Corso base di Matematica. - I numeri -

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1 Corso base di Matematica - I numeri -

2 Fin dall antichità è stata avvertita dall uomo l esigenza di contare le cose. Ad es. gli animali al pascolo, i cacciatori e le prede, ecc. Da questa istintività nasce appunto il primo insieme numerico: l insieme dei numeri naturali N. I numeri naturali sono appunto quegli interi istintivamente concepiti. N = { 0, 1, 2, 3,, 9, 10, 11,, 1356, 1357, } N. B. L insieme N dei naturali I numeri naturali sono infiniti, mentre il sottoinsieme costituito dai primi 10 suoi elementi { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } rappresenta l insieme (finito) delle CIFRE DECIMALI, cioè i simboli attraverso i quali rappresentiamo (componiamo) qualunque numero. 2

3 Operazioni nell insieme N dei naturali Delle 4 operazioni aritmetiche ( +,,, ) risultano ovunque definite in N (cioè il risultato è ancora un numero naturale) la somma (+) ed il prodotto ( ). n, m N n + m N, n m N 3

4 Operazioni nell insieme N dei naturali La differenza ( ) e la divisione ( ) tra due naturali invece possono avere risultato non naturale. Ad esempio, presi 6 N e 8 N, si ha 6 8 N e 6 8 N n, m N n m N se e solo se n m n, m N ( m 0 ) n m N se e solo se! q N : n = m q 4

5 L insieme Z degli interi Per rendere ovunque definita l operazione aritmetica di sottrazione si amplia l insieme N dei naturali costruendo un nuovo insieme numerico Z (dall iniziale della parola Zahl che in tedesco significa numero) i cui elementi sono definiti come sottrazione di coppie di elementi di N. z Z, n, m N : z = ( n m ) z = ( m n ) Es. 5 = ( 0 5 ) = ( 1 6 ) = ( 2 7 ) = Z = {, 3, 2, 1, 0, + 1, + 2, } = { 0, ± 1, ± 2, ± 3, } 5

6 Proprietà dell insieme Z degli interi relativi 1. Non esiste il più piccolo dei numeri interi relativi e neanche il più grande dei numeri interi relativi. Pertanto non esistono né il minimo né il massimo numero intero relativo. z Z, z + 1 Z z 1 Z 2. L insieme Z degli interi è totalmente ordinato. a, b Z, a b b a 6

7 Operazioni nell insieme Z degli interi Delle 4 operazioni aritmetiche ( +,,, ) risultano ovunque definite in Z (cioè il risultato è ancora un numero intero) la somma (+), la sottrazione ( ) ed il prodotto ( ). n, m Z n ± m Z, n m Z 7

8 Operazioni nell insieme Z degli interi La divisione ( ) tra due interi invece può avere risultato non intero. Ad esempio, presi 6 Z e 8 Z, si ha 6 8 Z n, m Z ( m 0 ) n m Z se e solo se! q Z : n = m q 8

9 Riduzione a forma frazionaria dei razionali Se un numero non è intero, si dice decimale. Es. 3,4567 Un numero decimale può essere semplice o periodico. Si dice semplice se il numero di cifre dopo la virgola è finito. Es. 3,4567 Un numero periodico può essere semplice o misto. Si dice periodico semplice se tutte le cifre dopo la virgola si ripetono con la medesima sequenza. Es. 3,(4567) = 3, Si dice periodico misto se dopo la virgola ci sono cifre che non si ripetono e cifre che si ripetono con la medesima sequenza. Es. 3,4(567)= 3,

10 Riduzione a forma frazionaria dei razionali L algoritmo per riportare ogni numero decimale razionale nella forma frazionaria prevede al numeratore il numero costituito da tutte le cifre (significative) che rappresentano il numero (in presenza di cifre periodiche diminuito delle cifre che non si ripetono), ed al denominatore il numero costituito dalla cifra 1 e tanti zeri quante le cifre decimali (numero decimale semplice) oppure costituito da tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola che non si ripetono (numero periodico misto). Così, ad es. 3,4567 = Cifre significative che compongono il numero Cifre decimali 10

11 Riduzione a forma frazionaria dei razionali L algoritmo per riportare ogni numero decimale razionale nella forma frazionaria prevede al numeratore il numero costituito da tutte le cifre (significative) che rappresentano il numero (in presenza di cifre periodiche diminuito delle cifre che non si ripetono), ed al denominatore il numero costituito dalla cifra 1 e tanti zeri quante le cifre decimali (numero decimale semplice) oppure costituito da tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola che non si ripetono (numero periodico misto). Cifre significative che Così, ad es compongono il numero 3,4567 = diminuite delle cifre non periodiche 9999 Cifre decimali periodiche 11

12 Riduzione a forma frazionaria dei razionali L algoritmo per riportare ogni numero decimale razionale nella forma frazionaria prevede al numeratore il numero costituito da tutte le cifre (significative) che rappresentano il numero (in presenza di cifre periodiche diminuito delle cifre che non si ripetono), ed al denominatore il numero costituito dalla cifra 1 e tanti zeri quante le cifre decimali (numero decimale semplice) oppure costituito da tanti 9 quante sono le cifre periodiche e tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola che non si ripetono (numero periodico misto). Cifre significative che Così, ad es compongono il numero 3,4567 = diminuite delle cifre non periodiche Cifre decimali periodiche 9990 Cifre decimali non periodiche 12

13 Schema delle operazioni aritmetiche ovunque definite + N Z Q N. B. La divisione per zero è impossibile in tutti gli insiemi numerici!!! 13

14 L insieme I degli irrazionali Secondo il filosofo e matematico greco Pitagora, la realtà è di tipo razionale e così ogni sua misura (numero). Ippaso di Metaponto (discepolo del matematico di Samo), propose un interessante quesito che mise in dubbio la logica razionale dei pitagorici e che aprì la strada alle grandezze incommensurabili. 14

15 L insieme I degli irrazionali Tesi di Ippaso Dimostrazione per assurdo x 1 Neghiamo la tesi, cioè ipotizziamo che la lunghezza della diagonale del quadrato sia un numero razionale, cioè x Q 1 Se la diagonale è un numero razionale allora si può scrivere come rapporto tra due interi x Q a Z, b N {0} : Si può ipotizzare che a e b siano primi tra loro, cioè MCD ( a, b ) = 1 Se, ad es. a = 6 e b = 4 allora MCD ( a, b ) 1 e la frazione a / b può essere ridotta ai minimi termini, cioè con numeratore e denominatore non ulteriormente semplificabili ; nell es. MCD ( 6, 4 ) = 2 6 / 3 = 4/ 2 15 x = a b

16 L insieme I degli irrazionali Tesi di Ippaso x 1 2 a 2 a Ma x = x = = b 1 Se a e b sono primi tra loro, cioè MCD ( a, b ) = 1, allora anche i loro quadrati sono primi tra loro, e cioè MCD ( a 2, b 2 ) = 1 Ad es. a = 5 e b = 3 allora MCD ( a, b ) = 1 e MCD ( 25, 9 ) = 1 Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo in figura (metà quadrato), si ha : x 2 = Cioè x 2 = 2 b a b Pertanto, sostituendo la x si ha: a b 2 2 = a = 2 b E ciò è assurdo giacché MCD ( a 2, b 2 ) = 1. Se ne conclude che x Q.

17 Esistono infiniti numeri irrazionali. Un numero irrazionale deve essere : 1. Decimale (non può essere intero altrimenti sarebbe razionale) 2. Illimitato (non può avere un numero finito di cifre decimali altrimenti sarebbe razionale) 3. Aperiodico (le cifre dopo la virgola non possono mai ripetersi con la medesima sequenza altrimenti sarebbe razionale) 17

18 Schema degli insiemi numerici Insieme dei numeri NATURALI N = { 0, 1, 2, } Insieme degli INTERI RELATIVI Z = { 0, ± 1, ± 2, } Insieme dei RAZIONALI Q = a b, a Z b N {} 0 Insieme degli IRRAZIONALI Insieme dei REALI decimali = illimitati aperiodici 18 I R = Q I N Z Q R

19 In conclusione, quando si pensa ad un numero, ad es. 4 si ha: 4+ = = 1 N Z Q 19

20 Insiemi numerici numeri razionali numeri naturali numeri reali Q a =, a Z b N {} 0 b N ={0, 1, 2, } interi relativi R numeri irrazionali Z ={0, ±1, ±2, } I = decimali illimitati aperiodici 20