Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia

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1 Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia

2 Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione che puo` essere vera o falsa (ma non entrambi!). Un teorema e` una affermazione che collega due proposizione, in cui la seconda (tesi) e` vera a patto che la prima (ipotesi) sia vera. Una dimostrazione di un teorema e` il ragionamento logico che consente di dedurre che la tesi e` vera se l ipotesi e` vera. Una teoria e` un insieme di proposizioni. La teoria e` consistente se nessuna proposizione e` contemporaneamente vera e falsa. La negazione di una proposizione P (!P) e` la proposizione che e` vera se P e` falsa e falsa se P e` vera. 2

3 Corso Rapido di Logica Matematica Due proposizioni P and Q sono equivalenti se sono entrambe vere o entrambe false: P Q La proposizione P and Q e` vera se P e Q entrambe vere. P Q La proposizione P or Q e` vera se almeno una (o entrambe) P e Q sono vere. P Q La implicazione logica significa che Q e` vera se P e` vera. Se P e` falsa non sappiamo niente circa Q. P Q Diremo anche che P e` condizione sufficiente per Q e che Q e` condizione necessaria per P. 3

4 Corso Rapido di Logica Matematica Teorema (Proprieta` Fondamentale dell Implicazione): P Q sse!q!p Teorema: P Q sse P Q e Q P 4

5 Teoria degli Insiemi Un insieme e` una collezione di oggetti distinti. Se un elemento appartiene ad un insieme, scriveremo: a A L insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto: Gli insiemi si rappresentano: A = { 1, 3,5} A = { x : x < 6, x dispari} Il simbolo significa per ogni. tale che Il simbolo significa esiste (almeno uno).! Il simbolo significa esiste esattamente un. 5

6 Teoria degli Insiemi Esempi: P1: a A a has property P P2: a A : a has property P P3: a A b B with property P P4: a A : b B b has property P P5: a A with property P b B with property Q!P1: a A : a does not have property P!P2: a A a does not have property P!P3: a A : b B b does not have property P!P4: a A b B : b does not have property P!P5: a A with property P : b B b does not have property Q 6

7 Teoria degli Insiemi i L' intersezione di due insiemi A B e` l'insieme degli elementi comuni ad A e B. i L' unione di due insiemi A B e` l'insieme degli elementi che sono in A o in B (o in entrambi). i Se tutti gli elementi di A appartengono a B diciamo che A e` un sottoinsieme di B : A B i La differenza di A e B, A \ B, e` l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B. i Il complementare di A, A C, e` l'insieme degli elementi che non appartengono ad A. i Il prodotto cartesiano AxB e` l'insieme di tutte le coppie in cui il primo elemento e` in A ed il secondo in B. 7

8 Iniemi Congiunti e Disgiunti Insiemi Uguali: A = B sse x A x B x B x A Insiemi Congiunti: A e B congiunti se x A : x B Insiemi Disgiunti: A e B disgiunti se x A x B 8

9 Diagrammi di Eulero-Venn Insiemi Disgiunti 9

10 Insiemi Congiunti 10

11 Relazione di Inclusione Relazione di Inclusione: A B se x A x B Proprieta`: A A A B B C A C A B B A A = B Inclusione stretta (propria): A B : A B, B A { } P( A) = X : X A 11

12 Inclusione Propria 12

13 Operazione di Intersezione A B = { x S : x A x B} A B = : { x S x A x B} 13

14 Proprieta`: A A = A A B = B A A B A; A B B A φ = φ 14

15 Teor: A e B disgiunti sse A B = Dim per ip: x A x B. Ragionando per assurdo, se fosse A B x A B x A e x B che contraddice l'ip. Dim per ip: A B =. Preso x A sara` dunque x B. Quindi A e B sono disgiunti. Di conseguenza: A e B sono congiunti sse A B 15

16 Teor: A B A B = A Dim Essendo sempre vero che A B A, basta dimostrare che A A B. Sia dunque x A. Allora per ipotesi x B. Dunque x A B. Abbiamo dunque provato che x A x A B. Quindi A A B. Dim Sia x A. Per ip allora x A B e quindi x B. 16

17 Operazione di Unione A B = x S : x A x B { } 17

18 Proprietà: A A = A A B = B A A, B A B A φ = A Propr. distributive: (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) 18

19 Teor: A B A B = B Dim La tesi e` A B = B. Essendo sempre B A B basta dimostrare che A B B. Sia dunque x A B x A x B. Se x B il teorema e` dimostrato. Se invece x A, per l'ipotesi A B si ha anche x B. Dunque abbiamo provato che x A B x B. E dunque A B B. Dim Sia x A. Essendo A A B x A B. Quindi, per l'ipotesi, x B. Quindi: x A x B ovvero A B. 19

20 Operazione di Differenza A \ B { x S x A x B} = : { x S x A x B} A \ B = : 20

21 Proprietà: A \ B A A \ A = φ A \ φ = A 21

22 Teor: A B = φ A \ B = A Dim Essendo sempre A \ B A, basta dimostrare che A A \ B. Sia x A. Allora per ip. x B (altrimenti sarebbe x A B che non e` possibile). Dunque x A \ B. Quindi A A \ B. Dim Supponiamo, per assurdo, che A B. Quindi esiste x A B. Quindi x A e x B, quindi x A \ B. Ma questo e` assurdo perche` per ipotesi A = A \ B mentre abbiamo trovato un x che e` in A ma non in A \ B. 22

23 Esempio A { 1,2,3} B { 2,3,5} = = A A B = B = { 2,3} { 1,2,3,5} {} A \ B = 1 23

24 Operazione di complemento c A = S \ A = x S : x A { } 24

25 Proprietà: A A c = S A A c = φ ( A c ) c = A A \ B = A B c (dimostrare per casa) A = B A c = B c A B B c A c (dimostrare per casa) 25

26 Regole di De Morgan Dim: ( A B) c = A c B c ( A B) c = A c B c { } = { x S : x A x B} x S : x A C x B C { } (A B) C = x S : x A B A C B C = { } = x S : x A x B { } = { x S : x A x B} x S : x A C x B C { } (A B) C = x S : x A B A C B C = { } = x S : x A x B 26

27 Operazione di Prodotto cartesiano: A B = ( a, b) : a A, b B { } 27

28 Esempio A = 1,2 B = 5,6 { } { } A B = {( 1,5 ),( 1,6 ),( 2,5 ),( 2,6) } A B B A Esempio A =, B = { } A B = = 2 = (x, y) : x, y Esempio A =, B =, C = {1,3, 15} { } { } A B C = (x, y,z) : x, y, z 1, 3, 15 28

29 Numeri Naturali Proprieta`: m + n = n + m m n = n m { } = 0,1,2,3,... m + (n + p) = (m + n) + p m (n p) = (m n) p m (n + p) = m n + m p Problema: i numeri naturali non contengono gli inversi rispetto alle operazioni di somma e prodotto 29

30 Numeri Interi Relativi e Razionali = {..., 2, 1,0,1,2,... } Definiti ampliando gli interi con gli inversi rispetto alla somma. Tuttavia, mancano ancora gli inversi rispetto alla moltipliazione. Osservazione: l inverso moltipliativo dello zero non puo` esistere! x Z : x 0 = 0 Q = m n : (m,n),n 0 I numeri razionali contengono l inverso moltiplicativo di tutti gli interi tranne zero. 30

31 Numeri Reali Ci sono numeri non razionali: numeri che non possono esssere espressi come rapporto di interi. Ad esempio: 2, π, e, Il problema e` noto come esistenza degli incommensurabili. Problema: data una unita` di misura u, e` possibile "misurare" ogni altra lunghezza x rispetto ad u? In altre parole, data un'arbitraria x, e` sempre possibile scrivere x = p q u con p,q? La risposta e` no. Questo fatto e` noto sin dal VI secolo A.C. 31

32 Numeri Reali Dimostrazione dell'esistenza di incommensurabili: Sia x la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1 (per semplicita`). Supponiamo per assurdo che x = p q 1 = p q Per il teorema di Pitagora, si avrebbe x 2 = = 2 ovvero p2 q 2 = 2 p2 = 2q 2. Non e` restrittivo supporre che p e q siano primi tra loro. Essendo p 2 = 2q 2, p 2 e` pari. Quindi anche p e` pari (il quadrato di un numero dispari e` dispari). Quindi p = 2r. Quindi, 4r 2 = 2q 2 e quindi q 2 = 2r 2. Con lo stesso ragionamento, q 2 e` pari e dunque q e` pari. Ma allora p e q non possono essere primi tra loro. (Dimostrazione fornita dalla scuola Pitagorica nel VI sec a.c) 32

33 Numeri Reali Aggiungendo gli irrazionali ai razionali abbiamo l insieme dei numeri reali. E` possibile dimostrare che i numeri irrazionali sono quelli che hanno una rappresentazione decimale infinita e non periodica. Numeri Razionali: = 1, = 3,5 9 5 = 1,8 1 3 = 0, = 0, = 0, Numeri Irrazionali: rappresentazione decimale infinita non periodica 33

34 Numeri Reali I numeri reali hanno l importante proprieta` che non hanno buchi : se li rappresentiamo su una retta non rimangono buchi. Questa proprieta` e` nota come continuita` (o completezza, o consistenza) dei numeri reali. Questa proprieta` e` cruciale per poter considerare il concetto di limite: dobbiamo poterci avvicinare arbitrariamente ad una quantita`, quindi non possiamo permetterci di cadere in un buco... La continuita` dei numeri reali e` la ragione principale per scegliere questo insieme per sviluppare l analisi matematica. 34

35 Continuita` di R Densita` dei numeri razionali: x, y Q r Q : x<r<y Densita` dei numeri razionali nei reali: x, y R r Q : x<r<y Continuita` dei numeri reali: dire che i numeri reali non hanno buchi significa piu` precisamente che ogni coppia di insiemi separati ha un elemento di separazione: A, B R separati se a A, b B : a b o b a I numeri razionali non hanno questa proprieta`: (, 2 ) e 2,+ ( ) sono separati ma non esiste alcun elemento di separazione razionale. 35

36 Sottoinsiemi di Numeri Reali Alcuni sottoinsiemi di numeri reali sono molto comuni. Diamogli un nome: (a,b) = { x : a < x < b} [a,b] = { x : a x b} (a,b] = { x : a < x b} [a,b) = x : a x < b { } (a,+ ) = { x : a < x} [a,+ ) = { x : a x} (,b) = { x : x < b} (,b] = { x : x b} (,+ ) = 36

37 Sottoinsiemi di Numeri Reali Un sottoinsieme di numeri reali A e` i Superiormente Limitato se M :M a a A i Inferiormente Limitato se m : m a a A i Limitato se superiormente ed inferiormente limitato Diremo che M A e` massimo di A se M a a A Diremo che m A e minimo di A se m a a A Nota: il massimo e minimo possono non esistere, anche se l'insieme e` limitato. Esempi: (0,1), (0,1) {2}, (1,+ ) 37

38 Sottoinsiemi di Numeri Reali i Se l'insieme A e` superiormente limitato, il piu` "piccolo limitatore superiore" di A si chiama "estremo superiore" (sup). i Se l'insieme A e` inferiormente limitato, il piu` "grande limitatore inferiore" di A si chiama "estremo inferiore" (inf). Nota: { } { } i inf A = max I 1 dove I 1 = α :α x, x A i sup A = mini 2 dove I 2 = α :α x, x A i Se A superiormente illimitato, definiamo sup A = + i Se A inferiormente illimitato, definiamo infa = Note: i If sup A A then sup A = max A i If inf A A then inf A = min A 38

39 Definizione Precisa di sup e inf Sia: I 1 = { α R :α x, x A} e: I 2 = { α R :α x, x A} x = inf A x e` l estremo inferiore di A ( ) se: x I 1 ε > 0 a A : x + ε > a x = sup A x e` l estremo superiore di A ( ) se: x I 2 ε > 0 a A : x ε < a 39

40 Sottoinsiemi di Numeri Reali Come abbiamo visto il massimo e minimo possono non esistere, anche se l insieme e` limitato. E l estremo superiore ed inferiore? Teorema Se A superiormente limitato, l estremo superiore esiste ed e` finito. Se A inferiormente limitato, l estremo inferiore esiste ed e` finito. Nota: E` possibile dimostrare che questo risultato e` equivalente alla continuita` dei numeri reali. 40

41 Punti di Accumulazione e Punti Isolati Il punto reale c è punto di accumulazione dell insieme E (c non appartiene necessariamente ad E) se: Ogni intorno di c possiede almeno un elemento di E diverso da c. ε > 0, x E \ {c} : x (c ε,c + ε) Si chiama insieme derivato di E (DE) l insieme dei punti di accumulazione di E. Esempio: 0 e` di accumulazione per E: E = x : x = 1, n,n 0 n ε > 0, 1 n 1 n (0,ε) 1 1 < ε n > n ε

42 Esempio: tutti i punti dell intervallo [0,10] sono punti di accumulazione per I=(0,10]; I = { 0,1,2,3,4,5 } Esempio: non possiede nessun punto di accumulazione reale. c E Il punto è un punto isolato di E se: esiste un intorno di c che non contiene altri punti di E oltre a c. ε > 0, x E \{c} x (c ε,c + ε)

43 Interno, Esterno, Frontiera Sia A. Un punto x si dice "interno ad A" se esiste un intorno di x interamente contenuto in A (in particolare, x A). Un punto x si dice "esterno ad A" se e` interno ad A C. Ovvero se esiste un intorno di x interamente contenuto in A C. Un punto x si dice "di frontiera per A" se non e` ne` interno ne` esterno. Ovvero esiste un intorno di x in cui cadono sia elementi di A che di A C.

44 Insiemi Aperti e Chiusi Un insieme si dice aperto coincide con il suo interno. Ovvero se tutti i suoi punti sono punti interni. Un insieme si dice chiuso se contiene la sua frontiera. Ovvero se tutti i suoi punti di frontiera appartengono all insieme. Osservazione: esistono insiemi ne` aperti ne` chiusi! Esempi: Gli intervalli e semirette del tipo (a,b) e (-,a), (a,+ ) sono aperti. Gli intervalli del tipo [a,b] sono chiusi. Gli intervalli e semirette del tipo (a,b], [a,b) non sono ne` aperti ne` chiusi. Le semirette del tipo [a,+ ) e (,a] sono chiusi.