Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)

Transcript

1 Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)

2 La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5 x sono funzioni esponenziali.

3 Il valore di f(x) = 3 x se x = é f() = 3 = 9 Il valore di f(x) = 3 x se x = é 1 f( ) = 3 = 9 Il valore di g(x) = 0.5 x se x = 4 é g(4) = = 0.065

4 Il grafico di f(x) = a x, a > 1 y (0, 1) x

5 Il grafico di f(x) = a x, 0 < a <1 y (0, 1) x

6 Esempio. Grafico di f(x) = x. x f(x) (x, f(x)) - ¼ (-, ¼) -1 ½ (-1, ½) 0 1 (0, 1) 1 (1, ) 4 (, 4) y 4 x

7 Esempio: Grafico di g(x) = -x. Il grafico si ottiene riflettendo il grafico precedente rispetto all asse delle y. y 4 f(x) = x x

8 Proprietà delle potenze con esponente reale Le proprietà delle potenze con esponente reale sono le stesse delle potenze con esponente intero: Dati x, y R, a, b R, a,b>0 a x a y = a x +y a -x = 1 / a x a 0 = 1 a x : a y = a x - y (a:b) x = a x : b x (a x ) y = a x y. (ab) x = a x b x

9 Logaritmi

10 Per x 0 e 0 a 1, y = log a x se e solo se if x = a y. Il valore y é chiamato logaritmo con base a. Ogni equazione del logaritmo ha un equivalente equazione esponenziale: y = log a x é equivalente a x = a y E da notare che il logaritmo ha sempre come argomento un numero positivo!

11 Esempio: Scrivere la corrispondente equazione esponenziale e risolverla. Equazione logaritmica y = log 16 1 y = log ( ) y = log 4 16 y = log 5 1 Equivalente equazione esponenziale 16 = y 1 = y 16 = 4 y 1 = 5 y Soluzione 16 = 4 y = 4 1 = -1 y = 1 16 = 4 y = 1 = 5 0 y = 0

12 Proprietà dei logaritmi 1. log a 1 = 0 qualunque sia a>0, con a diverso da 1, perché a 0 = 1.. log a a = 1 perché a 1 = a. 3. log a a x = x e a log a x = x 4. Se log a x = log a y, allora x = y, con x e y>0. 5. log a (b c) = log a b + log a c, con b,c>0. 6. log a p x = x log a p, con p > 0

13 Proprietà dei logaritmi 7. log a 1 p = log a p 8. log a (b/c) = log a b - log a c. 9. log a (x) = log b x / log b a. Formula del cambiamento di base 10. log a (b) = 1 / log b a. 11. log 1/a (b) = - log a b.

14 Esempi: trovare il valore di x : log 6 6 = x log 6 6 = 1 proprietà x = 1 Semplificare: log log = 5 proprietà 3 Semplificare: 7 log log 7 9 = 9 proprietà 3

15 Esempio Applicando le proprietà dei logaritmi, semplificare la seguente espressione: a 4 b log a b 3 = a 4 = log a a 4 b log a (b 3 a 4 ) = = log a a 4 + log a b log a b 3 log a a 4 = log a a + log a b 1 4 log a b log a a 4 3 = = log ab log a b 4 3 log aa = = = 7 4 log ab + 3

16 Grafico di log a x con base a>1 y y = log a x (1, 0) x

17 y y = log a x Grafico di log a x con base 0<a<1 (1, 0) x

18 Esercizi Semplificare le seguenti espressioni applicando le proprietà dei logaritmi: 3 1. log 3 3 [ 4 1 log 3 3 3]. log [ 9 4 ] 3. log [ log 45]

19 4 4 5 Es. 3 log [ log 45] 4 log log = log log 4 5 log log = log log 4 5 log log =

20 log log 4 5 log log = log log log 4 5 log = log log log 4 4 =

21 + 1 4 log log = (1 4 3) log 4 5 = 1 + (1 1 4 ) log 4 5 = log 4 5

22 Equazioni esponenziali Un equazione esponenziale è una equazione in cui l incognita compare all esponente. Per risolvere un equazione esponenziale applicando le proprietà delle potenze ci si riconduce, se possibile, alla forma a f(x) = a g(x) che è equivalente all equazione f x = g(x)

23 Esempio 1 4 x+1 = 8 (x+1) = 3 x + 1 = 3 4x + = 3 4x = 1 x = 1 4

24 Esempio 3 x 1 = 5 log 3 3 x 1 = log 3 5 x 1 = log 3 5 x = 1 + log 3 5

25 Esempio x = 4 6 x applicando il logaritmo a entrambi i membri (ad esempio di base 10) log (5 3 x ) = log( 4 6 x ) log 5 + x log 3 = log 4 + x log 6 x (log 3 log 6) = log 4 log 5 x = log 4 log 5 = log 4 log 5 log 3 log 6 log

26 Esempio x = 4 6 x 5 3 x = 4 (3 ) x 5 3 x = 4 3 x x 5 = 4 x 5 = x 5 = +x

27 Esempio 3 log 5 = log +x log 5 = ( + x) log log 5 = + x log 5 = x x = log 5

28 Equazioni logaritmiche Un equazione logaritmica è una equazione in cui l incognita compare come argomento del logaritmo. Per risolvere un equazione logaritmica applicando le proprietà dei logaritmi ci si riconduce, se possibile, alla forma log a f(x) = log a g(x) con a 1, da cui si ottiene l equazione f x = g(x) che in generale non è equivalente a quella sopra.

29 Equazioni logaritmiche Infatti si deve tener conto della condizione di positività degli argomenti dei logaritmi. Esempio: log x 1 = log 3 Dalle proprietà dei logaritmi segue che x 1 = 3 x = 4 Verifica: log 4 1 = log 3 log 3 = log 3 x = 4 è soluzione

30 Equazioni logaritmiche Infatti si deve tener conto della condizione di positività degli argomenti dei logaritmi. Esempio: log x 1 + log x 1 = log x + 1 Dalle proprietà dei logaritmi segue che x 1 x 1 = x + 1 x x x + 1 = x + x + 1 x 5x = 0 x = 0 oppure x = 5

31 Sostituendo la prima soluzione x = 0 nell equazione di partenza si ottiene log 1 + log 1 = log 1 Poiché il logaritmo esiste solo per argomenti positivi non possiamo accettare tale soluzione. Sostituendo la seconda soluzione x = 5 nell equazione di partenza si ottiene log 4 + log 9 = log 6 log 36 = log (36) La soluzione x = 5 è da accettare.

32 Esercizio log 3 x 1 + log 3 (x + 1) = log 3 8 log 3 x 1 x + 1 = log 3 8 x 1 x + 1 = 8 x 1 = 8 x = 9 x = ± 9 x = ±3

33 Verifica log 3 x 1 + log 3 (x + 1) = log 3 8 x = 3 log log 3 (3 + 1) = log 3 8 log 3 + log 3 (4) = log 3 8 log 3 8 = log 3 8 x = 3 è soluzione

34 Verifica log 3 x 1 + log 3 (x + 1) = log 3 8 x = 3 log log 3 ( 3 + 1) = log 3 8 log log 3 ( ) = log 3 8 x = 3 non è soluzione

35 Disequazioni esponenziali Le disequazioni esponenziali sono riconducibili alla forma a f(x) < a g(x) oppure a f(x) a g(x) dove a > 0 e diverso da 1. Se a > 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, alle seguenti: f x < g(x) oppure f x g x ; Se 0 < a < 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, alle seguenti: f x > g(x) oppure f x g x.

36 Esempio 1 Risolvere la disequazione: 3x 1 > 4 3x 3x 1 > 3x 3x 1 > 6x 3x 1 > 6x 3x 6x > 1 3x > 1 x < 1 3

37 Esempio Risolvere la disequazione: 3 3 4x+5 > 9 4 4x+5 > 3 4x + 5 < 4x < 7 x < 7 4

38 Esempio 3 Risolvere la disequazione: 4 x 1 > 5 3x+1 log 4 4 x 1 > log 4 5 3x+1 x 1 log 4 4 > 3x + 1 log 4 5 x 1 > 3xlog log 4 5 x( 3 log 4 5) > log x > log log 4 5

39 Disequazioni logaritmiche Le disequazioni logaritmiche sono riconducibili alla forma log a f(x) < log a g(x) oppure log a f(x) log a g(x) dove a > 0 e diverso da 1.

40 Se a > 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, ai seguenti sistemi che tengono conto delle condizioni di realtà delle radici: f x > 0 f x > 0 g x > 0 oppure g x > 0 f x < g(x) f x g(x) Se 0 < a < 1, le disequazioni sono equivalenti, rispettivamente, ai seguenti sistemi che tengono conto delle condizioni di realtà delle radici: f x > 0 g x > 0 oppure f x > g(x) f x > 0 g x > 0 f x g(x)

41 Esempio 1 Risolvere la seguente disequazione log 3 (3x 5) log 3 (x 3) La disequazione è equivalente al sistema: 3x 5 > 0 x 3 > 0 3x 5 x 3 I dis. II dis. III dis. x > 5 3 x > 3 x 5 3 < x 3/ 5/3

42 Esempio Risolvere la seguente disequazione log1(x 7) log1(4x + 3) La disequazione è equivalente al sistema: x 7 > 0 4x + 3 > 0 x 7 4x+3 I dis. II dis. III dis. x > 7 x > 3 4 x 5 x > /4 7/

43 Esercizi 1. Semplificare le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi: a) log 64 = log 6 = 6 b) log 5 15 c) log = log = 3. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali a) 3 x+1 > 7 [x > ] b) c) 1 < x+1 x x +3 x > 1 [x > 1 ] [x < 0]

44 x c) > 1 x +3 x (x +3 x ) < x x < x < 1 x < 3 x < 1 x < 0. 0

45 3. Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche: a) log3(x 7x + 11) < 0 [x < o x > 5] 4 b) log (x 5) + log (3x + 1) 1 [ 5 < x 3] c) log 5 x 3 > log 5 x + 1 [impossibile] 4. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: a) x+1 = 18 6 b) 4 x+1 3 = 1 [ 1] c) 3 4 x 3x = 4 3 x [ 1 e ]

46 log (x 5) + log (3x + 1) 1 1. x 5 > 0 x > 5,. 3x + 1 > 0 x > 1 3, log ((x 5) (3x + 1)) log(10) 3. x 5 3x x 13x x 13x 15 0 Troviamo i zeri dell equazione associata 6x 13x 15 = 0 x 1, = 13± = 13±3 1 = 3, 10 1 = 5 6.

47 La disequazione 3. è soddisfatta per tutti gli x dove 5 6 x 3-5/6-1/3 5/ 3 La disequazione è verificata per 5 < x 3.

48 5. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche: a) log 3 x 5 + log 3 (x + 7) = log 3 13 [x = 6] b) log x + 3 log ( x + 3x 1) = 0 [x = 5] c) 1 log 5 3x + 4 = log 5 x + 3 log 5 [x = 1 e x = 7]

49 5b) log x + 3 log ( x + 3x 1) = 0 log x + 3 = log(x + 3x 1) x + 3 = x + 3x 1 x + 6x + 9 = x + 3x 1 0 = x 3x 10 x 1, = 3± 9+40 Verifica per x = 5: = 3±7 = 5,. log log ( ) = 0 log 8 log (64) = 0

50 log 8 log (64) = 0 log 8 log (64) = 0 x = log + 3 log ( ( ) 1) = 0 log 1 log (1) = 0 Le soluzioni dell equazione sono x =,5.

51 5c) 1 log 5 3x + 4 = log 5 x + 3 log 5 log 5 3x = log 5 3x = x+3 3x + 4 = 1 4 x + 3 x+3 1x + 16 = x + 6x = x 6x 7 x 1, = 6± 36+8 Verifica per x = 7 = 6±8 = 7, 1. 1 log 5 5 = log 5 10 log 5 log 5 5 = log 5 (5)

52 x = 1 1 log 5 1 = log 5 log 5 Le soluzioni sono x = 1,5.

53 Esercizio b 1 x+1 < [x > 1 ] (x+1) < 1 1 (x+1) < 1 1 (x+1) < 1

54 Esercizio b (x+1) < 1 x + 1 < 1 x + 1 > 1 x > 1 1 x > 1

55 Esercizio 3a log3(x 7x + 11) < 0 [x < o x > 5] 4 log3(x 7x + 11) < log x 7x + 11 > 1 x 7x + 11 > 0 x 7x + 10 > 0 x 7x + 11 > 0

56 Esercizio 3a x 7x + 10 > 0 x 7x + 10 = 0 x = 7± = 7± 9 = 7±3 =,5 x 7x + 10 > 0 x < o x > 5

57 Esercizio 3a x 7x + 11 > 0 x 7x + 11 = 0 x = 7± = 7± 5 x 7x + 11 > 0 x < 7 5 o x > 7+ 5

58 Esercizio 3a x < o x > I dis. II dis.

59 Esercizio 3c log 5 x 3 > log 5 x + 1 [impossibile] x 3 > 0 x + 1 > 0 x 3 > x + 1 x > 3 x > 1 x x > 3 + 1

60 Esercizio 3c x > 3 x > 1 x > 4 x > 3 x > 1 x < 4

61 Esercizio 3c) Nessuna soluzione: l equazione è impossibile I dis. II dis. III dis. -4-1/ 3