Proprietà dei logaritmi. Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

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1 Proprietà dei logaritmi Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

2 Perché le proprietà dei logaritmi? I logaritmi sono presenti in molte leggi scientifiche insieme ad altre operazioni; ecco due esempi: Per valutare se un materiale è un buon isolante acustico si può usare una formula del tipo T L = 14,5 log(mf) + 23 Per misurare l intensità della sensazione prodotta da una sorgente sonora si usa la seguente formula S =10 log P P 0 1. Come si legge e si calcola un espressione con logaritmi e altre operazioni? 2. Come si calcola il logaritmo in una base diversa da 10? Per risolvere questi (e altri) problemi si studiano le proprietà dei logaritmi Daniela Valenti, Treccani Scuola 2

3 Regole di lettura A. Logaritmi e priorità delle operazioni In un espressione dove compaiono potenze, logaritmi, addizioni (e sottrazioni), moltiplicazioni (e divisioni) i calcoli si eseguono in questo ordine stabilito: 1. potenze, radici e logaritmi; 2. moltiplicazioni e divisioni; 3. addizioni e sottrazioni. B. Si usano le parentesi per cambiare questo ordine stabilito Daniela Valenti, Treccani Scuola 3

4 Esempi di regole di lettura log =1 100 =100 prima il logaritmo ( ) = log1000 log = 3 prima la parentesi log100 :10 = 2 :10 = 0,2 log( 100 :10) = log10 prima il logaritmo prima la parentesi =1 Scritture molto diffuse che richiedono attenta lettura 100 log10 al posto di log log al posto di log( 100 :10) log100 log10 al posto di log100 :log10 log Daniela Valenti, Treccani Scuola = 1 1 log100 al posto di log100 :10 = log

5 Attività 1. Proprietà dei logaritmi Dividetevi in gruppi di 2 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare per osservare con occhio matematico la datazione dei fossili con il radiocarbonio Avete 40 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani Scuola 5

6 Abbiamo trovato 3 proprietà dei logaritmi 1. Logaritmo di una potenza log a x p = plog a x! 2. Logaritmo di un prodotto log a (xy) = log a x + log b y! 3. Logaritmo di un quoziente log a (x : y) = log a x log b y! Con i logaritmi si calcola: 1. una moltiplicazione invece di una potenza; 2. un addizione invece di una moltiplicazione; 3. una sottrazione invece di una divisione. Daniela Valenti, Treccani Scuola 6

7 Importanza storica dei logaritmi Proprio questa facilitazione nei calcoli portò i logaritmi a diffondersi ovunque si dovevano svolgere calcoli scientifici a partire dalla fine del 1500 fino a circa il 1970, quando si cominciano a diffondere anche le piccole calcolatrici tascabili. Ritorniamo indietro nel tempo con un esempio. Gli astronomi rinascimentali osservavano il movimento dei pianeti e ne calcolavano il raggio r dell orbita. Ecco il calcolo per avere il raggio di Marte, da eseguire, all epoca, con carta e penna! r = 3 686, ,26 2 1, Daniela Valenti, Treccani Scuola 7

8 Un calcolo storico con i logaritmi Ed ecco il calcolo con i logaritmi r = 3 686, ,26 2 1, logr = 1 ( 2 log686,98 2 log 365,26) + log1,5 + log ,36 3 r 10 11,36 2, Vi sembra un calcolo ancora complicato da eseguire con carta e penna? Ma pensate che: - invece di calcolare la radice cubica si calcola una divisione per 3; - invece di calcolare i quadrati si calcolano moltiplicazioni per 2; - invece di calcolare una divisione e una moltiplicazione si calcola una sottrazione e una divisione. Daniela Valenti, Treccani Scuola 8

9 Come si trovavano i logaritmi fino al 1970? Con le tavole dei logaritmi Daniela Valenti, Treccani Scuola 9

10 Le proprietà dei logaritmi e le tavole Le tavole forniscono solo la parte decimale del logaritmo. log2,537 0,40432; log25,37=log(2,537 10)=log2,537+log10 0, =1,40432 E analogamente trovo: log253,7 2,40432; log2537 3,40432;. Daniela Valenti, Treccani Scuola 10

11 Oggi con il tascabile L importanza dei logaritmi è legata alla possibilità di risolvere numerosi problemi descritti da leggi esponenziali o logaritmiche nei campi più vari: fisica, astronomia, biologia, scienze della Terra, economia, psicologia, medicina, informatica, È quello che cominceremo a vedere dalla prossima lezione. Ma già ora possiamo avere una piccola anticipazione. Daniela Valenti, Treccani Scuola 11

12 Oggi con il tascabile Proprio i tasti del tascabile possono suggerire una riflessione. Alcuni tascabili hanno un tasto che può dare logx o, come seconda funzione, 10 x, ma non un tasto y x per calcolare la potenza in qualunque base y. Come ottenere y x? 1. Applico la definizione di logaritmo e scrivo log yx y x =10 2. Applico la proprietà di logaritmo di potenza e scrivo 10 log yx =10 x log y 3. In conclusione ottengo y x =10 x log y Daniela Valenti, Treccani Scuola 12