DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI

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1 FACOLTA' DI ECONOMIA UNIVERSITA DELLA CALABRIA Corso di Modelli Matematici per l Azienda a.a DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI Prof. Fabio Lamantia

2 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l oggetto appartiene o no all insieme Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A 1, A 2, B 1 gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a 1, a 2, y 1

3 Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell alfabeto} A a b c d I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme.

4 Il simbolo di appartenenza: Per indicare che a è un elemento dell insieme A si scrive: a A si legge a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell insieme A si scrive: b A si legge b non appartiene ad A". Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: Confronto Tra Insiemi B A (oppure A B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A b B b A

5 CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Insieme privo di elementi Α (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: Β Α (oppure Α Β) se B è un sottoinsieme di A diverso da A stesso e dall'insieme vuoto, cioè se a A : a B Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa: A = B (A B e B A) Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un elemento di uno dei due insiemi che non appartiene all altro: A B

6 Proprietà della relazione di inclusione Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha: A A (proprietà riflessiva) se A B e B A allora A = B (proprietà antisimmetrica) se A B e B C allora A C ( proprietà transitiva) Insieme delle parti L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A) Esempio: Sia A = {1, 2, 3}. Si ha che P(A)= {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Se A contiene n elementi allora P contiene 2 n elementi

7 OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO

8 UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L unione di A e B si scrive: A B = {x : x A o x B } Se A = B Se A B A B = A A B = B 0 A 1 2 B 3 Esempio: A = {0, 1, 2} B = {1, 2, 3} A B = {0, 1, 2, 3}

9 INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A B = {x : x A e x B } Se A = B Se A B Se A B = A B = A A B = A A e B si dicono disgiunti. A B 3 Esempio: A = {0, 1, 2} B = {1, 2, 3} A B = {1, 2}

10 PROPRIETA DI UNIONE E INTERSEZIONE Proprietà commutativa: A B = B A A B = B A Proprietà associativa: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Proprietà distributiva: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

11 DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A B = A \ B = {x : x A e x B } Se A = B A \ B = Se A B A \ B = A B Esempio: A = {0, 1, 2} B = {1, 2, 3} A \ B = {0}

12 INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universo. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: A c =U \ A = {x : x U e x A } A 1 2 U Esempio: U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} A c =U \ A = {0, 3, 5}

13 PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x) Dati due insiemi A e B, l insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A B = {(x, y) : x A, y B} Inoltre: Non è commutativo: A B B A Se A=B, allora A B = A 2 Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

14 INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI

15 I NUMERI NATURALI N={0, 1, 2, 3, 4, 5,..} Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune relazioni Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di minore o uguale di (m<n sse p N: m+p=n) m, n, p N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m n) p= m (n p) - Commutativa: m + n = n + m m n = n m - Distributiva: m (n + p)= m n + m p - Esistenza dell elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 m = m

16 I NUMERI INTERI RELATIVI L insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all addizione e alla moltiplicazione. Non è ad esempio chiuso rispetto alla sottrazione sistema algebrico dei numeri interi relativi: Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, } Z + = {+1, +2, +3, } = N\ {0} Z - = {-1, -2, -3, } Z = Z + Z - {0} Nell insieme dei Numeri interi relativi valgono le proprietà 1), 2) e 3) definite a proposito dei numeri naturali ed inoltre: 4) Esiste l elemento neutro dell addizione: 0 Z : x + 0 = x, x Z 5) Esiste l opposto: x Z, y Z : x + y = 0, 6) l insieme è chiuso rispetto alla sottrazione: x y = x + (-y)

17 I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA: Dati due numeri x,y Z non è sempre possibile trovare un numero q Z : x q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : x Z, y Z\{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale. Q è denso nel senso che: q 1, q 2 Q, q Q : q = (q 1 + q 2 )/2 mentre invece N e Z sono discreti:

18 NUMERI REALI PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2. Questo può essere dimostrato matematicamente! Numeri reali: R = Q + Ι dove Ι è l insieme dei numeri irrazionali, ad esempio 2, π,e I In generale un numero reale può essere definito come un allineamento di cifre del tipo ±b,a 1 a 2 a 3 dove b è un intero naturale e a 1 a 2 a 3 sono cifre decimali Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta: Da quanto detto risulta immediato che si ha la relazione 0 N Z Q R