Prof. Emanuele ANDRISANI

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1 Potenze con esponente razionale Sia a > 0 e a 1. Abbiamo definito a x quando x N. Poniamo a 0 = 1 a x = a m n = n a m se x = m n Q, x > 0, m, n N a x = 1 a x se x Q, x > 0. È così definita la potenza a x, per ogni x Q. 1

2 Proprietà delle potenze con esponente razionale Sia a > 0, a 1, x, y Q; valgono le seguenti proprietà: 1. a x > 0, per ogni x Q 2. a x+y = a x a y 3. (a x ) y = a xy 4. (a b) x = a x b x 5. se a > 1 vale: 6. se 0 a 1 vale: x y a x a y x y a x a y OSSERVAZIONE a = 1 1 x = 1, per ogni x Q 2

3 Esercizio Calcolare A) 16 3 B)4 C) 1 12 D) 64 3 E)12 La risposta è alla pagina successiva. 3

4 Esercizio Calcolare A) 16 3 B)4 C) 1 12 D) 64 3 E)12 B) = = = 2 2 = 4 RISULTATO 4

5 Esercizio Semplificare A) (2 3 ) 2 3 B) (a 9 ) 2 3, a > 0 C) (c2) 5 3, 2 c > 0 La risposta è alla pagina successiva. 5

6 Esercizio Semplificare A) (2 3 ) 2 3 B) (a 9 ) 2 3, a > 0 C) (c2) 5 3, 2 c > 0 RISULTATO A) 2 2 B) a 6 C) c 5 3 6

7 Esercizio Calcolare (0, ) 1 3 La risposta è alla pagina successiva. 7

8 Esercizio Calcolare (0, ) 1 3 ( 64 ) ( = 6 ) RISULTATO = = = ( ) = 5 2 = 25 8

9 Esercizio Se c 3 2 = 27, calcolare il valore di c La risposta è alla pagina successiva. 9

10 Esercizio Se c 3 2 = 27, calcolare il valore di c RISULTATO 2 c3 = 27 c 3 = 27 2 c = = = 3 (3 2 ) 3 = 9. 10

11 Logaritmo Se a > 0, a 1 e x > 0 definiamo il logaritmo in base a di x nella maniera seguente: y R è il logaritmo in base a di x, cioè y = log a x, se y è tale che a y = x. OSSERVAZIONE: Spesso con le notazioni ln x o log x si indica il logaritmo naturale la cui base è il numero di Nepero e = Con la notazione Log x si indica invece il logaritmo decimale la cui base è il numero

12 Proprietà del logaritmo Valgono le seguenti proprietà per ogni x, y > 0, a > 0, a 1 a log a x = x, log a a x = x log a (x y) = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x α = α log a x, α R log a x = log b x, b > 0, b 1 (cambiamento di base) log b a se a > 1 vale: se 0 < a < 1 vale: 0 < x y log a x log a y 0 < x y log a x log a y 12

13 Esempi log = 3 (poiché 3 3 = 1 27 ) log1 16 = 4 2 log 5 x = 2 x = 1 25 Verificare che log = 1 2 (1 + log 5 2). Si ha log = log 5 10 log 5 25 (cambio di base) = 1 2 log 5(5 2) = 1 2 (log log 5 2) = 1 2 (1 + log 5 2) 13

14 Esercizio Calcolare log 2 16 A) 4 B) 8 C) 32 D) 16 2 E) 2 16 La risposta è alla pagina successiva. 14

15 Esercizio Calcolare log 2 16 A) 4 B) 8 C) 32 D) 16 2 E) 2 16 A) log 2 16 = 4; infatti 2 4 = 16 RISULTATO 15

16 Esercizio Calcolare log 10 ( 100) A) 2 B) -2 C) 10 D) non definito E) -10 La risposta è alla pagina successiva. 16

17 Esercizio Calcolare log 10 ( 100) A) 2 B) -2 C) 10 D) non definito E) -10 RISULTATO D) Discende dalla definizione di logaritmo 17

18 Esercizio Il logaritmo di x in base 7: log 7 x = y è un numero y tale che A) y 7 = x B) x 7 = y C) 10 y = 7 D) 7 y = x E) y x = 7 La risposta è alla pagina successiva. 18

19 Esercizio Il logaritmo di x in base 7: log 7 x = y è un numero y tale che A) y 7 = x B) x 7 = y C) 10 y = 7 D) 7 y = x E) y x = 7 D) RISULTATO 19

20 Esercizio log log 10 3 = A) log 10 (4 3) B) log 10 (4 + 3) ( C) log 4 ) 10 3 D) log 10 (4 3 ) E) è un numero diverso da quelli delle precedenti risposte La risposta è alla pagina successiva. 20

21 Esercizio log log 10 3 = A) log 10 (4 3) B) log 10 (4 + 3) ( C) log 4 ) 10 3 D) log 10 (4 3 ) E) è un numero diverso da quelli delle precedenti risposte A) RISULTATO 21

22 Esercizio Calcolare log log log log 10 0, 1 La risposta è alla pagina successiva. 22

23 Esercizio Calcolare log log log log 10 0, 1 RISULTATO log log log log 10 0, 1 = log log log log = = 2 [ = log10 ( ) = log = 2 ] 23

24 Esercizio Se è log n 11 = 0, 5, calcolare il valore di n La risposta è alla pagina successiva. 24

25 Esercizio Se è log n 11 = 0, 5, calcolare il valore di n SOLUZIONE n 0,5 = 11 n 5 10 = 11 n 1 2 = 11 n = 11 2 =

26 Esercizio Quante cifre ha il numero nella rappresentazione decimale? (si tenga conto che log 10 3 = 0, ) La risposta è alla pagina successiva. 26

27 Esercizio Quante cifre ha il numero nella rappresentazione decimale? (si tenga conto che log 10 3 = 0, ) SOLUZIONE Il numero sarà un intero che avrà n cifre decimali. Allora: 10 n < 10 n (n 1) log log 10 3 < n log (n 1) 100 0, < n (n 1) 47, 77.. < n n = 48 27