Trovare il valore dei seguenti logaritmi:

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1 Trovare il valore dei seguenti logaritmi: 1) x = log 2 16 log 2 16 = x 2 x = 16 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 2 mi da' 16 Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero = 2 4 l'esponente vale 4 quindi log 2 16 = 4 2) x = log log = x 10 x = 1000 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 10 mi da' 1000 Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero = = 10 3 l'esponente vale 3 quindi log = 3 3) x = log 3 81 log 3 81 = x 3 x = 81 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 3 mi da' 81 Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero = 3 4 l'esponente vale 4 quindi log 3 81 = 4 4) x = log log = x 5 x = 125 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 5 mi da' 125 Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero = 5 3 l'esponente vale 3 quindi log = 3 1 5) x = log log = x 64

2 1 4 x = cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 4 mi da' 1/64 cioe' un esponente negativo Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 64 e lo metto in forma di potenza di 4 64 = 2 6 = 4 3 l'esponente vale 3 ma siccome il numero e' sotto il segno di frazione l'esponente e' negativo e quindi vale -3 1 log = ) x = log a 1 log a 1 = x a x = 1 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente ad a mi da' come risultato 1 So che un numero elevato a potenza zero mi da' sempre 1 ripassa la dimostrazione quindi log a 1 = 0 Il logaritmo in qualunque base di 1 vale sempre zero Ricorda pero' che la base deve sempre essere maggiore di zero e diversa da 1 6) x = log a 0 log a 0 = x a x = 0 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente ad a mi da' come risultato 0 Nessun numero elevato a potenza mi puo' dare come risultato zero, quindi log a 0 = x non ha to Il logaritmo in qualunque base di 0 non si puo' fare Se il numero e'positivo anche se e' molto vicino a zero il logaritmo e' sempre possibile Esercizi sulle equazioni logaritmiche con log x intendiamo il logaritmo in base e e con Log x il logaritmo in base 10 Esercizio 1 Esercizio 2 log(x+1) + log(x-1) = 0

3 Esercizio 3 log 2 (x+1) = log 4 (2x+5) Esercizio 4 log 3 x 4 + log 3 x 3 + log 3 x 2 + log 3 x = 10 Esercizio 5 log 2 (4x 2-3x + 4) - log 2 (x 2 + x + 1) = 1 Esercizio 6 (Log x 2 ) 2-2 Log x = 0 SOLUZIONI Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere l'equazione sotto le condizioni: x - 2 > 0 x - 3 > 0 risolvo x > 2 x > 3 Essendo un sistema devo prendere l'intervallo dove sono valide contemporaneamente le disequazioni cioe' x > 3 Adesso passo a risolvere l'equazione Per la regola del logaritmo di un quoziente posso scrivere x - 2 log = log 4 x - 3 x = 4 x - 3

4 Supponendo x diverso da 3 (sovrabbondante perche' x = 3 era gia' escluso dalle condizioni iniziali) faccio il m.c.m. x - 2 4(x - 3) = x - 3 x - 3 tolgo i denominatori x - 2 = 4(x - 3) calcolo x - 2 = 4x - 12 x - 4x = x = -10 x = 10/3 Ora devo controllare che la soluzione cada nell'intervallo di definizione: 10/3 e' maggiore di 3 quindi la soluzione 10 x = e' accettabile In qualche scuola ho visto anche risolverlo con un sistema in questo modo: x - 2 > 0 x - 3 > 0 Formalmente e' piu' giusto ma come svolgimento e' la stessa cosa Per la regola del logaritmo di un quoziente posso scrivere x - 2 log = log 4 x - 3 x = 4 x - 3 Supponendo x diverso da 3 (sovrabbondante perche' x = 3 era gia' escluso dalle condizioni iniziali) faccio il m.c.m. x - 2 4(x - 3) = x - 3 x - 3 tolgo i denominatori x - 2 = 4(x - 3) calcolo x - 2 = 4x - 12 x - 4x = 2-12

5 -3x = -10 x = 10/3 Ora devo controllare se la soluzione e' accettabile, per farlo sotituisco il valore 10/3 alla x nei logaritmi dell'equazione di partenza e controllo che gli argomenti siano positivi Sostituisco in log(x-2) log ( 10/3-2) = log 4/3 l'argomento e' maggiore di zero Sostituisco in log(x-3) log ( 10/3-3) = log 1/3 l'argomento e' maggiore di zero Quindi 10 x = e' accettabile log(x+1) + log(x-1) = 0 Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere l'equazione sotto le condizioni: x + 1 > 0 x - 1 > 0 risolvo x > -1 x > 1 Essendo un sistema devo prendere l'intervallo dove sono valide contemporaneamente le disequazioni cioe' x > 1 Adesso passo a risolvere l'equazione log(x+1) + log(x-1) = 0 Per la regola del logaritmo di un prodotto posso scrivere log (x-1)(x+1) = 0 calcolo prima dell'uguale e, ricordando che zero e' il logaritmo di 1 log (x 2-1) = log 1 x 2-1 = 1 x 2 = 2 x = 2 Ora devo controllare se le soluzioni cadono nell'intervallo di definizione: la soluzione x = - 2 e' esterna all'intervallo di definizione perche' e' minore di 1 e quindi non e' accettabile

6 la soluzione x = + 2 e' interna all'intervallo di definizione perche' e' maggiore di 1 e quindi e' accettabile cioe' x = + 2 e' accettabile log(x+1) + log(x-1) = 0 Per la regola del logaritmo di un prodotto posso scrivere log (x-1)(x+1) = 0 calcolo prima dell'uguale e, ricordando che zero e' il logaritmo di 1 log (x 2-1) = log 1 x 2-1 = 1 x 2 = 2 x = 2 Ora devo controllare se le soluzioni sono accettabili o meno sotituendole alle x nei logaritmi dell'equazione di partenza e controllando se cadono nell'intervallo di definizione: Sostituisco x = - 2 log(x+1) = log ( ) essendo l'argomento minore di zero la soluzione non e' accettabile (non serve provare l'altro logaritmo perche' basta che uno solo non sia valido e non e' valida tutta l'equazione) Sostituisco x = 2 log(x+1) = log ( 2 + 1) argomento maggiore di zero log(x-1) = log ( 2-1) argomento maggiore di zero essendo l'argomento maggiore di zero la soluzione e' accettabile cioe' x = + 2 e' accettabile log 2 (x+1) = log 4 (2x+5) Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere l'equazione sotto le condizioni: x + 1 > 0 2x + 5 > 0 risolvo x > -1 x > -5/2

7 Essendo un sistema devo prendere l'intervallo dove sono valide contemporaneamente le disequazioni cioe' x > -1 Adesso passo a risolvere l'equazione log 2 (x+1) = log 4 (2x+5) Siccome i logaritmi hanno base diversa dovro' applicare la regola del cambiamento di base. Conviene trasformare il secondo logaritmo da base 4 in base 2 Applico la regola log 2 (2x+5) log 2 (2x+5) log 4 (2x+5) = = log quindi posso scrivere log 2 (x+1) = 1/2log 2 (2x+5) e ricordando la regola del logaritmo di un radicale log 2 (x+1) = log 2 (2x+5) (x+1) = (2x+5) E' un'equazione irrazionale: elevo al quadrato da entrambe le parti (x+1) 2 = 2x+5 sviluppo il quadrato x 2 + 2x + 1 = 2x+5 x 2 + 2x + 1-2x - 5 = 0 x 2-4 = 0 x 2 = 4 x = 4 ottengo le soluzioni x = 2 x = -2 Per l'equazione irrazionale dovrei vedere se le soluzioni sono accettabili, pero' ho visto sempre che corrisponde all'accettabilita' della soluzione dell'equazione logaritmica Per l'equazione logaritmica controllo che le soluzioni siano conprese nell'intervallo di definizione x >-1 La soluzione x = 2 e' accettabile perche' maggiore di -1 La soluzione x = -2 non e' accettabile perche' minore di -1 log 2 (x+1) = log 4 (2x+5) Siccome i logaritmi hanno base diversa dovro' applicare la regola del cambiamento di base. Conviene trasformare il secondo logaritmo da base 4 in base 2

8 Applico la regola log 2 (2x+5) log 2 (2x+5) log 4 (2x+5) = = log quindi posso scrivere log 2 (x+1) = 1/2log 2 (2x+5) e ricordando la regola del logaritmo di un radicale log 2 (x+1) = log 2 (2x+5) (x+1) = (2x+5) E' un'equazione irrazionale: elevo al quadrato da entrambe le parti (x+1) 2 = 2x+5 sviluppo il quadrato x 2 + 2x + 1 = 2x+5 x 2 + 2x + 1-2x - 5 = 0 x 2-4 = 0 x 2 = 4 x = 4 ottengo le soluzioni x = 2 x = -2 Per l'equazione irrazionale dovrei vedere se le soluzioni sono accettabili, pero' ho visto che corrisponde all'accettabilita' della soluzione dell'equazione logaritmica Ora devo controllare se le soluzioni sono accettabili, per farlo sotituisco i valori alla x nei logaritmi dell'equazione di partenza e controllo che gli argomenti siano positivi soluzione x = -2 log 2 (x+1) = log(-2+1) = log(-1) Essendo l'argomento negativo la soluzione x=-2 non e' accettabile (non serve provare l'altro logaritmo perche' basta che uno solo non sia valido e non e' valida tutta l'equazione) soluzione x = 2 log 2 (x+1) = log 2 (2+1) = log 2 3 log 4 (2x+5) = log 4 [2(2)+5] = log 4 9 Essendo gli argomenti positivi la soluzione x = 2 e' accettabile log 3 x 4 + log 3 x 3 + log 3 x 2 + log 3 x = 10 Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere l'equazione sotto la condizione: se vuoi vedere i calcoli x > 0 Adesso passo a risolvere l'equazione Per la regola del logaritmo di una potenza posso scrivere 4log 3 x + 3log 3 x + 2log 3 x + log 3 x = 10 cioe', sommando

9 10log 3 x = 10 semplifico per 10 log 3 x = 1 so che 1=log 3 3, perche' 3 elevato ad 1 da' 3, quindi log 3 x = log 3 3 Eguaglio gli argomenti x = 3 essendo 3 maggiore di zero la soluzione e' accettabile log 3 x 4 + log 3 x 3 + log 3 x 2 + log 3 x = 10 Per la regola del logaritmo di una potenza posso scrivere 4log 3 x + 3log 3 x + 2log 3 x + log 3 x = 10 cioe', sommando 10log 3 x = 10 semplifico per 10 log 3 x = 1 so che 1=log 3 3, perche' 3 elevato ad 1 da' 3, quindi log 3 x = log 3 3 Eguaglio gli argomenti x = 3 Ora vado a sostituire 3 alla x e controllo che gli argomenti dei vari logaritmi siano maggiori di zero. log 3 x 4 = log = log >0 log 3 x 3 = log = log >0 log 3 x 2 = log = log >0 log 3 x = log >0 la soluzione x = 3 e' accettabile