Proprietà dei logaritmi e problemi. Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

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1 Proprietà dei logaritmi e problemi 1

2 Attività 2. Proprietà dei logaritmi e problemi Manca un problema da risolvere: calcolare i logaritmi in una base diversa da 10. È il primo problema che risolverete in questa attività Dividetevi in gruppi di 2 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo 2

3 Che cosa abbiamo trovato? 1. Una formula che permette il cambiamento di base, in modo da calcolare i logaritmi in qualunque base (positiva e diversa da 1). 2. Come si organizza il procedimento per risolvere un problema scientifico descritto da una legge logaritmica. 3

4 Cambiamento di base Per ottenere un logaritmo in base c, a partire dal logaritmo in base b si applica la formula seguente: log c x = log b x log b c Attenzione! Le basi dei logaritmi debbono essere positive e diverse da 1. Il tascabile fornisce i logaritmi in base 10; quindi per avere il logaritmo in un altra base c, scriveremo: log c x = log x logc esempio log 0,5 7 = log 7 log0,5 2,81 4

5 Tutte le proprietà dei logaritmi 1. Logaritmo di una potenza log a x p = plog a x! 2. Logaritmo di un prodotto log a (xy) = log a x + log b y! 3. Logaritmo di un quoziente log a (x : y) = log a x log b y! 4. Cambiamento di base log c x = log x logc 5

6 Una difficoltà dei logaritmi Richiedono una continua attenzione mentre si scrive e si calcola: bisogna applicare correttamente le proprietà e bisogna usare opportunamente la calcolatrice tascabile, non si può procedere automaticamente. Ragioniamo su un esempio 6

7 Attenzione nei calcoli con i logaritmi Esempio: l espressione 3 3 3log 10 = log 10 b. Calcoli solo con la calcolatrice Pigio la sequenza di tasti 3 10 y x (1/3) log = e ottengo: 3 3log 10 a. Calcoli con carta e penna Applico la proprietà del logaritmo di potenza e ottengo: ( ) 3 = log10 =1 3log 3 10 =1 La calcolatrice esegue i calcoli con tutte le cifre disponibili, perciò dà il risultato più preciso possibile 7

8 Attenzione nei calcoli con i logaritmi Un ultimo procedimento per calcolare l espressione 3log 3 10 c. Calcoli svolti con la calcolatrice, ma con i risultati parziali arrotondati a due cifre e scritti a mano ,15 log2,15 0,33 0, 33 3 = 0,99 Ottengo alla fine: 3log ,99 Procedimento decisamente sconsigliato! - Scrivere su carta i risultati parziali porta errori di scrittura. - Con solo due cifre decimali generalmente non si ottiene una buona l approssimazione. 8

9 Problema descritto da una legge logaritmica Legge che dà la misura in decibel dell intensità della sensazione prodotta da un suono. Intensità della sensazione udita S =10log P P 0 Potenza trasmessa dall onda sonora = Potenza corrispondente alla minima intensità udibile a. Quanto vale in decibel la minima intensità udibile dall orecchio umano? Traduzione in linguaggio matematico: quanto vale S, se nella formula sostituisco P 0 al posto di P? Procedimento S =10 log P 0 P 0 =10 log1 =10 0 = 0 La minima intensità udibile dall orecchio umano vale 0 decibel (S 0 = 0 db). 9

10 Problema descritto da una legge logaritmica Legge che dà la misura in decibel dell intensità della sensazione prodotta da un suono. Intensità della sensazione udita S =10log P Potenza trasmessa dall onda sonora b. Al momento del decollo un aereo supersonico produce un onda sonora che trasmette una potenza P = 0,2 W/m 2 ; quanto vale in decibel la sensazione sonora corrispondente? Traduzione in linguaggio matematico: quanto vale S, se nella formula sostituisco 0,2 al posto di P? Procedimento S =10 log 0,2 =10log( 0,2 ) Il calcolo si può eseguire in più modi 10

11 Vari modi di eseguire il calcolo S =10log( 0, ) 1. Si inserisce l espressione numerica nel tascabile con una corretta sequenza di tasti: 10 ( y x 12 ) log = 2. Si applica prima la proprietà del logaritmo di un prodotto e e poi la definizione di logaritmo; si ottiene: ( ) =10 log0, S =10 log0,2 + log10 12 Si inserisce l espressione numerica nel tascabile con la più semplice sequenza di tasti: log = In entrambi i casi si ottiene S

12 Problema descritto da una legge logaritmica Legge che dà la misura in decibel dell intensità della sensazione prodotta da un suono. Intensità della sensazione udita S =10 log P P 0 Potenza trasmessa dall onda sonora c. Un ragazzo suona in casa una chitarra elettrica che produce un suono intenso 60 decibel; quanto vale la potenza trasmessa dall onda sonora? Traduzione in linguaggio matematico: quanto vale P, se nella formula sostituisco 60 al posto di S? Procedimento: dalla formula debbo ricavare P, che si trova nell argomento di un logaritmo; perciò debbo seguire un procedimento articolato in tre passi: A. Dalla formula esplicito P; B. Sostituisco i dati nella formula ottenuta; C. Eseguo i calcoli. 12

13 A. Procedimento per esplicitare P S =10 log P P 0 1. Divido per 10 i due membri per esplicitare il logaritmo, che è moltiplicato per 10; ottengo: log P P 0 = S Applico la definizione di logaritmo per esplicitare l argomento del logaritmo; ottengo: P =10 P 0 3. Moltiplico i due membri per P 0 per esplicitare P; ottengo: S 10 P = P 0 10 S 10 13

14 A. Sostituisco i dati nella formula ottenuta 60 P = B. Eseguo i calcoli Non è necessario usare il tascabile; basta applicare la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base e si ottiene: P = = =

15 Osservazioni sulla scala in decibel (db) Intensità della sensazione in db S Potenza trasmessa dall onda sonora in W/m 2 P