente come variabile, si ottengono le cosiddette funzioni esponenziali. Più precisamente, se a R, a > 0, definiamo la funzione esponenziale di base a come: f(x)= a x

20 Funzione esponenziale 20 / 34 Le principali proprietà di questa famiglia di funzioni sono coerenti con quelle delle potenze. In particolare, a,b,x,y R, con a,b> 0, si ha: a 0 =, x = a x > 0 ; a x+y = a x a y (a b) x = a x b x (a x ) y = a xy =(a y ) x se a>, allora : (x<y) (a x < a y ) se 0<a<, allora : (x<y) (a x > a y ).

21 Grafico della funzione esponenziale 2 / 34 y y x x f(x)=a x, a> f(x)=a x, a<

22 Funzione logaritmo 22 / 34 Guardando i grafici della funzione esponenziale non è difficile convincersi del fatto che, se a, le funzioni esponenziali f : R (0,+ ) x f(x)= a x sono bigettive e quindi invertibili. L inversa f :(0,+ ) R dell esponenziale a x si chiama funzione logaritmo in base a di x, indicato con log a x f : (0,+ ) R x f (x)= log a x

23 Esercizio 23 / 34 Tracciare qualitativamente l andamento grafico della funzione logaritmo f : (0,+ ) R x f(x)= log a x separando i due casi: 0<a< a>.

24 Soluzione Il grafico di f e quello di f sono l uno il simmetrico dell altro rispetto alla bisettrice y = x. Si trova quindi: y y a x y=x log a x x a x log a x y=x x a> 0<a< 24 / 34

25 Proprietà dei logaritmi 25 / 34 Ricordiamo che, dato che a x e log a x sono una l inversa dell altra, valgono le seguenti relazioni fondamentali: log a a x = x a log a x = x

26 Proprietà dei logaritmi 26 / 34 Utilizzando le proprietà delle potenze è possibile ottenere le principali proprietà dei logaritmi. Se a,b,x,y sono numeri reali positivi, con a,b, si ha (i) log a x y=log a x+log a y (ii) log a x α = α log a x, α R (iii) log b x= log a x log a b

27 27 / 34 Verifica (i) log a x+log a y = log a [a log a x+log a y ] = log a [a log a x a log a y ]=log a x y (ii) x α =(a log a x ) α = a α log a x log a x α = log a a α log a x = α log a x (iii) log a x=log a b log b x =(log b x)(log a b) log b x= log a x log a b

28 Un valore abbastanza usato per la base a del logaritmo è a=0. In questo caso, scriveremo 28 / 34 invece di log 0 x. Logx Però la base di gran lunga più usata per i logaritmi è il cosiddetto numero di Nepero e Si tratta di un numero reale irrazionale le cui prime cifre decimali sono riportate nella seguente approssimazione: e 2,7882 La funzione logaritmo con base e è tradizionalmente chiamata logaritmo naturale di x e si indica col simbolo lnx

29 Esercizio 29 / 34 Esercizio: Determinare gli x R che verificano log 4 4 2x 3= x. Soluzione: L equazione diventa: 2xlog 4 4 3= x.

30 Esercizio 30 / 34 Si ottiene 2x 3= x. () Ora, se x<0, la () non può essere verificata, in quanto a destra dell uguale avremmo una quantità positiva, mentre a sinistra ne avremmo una negativa. Quindi si deve avere x 0, per cui la () diventa 2x 3=x, che ovviamente ha come unica soluzione x=3.

31 Esercizio 3 / 34 Esercizio: Determinare gli x R che soddisfano Soluzione: La (2) diventa: 2 8+x + 2 x = 2 2x. (2) x + 2 x =(2 x ) 2.

32 Esercizio 32 / 34 Cioè 2 x[ x] = 0. Poiché 2 x > 0 x R, l unica possibilità è: 2 x = +2 8, da cui x=log 2 (+2 8 )=log 2 (257).

33 Esercizio 33 / 34 Esercizio: Ripetere l esercizio precedente sostituendo la (2) con: 2 8+x 2 x = 2 x. (3) Soluzione: Moltiplicando entrambi i lati dell equazione per la quantità positiva 2 x, vediamo che la (3) equivale a: x 2 2x =,

34 Esercizio 34 / 34 ovvero 2 2x = 2 8 = 255. Applicando il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri si ottiene: 2x log 2 2=log Un ultimo passaggio fornisce il risultato seguente: x= 2 log = log = 2 log